{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja f jest określona wzorem ( )\n4\n1\nx\nf x\n+ dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba\n1\n2\nf \n\n\n\n\n\njest równa\nA. 1\n2\nB.\n3\n2\nC. 3\nD. 17\nRozwiązanie zadania. Funkcja f każdej liczbie naturalnej n≥1 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości funkcji f jest A. {0,1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,2}","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru\nwartość funkcji dla danego\nargumentu. Posługuje się poznanymi\nmetodami rozwiązywania równań\ndo obliczenia, dla jakiego argumentu\nfunkcja przyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru\n\nObliczamy \\(f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)\\) - podstawiamy \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) do wzoru \\(f(x) = 4^{-x} + 1\\).\n\n**Krok 1.** Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-\\frac{1}{2}} + 1\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\).\n\nWykładnik ujemny odwraca podstawę, ułamkowy daje pierwiastek:\n\\[4^{-\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{4^{\\frac{1}{2}}} = \\frac{1}{\\sqrt{4}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Dodaj \\(1\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{3}{2}\\)**, czyli B.\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie bazy przed podstawieniem\n\nZamiast od razu podstawiać, najpierw upraszczamy wyrażenie \\(4^{-x}\\).\n\n**Krok 1.** Zapisz \\(4 = 2^2\\):\n\\[4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\]\n\nWzór funkcji przyjmuje postać:\n\\[f(x) = 2^{-2x} + 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 2^{-2 \\cdot \\frac{1}{2}} + 1 = 2^{-1} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy go, by zamienić \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\) na \\(\\dfrac{1}{4^{\\frac{1}{2}}}\\).\n\nWzór na potęgę o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{a}\\]\nUżyliśmy go, by obliczyć \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\).\n\nWzór na potęgę potęgi (w Sposobie 2):\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy go, by rozpisać \\((2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń obliczył \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), ale **zapomniał dodać \\(+1\\)** ze wzoru |\n| C - \\(3\\) | Uczeń policzył \\(4^{\\frac{1}{2}} = 2\\) (bez minusa!), a potem \\(2 + 1 = 3\\) - **zignorował minus w wykładniku** |\n| D - \\(17\\) | Uczeń podstawił błędnie: \\(4^{-\\frac{1}{2}} \\approx 16\\) lub potraktował \\(4^{-x}\\) jako \\(4 \\cdot (-x)\\) i wyliczył \\(4 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) = -2\\), potem dodał coś niepoprawnie - **mylenie potęgi z mnożeniem** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus w wykładniku (\\(4^{-x}\\)) to **odwrotność**, a nie zmiana znaku! \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), a NIE \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o \\(+1\\) na końcu wzoru - to drugi składnik funkcji, nie dekoracja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\), ale \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\dfrac{1}{2}\\). Wykładnik ułamkowy to pierwiastek, wykładnik ujemny to odwrotność - oba naraz stosuj kolejno!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie\n\\[f\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-1/2} + 1 = \\dfrac{1}{4^{1/2}} + 1 = \\dfrac{1}{2} + 1 = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie \\(4^{-1/2}\\)\n\\(4^{-1/2} = \\tfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - zapomniano dodać 1.\n- **C. \\(3\\)** - \\(4^{1/2} + 1 = 3\\) (bez znaku minusa).\n- **D. \\(17\\)** - \\(4^2 + 1\\); pomylenie znaku i operacji.\n\n**Pamiętaj:** \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) i \\(a^{1/2} = \\sqrt{a}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji w punkcie x=2\nFunkcja f jest dana wzorem \\(f(x) = 4 + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Chcemy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = 2. Podstawiamy x = 2 do wzoru:\n\n\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Suma kątów], strona 13\n\n### Sposób 2: Zastosowanie definicji funkcji\nDefinicja funkcji f(x) mówi, że dla każdego x, f(x) jest równa 4 + 1. Zatem, f(2) jest po prostu 4 + 1.\n\n\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Funkcja], strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ obliczenie f(2) nie daje wyniku (na zdjęciu) 1, 2, 3, ani żadnego innego.\n* **C:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie ma tu żadnych pierwiastków ani wyrażeń z pierwiastkami.\n* **D:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie ma tu żadnych potęg ani wyrażeń z potęgami. Wszystkie obliczenia są proste i nie wymagają skomplikowanych wzorów.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:**\n\nZadanie polega na prostym obliczeniu wartości funkcji, która jest zdefiniowana jako stała plus 1. Nie ma tu potrzeby używać żadnych bardziej zaawansowanych wzorów z karty wzorów. Kluczem jest zrozumienie, że f(x) = 4 + 1 oznacza, że dla każdego x, funkcja przyjmuje wartość 5.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"wykladnicza","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Funkcja f jest określona wzorem ( )
4
1
x
f x

\n\n

1
2
f 





jest równa
A. 1
2
B.
3
2
C. 3
D. 17
Rozwiązanie zadania. Funkcja f każdej liczbie naturalnej n≥1 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości funkcji f jest A. {0,1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,2}

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru
\n

wartość funkcji dla danego
argumentu. Posługuje się poznanymi
metodami rozwiązywania równań
do obliczenia, dla jakiego argumentu
funkcja przyjmuje daną wartość (4.2).
Wersja X
Wersja Y
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru

\n

Obliczamy \\(f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)\\) - podstawiamy \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) do wzoru \\(f(x) = 4^{-x} + 1\\).

\n

Krok 1. Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):
\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-\\frac{1}{2}} + 1\\]

\n

Krok 2. Oblicz \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\).

\n

Wykładnik ujemny odwraca podstawę, ułamkowy daje pierwiastek:
\\[4^{-\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{4^{\\frac{1}{2}}} = \\frac{1}{\\sqrt{4}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 3. Dodaj \\(1\\):
\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\dfrac{3}{2}\\), czyli B.

\n

Sposób 2 - Przekształcenie bazy przed podstawieniem

\n

Zamiast od razu podstawiać, najpierw upraszczamy wyrażenie \\(4^{-x}\\).

\n

Krok 1. Zapisz \\(4 = 2^2\\):
\\[4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\]

\n

Wzór funkcji przyjmuje postać:
\\[f(x) = 2^{-2x} + 1\\]

\n

Krok 2. Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):
\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 2^{-2 \\cdot \\frac{1}{2}} + 1 = 2^{-1} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Wzór na potęgę o wykładniku ujemnym:
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy go, by zamienić \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\) na \\(\\dfrac{1}{4^{\\frac{1}{2}}}\\).

\n

Wzór na potęgę o wykładniku wymiernym:
\\[a^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{a}\\]
Użyliśmy go, by obliczyć \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\).

\n

Wzór na potęgę potęgi (w Sposobie 2):
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy go, by rozpisać \\((2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń obliczył \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), ale zapomniał dodać \\(+1\\) ze wzoru |
| C - \\(3\\) | Uczeń policzył \\(4^{\\frac{1}{2}} = 2\\) (bez minusa!), a potem \\(2 + 1 = 3\\) - zignorował minus w wykładniku |
| D - \\(17\\) | Uczeń podstawił błędnie: \\(4^{-\\frac{1}{2}} \\approx 16\\) lub potraktował \\(4^{-x}\\) jako \\(4 \\cdot (-x)\\) i wyliczył \\(4 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) = -2\\), potem dodał coś niepoprawnie - mylenie potęgi z mnożeniem |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Minus w wykładniku (\\(4^{-x}\\)) to odwrotność, a nie zmiana znaku! \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), a NIE \\(-2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o \\(+1\\) na końcu wzoru - to drugi składnik funkcji, nie dekoracja!
\n
⚠️ Uwaga: \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\), ale \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\dfrac{1}{2}\\). Wykładnik ułamkowy to pierwiastek, wykładnik ujemny to odwrotność - oba naraz stosuj kolejno!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie
\n

\\[f\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-1/2} + 1 = \\dfrac{1}{4^{1/2}} + 1 = \\dfrac{1}{2} + 1 = \\dfrac{3}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Przekształcenie \\(4^{-1/2}\\)
\n

\\(4^{-1/2} = \\tfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\tfrac{1}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) i \\(a^{1/2} = \\sqrt{a}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji w punkcie x=2
\n

Funkcja f jest dana wzorem \\(f(x) = 4 + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Chcemy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = 2. Podstawiamy x = 2 do wzoru:

\n

\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]

\n

📖 Karta wzorów: [Suma kątów], strona 13

\n
Sposób 2: Zastosowanie definicji funkcji
\n

Definicja funkcji f(x) mówi, że dla każdego x, f(x) jest równa 4 + 1. Zatem, f(2) jest po prostu 4 + 1.

\n

\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]

\n

📖 Karta wzorów: [Funkcja], strona 1

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Dodatkowe wyjaśnienie:

\n

Zadanie polega na prostym obliczeniu wartości funkcji, która jest zdefiniowana jako stała plus 1. Nie ma tu potrzeby używać żadnych bardziej zaawansowanych wzorów z karty wzorów. Kluczem jest zrozumienie, że f(x) = 4 + 1 oznacza, że dla każdego x, funkcja przyjmuje wartość 5.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od wpisania wzoru funkcji. Mamy \\( f(x) = 4^{-x} + 1 \\).\\
\n
  1. Musimy obliczyć wartość funkcji dla argumentu \\( x = $\\frac{1}{2}$ \\). Zapisujemy to jako: \\( f$\\left(\\frac{1}{2}\\right)$ = 4^{-$\\frac{1}{2}}$ + 1 \\).\\
\n
  1. Teraz obliczamy \\( 4^{-$\\frac{1}{2}}$ \\). Zauważmy, że \\( 4^{-$\\frac{1}{2}}$ \\) można przepisać jako: \\( $\\frac{1}{4^{\\frac{1}{2}}}$ \\).\\
\n
  1. Obliczamy \\( 4^{$\\frac{1}{2}}$ \\), co jest równoznaczne z pierwiastkowaniem liczby 4. Znamy wartość \\( 4^{$\\frac{1}{2}}$ = $\\sqrt{4}$ = 2 \\).\\
\n
  1. W związku z tym możemy zapisać: \\( 4^{-$\\frac{1}{2}}$ = $\\frac{1}{2}$ \\).\\
\n
  1. Teraz wracamy do naszego równania dla funkcji: \\( f$\\left(\\frac{1}{2}\\right)$ = $\\frac{1}{2}$ + 1 \\).\\
\n
  1. Zsumujemy obie wartości: \\( f$\\left(\\frac{1}{2}\\right)$ = $\\frac{1}{2}$ + 1 = $\\frac{1}{2}$ + $\\frac{2}{2}$ = $\\frac{3}{2}$ \\).\\
\n
  1. Zatem uzyskana wartość funkcji to \\( $\\frac{3}{2}$ \\).\\
\n

Odpowiedź: \\( $\\frac{3}{2}$ \\) (prawidłowa opcja to B).

"}]}