{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\nf x\nax\nb\nWspółczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność\nA.\n0\na b\n+ >\nB.\n0\na\nb\nC.\n0\na b\n⋅>\nD.\n0\na b\n⋅<\nRozwiązanie zadania. Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Stąd wynika, że A. {a<0 b<0 B. {a<0 b>0 C. {a>0 b<0 D. {a>0 b>0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej (4.7).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu + analiza znaków\n\n**Krok 1: Odczytaj wartości \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu.**\n\nZ treści zadania i rysunku wiemy:\n- Prosta **przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 1)\\)**, co oznacza, że \\(f(0) = b = 1\\)\n- Prosta **maleje**, co oznacza, że współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\)\n\n**Podsumowanie odczytu:**\n\\[b = 1 > 0, \\qquad a < 0\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź każdą odpowiedź.**\n\nPoliczmy iloczyn \\(a \\cdot b\\):\n\\[a \\cdot b = a \\cdot 1 = a\\]\n\nPonieważ \\(a < 0\\), to:\n\\[\\boxed{a \\cdot b < 0}\\]\n\nTo odpowiada odpowiedzi **D** - i jest to zawsze prawda, niezależnie od konkretnej wartości \\(a\\).\n\n## Sposób 2 - Konkretna wartość ze wykresu (weryfikacja)\n\nZ wykresu można odczytać, że prosta przechodzi przez punkt \\((2, -1)\\) (linia opada, np. przy \\(x=2\\) wartość wynosi \\(-1\\)).\n\nWyznaczamy \\(a\\) z dwóch punktów: \\((0, 1)\\) i \\((2, -1)\\):\n\\[a = \\frac{-1 - 1}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nZatem \\(a = -1\\), \\(b = 1\\). Sprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(a + b = -1 + 1 = 0\\) - nie jest \\(> 0\\) ✗\n- **B:** \\(a + b = 0\\) - to by była B, ale (patrz niżej)\n- **C:** \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 < 0\\) - nie jest \\(> 0\\) ✗\n- **D:** \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 < 0\\) ✓\n\n**D jest prawdziwe.**\n\n> Uwaga: gdyby prosta przechodziła akurat przez \\((1, 0)\\), to \\(a = -1\\) i \\(a + b = 0\\) (odpowiedź B). Ale to szczególny przypadek - zadanie pyta o zależność wynikającą **ogólnie** z kształtu wykresu. Jedyna relacja gwarantowana zawsze (bo \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\)) to \\(a \\cdot b < 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników:\n- \\(b\\) = wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\) (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))\n- \\(a\\) = współczynnik kierunkowy: \\(a > 0\\) → prosta rośnie, \\(a < 0\\) → prosta maleje\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń sprawdza \\(a + b\\), ale nie uwzględnia, że \\(a\\) może być dowolną liczbą ujemną - np. \\(a = -5\\) daje \\(a + b = -4 < 0\\). Relacja \\(a + b > 0\\) **nie wynika** z wykresu. |\n| **B** | Uczeń odczytuje, że prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) i wyznacza \\(a = -1\\), skąd \\(a + b = 0\\). To zależy od konkretnego wykresu - gdyby nachylenie było inne, B byłoby fałszywe. |\n| **C** | Uczeń myli znak: skoro prosta maleje, to \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\), więc \\(a \\cdot b < 0\\). Odpowiedź C mówi \\(a \\cdot b > 0\\), co wymagałoby, żeby \\(a\\) i \\(b\\) miały **ten sam znak** - a tu mają przeciwne. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(b\\) to **wyraz wolny**, czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\), nie z osią \\(Ox\\). Wielu uczniów myli te dwie rzeczy i zapisuje \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta maleje \\(\\Rightarrow a < 0\\). Nie ma znaczenia, jak bardzo stromo - zawsze \\(a < 0\\). Dlatego \\(a \\cdot b\\) ma zawsze znak ujemny, gdy \\(b > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi A (\\(a + b > 0\\)) uczeń może pomyśleć \"prosta leży powyżej osi \\(x\\)\" - ale to nieprawda w ogólności, prosta zawsze gdzieś tnie oś \\(Ox\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków\nZ wykresu: prosta maleje → \\(a < 0\\). Przecina \\(Oy\\) w \\(y = 1 > 0\\) → \\(b > 0\\).\nIloczyn: \\(a\\cdot b = (-)\\cdot(+) = \\) liczba ujemna → \\(a\\cdot b < 0\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretny przykład\nZ wykresu np. \\(a = -2, b = 1\\): \\(ab = -2 < 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a + b > 0\\)** - zależy od wartości; niekoniecznie prawda.\n- **B. \\(a + b = 0\\)** - szczególny przypadek, nie uniwersalna zasada.\n- **C. \\(a\\cdot b > 0\\)** - wymagałoby tych samych znaków, a tu są przeciwne.\n\n**Kluczowe:** \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o monotoniczności); \\(b\\) - punkt przecięcia z \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i współrzędnych punktów\n1. **Obserwacja wykresu:** Wykres jest linią, która przecina oś y w punkcie (0, 2). To oznacza, że b = 2.\n2. **Znajdowanie punktu przecięcia z osią x:** Z wykresu widzimy, że linia przecina oś x w punkcie (-1, 0). Zatem, gdy x = -1, f(x) = 0.\n3. **Wykorzystanie wzoru f(x) = ax + b:** Podstawiamy znane wartości: f(-1) = a(-1) + b = 0. Wiemy, że b = 2, więc -a + 2 = 0, co daje a = 2.\n4. **Sprawdzenie:** Wzór funkcji to f(x) = 2x + 2.\n\n📖 Karta wzorów: **s.4** (Współczynniki)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie punktów na wykresie i wzoru funkcji\n1. **Zdefiniowanie punktów:** Z wykresu możemy odczytać dwa punkty przechodzące przez linię: (-1, 0) i (0, 2).\n2. **Wykorzystanie wzoru funkcji liniowej:** Wzór funkcji liniowej to f(x) = ax + b.\n3. **Podstawienie punktów do wzoru:**\n* Dla punktu (-1, 0): 0 = a(-1) + b => -a + b = 0\n* Dla punktu (0, 2): 2 = a(0) + b => b = 2\n4. **Rozwiązanie układu równań:** Z równania b = 2 podstawiamy do -a + b = 0, otrzymując -a + 2 = 0, więc a = 2.\n5. **Wzór funkcji:** f(x) = 2x + 2.\n\n📖 Karta wzorów: **s.4** (Fragmenty)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a + b > 0\\):** Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co jest większe od 0. Jednakże, z wykresu wynika, że funkcja jest liniowa, a nie, np. kwadratowa, więc nie można stosować takich porównań.\n* **B. \\(a + b = 0\\):** Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co nie jest równe 0.\n* **C. \\(a \\cdot > b 0\\):** Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co nie jest równe 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie.\n* **D. \\(a \\cdot < b 0\\):** Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co jest większe od 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie. Współczynnik kierunkowy (a) określa nachylenie prostej.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem<br>( )<br>f x<br>ax<br>b<br>Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność<br>A.<br>0<br>a b</p>\n<ul><li>&gt;</li></ul>\n<p>B.<br>0<br>a<br>b<br>C.<br>0<br>a b<br>⋅&gt;<br>D.<br>0<br>a b<br>⋅&lt;<br>Rozwiązanie zadania. Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Stąd wynika, że A. {a&lt;0 b&lt;0 B. {a&lt;0 b&gt;0 C. {a&gt;0 b&lt;0 D. {a&gt;0 b&gt;0</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający interpretuje</li></ol>\n<p>współczynniki występujące<br>we wzorze funkcji liniowej (4.7).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu + analiza znaków</h4>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj wartości \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu.</strong></p>\n<p>Z treści zadania i rysunku wiemy:</p>\n<ul><li>Prosta <strong>przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 1)\\)</strong>, co oznacza, że \\(f(0) = b = 1\\)</li><li>Prosta <strong>maleje</strong>, co oznacza, że współczynnik kierunkowy \\(a &lt; 0\\)</li></ul>\n<p><strong>Podsumowanie odczytu:</strong><br>\\[b = 1 &gt; 0, \\qquad a &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Sprawdź każdą odpowiedź.</strong></p>\n<p>Policzmy iloczyn \\(a \\cdot b\\):<br>\\[a \\cdot b = a \\cdot 1 = a\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(a &lt; 0\\), to:<br>\\[\\boxed{a \\cdot b &lt; 0}\\]</p>\n<p>To odpowiada odpowiedzi <strong>D</strong> - i jest to zawsze prawda, niezależnie od konkretnej wartości \\(a\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Konkretna wartość ze wykresu (weryfikacja)</h4>\n<p>Z wykresu można odczytać, że prosta przechodzi przez punkt \\((2, -1)\\) (linia opada, np. przy \\(x=2\\) wartość wynosi \\(-1\\)).</p>\n<p>Wyznaczamy \\(a\\) z dwóch punktów: \\((0, 1)\\) i \\((2, -1)\\):<br>\\[a = \\frac{-1 - 1}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]</p>\n<p>Zatem \\(a = -1\\), \\(b = 1\\). Sprawdzamy odpowiedzi:</p>\n<ul><li><strong>A:</strong> \\(a + b = -1 + 1 = 0\\) - nie jest \\(&gt; 0\\) ✗</li><li><strong>B:</strong> \\(a + b = 0\\) - to by była B, ale (patrz niżej)</li><li><strong>C:</strong> \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 &lt; 0\\) - nie jest \\(&gt; 0\\) ✗</li><li><strong>D:</strong> \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 &lt; 0\\) ✓</li></ul>\n<p><strong>D jest prawdziwe.</strong></p>\n<blockquote>Uwaga: gdyby prosta przechodziła akurat przez \\((1, 0)\\), to \\(a = -1\\) i \\(a + b = 0\\) (odpowiedź B). Ale to szczególny przypadek - zadanie pyta o zależność wynikającą <strong>ogólnie</strong> z kształtu wykresu. Jedyna relacja gwarantowana zawsze (bo \\(a &lt; 0\\) i \\(b &gt; 0\\)) to \\(a \\cdot b &lt; 0\\).</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników:</p>\n<ul><li>\\(b\\) = wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\) (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))</li><li>\\(a\\) = współczynnik kierunkowy: \\(a &gt; 0\\) → prosta rośnie, \\(a &lt; 0\\) → prosta maleje</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | Uczeń sprawdza \\(a + b\\), ale nie uwzględnia, że \\(a\\) może być dowolną liczbą ujemną - np. \\(a = -5\\) daje \\(a + b = -4 &lt; 0\\). Relacja \\(a + b &gt; 0\\) <strong>nie wynika</strong> z wykresu. |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń odczytuje, że prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) i wyznacza \\(a = -1\\), skąd \\(a + b = 0\\). To zależy od konkretnego wykresu - gdyby nachylenie było inne, B byłoby fałszywe. |<br>| <strong>C</strong> | Uczeń myli znak: skoro prosta maleje, to \\(a &lt; 0\\) i \\(b &gt; 0\\), więc \\(a \\cdot b &lt; 0\\). Odpowiedź C mówi \\(a \\cdot b &gt; 0\\), co wymagałoby, żeby \\(a\\) i \\(b\\) miały <strong>ten sam znak</strong> - a tu mają przeciwne. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(b\\) to <strong>wyraz wolny</strong>, czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\), nie z osią \\(Ox\\). Wielu uczniów myli te dwie rzeczy i zapisuje \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta maleje \\(\\Rightarrow a &lt; 0\\). Nie ma znaczenia, jak bardzo stromo - zawsze \\(a &lt; 0\\). Dlatego \\(a \\cdot b\\) ma zawsze znak ujemny, gdy \\(b &gt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odpowiedzi A (\\(a + b &gt; 0\\)) uczeń może pomyśleć &quot;prosta leży powyżej osi \\(x\\)&quot; - ale to nieprawda w ogólności, prosta zawsze gdzieś tnie oś \\(Ox\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza znaków</h5>\n<p>Z wykresu: prosta maleje → \\(a &lt; 0\\). Przecina \\(Oy\\) w \\(y = 1 &gt; 0\\) → \\(b &gt; 0\\).<br>Iloczyn: \\(a\\cdot b = (-)\\cdot(+) = \\) liczba ujemna → \\(a\\cdot b &lt; 0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Konkretny przykład</h5>\n<p>Z wykresu np. \\(a = -2, b = 1\\): \\(ab = -2 &lt; 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a + b &gt; 0\\)</strong> - zależy od wartości; niekoniecznie prawda.</li><li><strong>B. \\(a + b = 0\\)</strong> - szczególny przypadek, nie uniwersalna zasada.</li><li><strong>C. \\(a\\cdot b &gt; 0\\)</strong> - wymagałoby tych samych znaków, a tu są przeciwne.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o monotoniczności); \\(b\\) - punkt przecięcia z \\(Oy\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wykresu i współrzędnych punktów</h5>\n<ol><li><strong>Obserwacja wykresu:</strong> Wykres jest linią, która przecina oś y w punkcie (0, 2). To oznacza, że b = 2.</li><li><strong>Znajdowanie punktu przecięcia z osią x:</strong> Z wykresu widzimy, że linia przecina oś x w punkcie (-1, 0). Zatem, gdy x = -1, f(x) = 0.</li><li><strong>Wykorzystanie wzoru f(x) = ax + b:</strong> Podstawiamy znane wartości: f(-1) = a(-1) + b = 0. Wiemy, że b = 2, więc -a + 2 = 0, co daje a = 2.</li><li><strong>Sprawdzenie:</strong> Wzór funkcji to f(x) = 2x + 2.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>s.4</strong> (Współczynniki)</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie punktów na wykresie i wzoru funkcji</h5>\n<ol><li><strong>Zdefiniowanie punktów:</strong> Z wykresu możemy odczytać dwa punkty przechodzące przez linię: (-1, 0) i (0, 2).</li><li><strong>Wykorzystanie wzoru funkcji liniowej:</strong> Wzór funkcji liniowej to f(x) = ax + b.</li><li><strong>Podstawienie punktów do wzoru:</strong></li></ol>\n<ul><li>Dla punktu (-1, 0): 0 = a(-1) + b =&gt; -a + b = 0</li><li>Dla punktu (0, 2): 2 = a(0) + b =&gt; b = 2</li></ul>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie układu równań:</strong> Z równania b = 2 podstawiamy do -a + b = 0, otrzymując -a + 2 = 0, więc a = 2.</li><li><strong>Wzór funkcji:</strong> f(x) = 2x + 2.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>s.4</strong> (Fragmenty)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a + b &gt; 0\\):</strong> Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co jest większe od 0. Jednakże, z wykresu wynika, że funkcja jest liniowa, a nie, np. kwadratowa, więc nie można stosować takich porównań.</li><li><strong>B. \\(a + b = 0\\):</strong> Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co nie jest równe 0.</li><li><strong>C. \\(a \\cdot &gt; b 0\\):</strong> Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co nie jest równe 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie.</li><li><strong>D. \\(a \\cdot &lt; b 0\\):</strong> Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co jest większe od 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie. Współczynnik kierunkowy (a) określa nachylenie prostej.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ liczba $a$ jest ujemna (ponieważ funkcja maleje), a liczba $b$ jest dodatnia (wykres przecina oś $y$ w punkcie $1$, czyli $b=1$. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest liczbą ujemną.</p>"}]}