{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\ny\nm\nx\noraz\n3\n7\n4\ny\nx\nsą równoległe. Wtedy\nA.\n5\n4\nm = -\nB.\n2\n3\nm =\nC.\n11\n4\nm =\nD.\n10\n3\nm =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=(m-2)x oraz y=3/4x+7 są prostopadłe. Wtedy A. m=-5/4 B. m=2/3 C. m=11/4 D. m=10/3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający bada\nrównoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja X\nWersja Y\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{11}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\n\nDwie proste są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** (i nie są tą samą prostą).\n\nObie proste są już w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\), więc współczynniki kierunkowe odczytujemy wprost:\n\n\\[y = (m-2)x \\quad \\Rightarrow \\quad a_1 = m - 2\\]\n\n\\[y = \\frac{3}{4}x + 7 \\quad \\Rightarrow \\quad a_2 = \\frac{3}{4}\\]\n\nWarunek równoległości: \\(a_1 = a_2\\):\n\n\\[m - 2 = \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[m = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{m = \\frac{11}{4}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to nie jest ta sama prosta:** Pierwsza prosta przechodzi przez \\((0, 0)\\) (wyraz wolny = 0), druga przez \\((0, 7)\\) - **różne wyrazy wolne**, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nWiemy, że dla \\(m = \\frac{11}{4}\\) pierwsza prosta to:\n\n\\[y = \\left(\\frac{11}{4} - 2\\right)x = \\frac{3}{4}x\\]\n\nMamy więc:\n- Prosta 1: \\(y = \\frac{3}{4}x\\) - przechodzi przez początek układu\n- Prosta 2: \\(y = \\frac{3}{4}x + 7\\) - równoległa, przesunięta o 7 w górę\n\nObie mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{3}{4}\\), nie mają punktów wspólnych (różne wyrazy wolne: 0 i 7). **Są równoległe** - wynik poprawny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe** wtedy i tylko wtedy, gdy:\n> \\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki kierunkowe obu prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(m = -\\frac{5}{4}\\) | Uczeń odejmuje \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast dodawać: \\(m = 2 - \\frac{3}{4} = \\frac{5}{4}\\), a potem myli znak |\n| B | \\(m = \\frac{2}{3}\\) | Uczeń stosuje warunek **prostopadłości** \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zamiast równoległości: \\((m-2) \\cdot \\frac{3}{4} = -1 \\Rightarrow m - 2 = -\\frac{4}{3} \\Rightarrow m = \\frac{2}{3}\\) |\n| D | \\(m = \\frac{10}{3}\\) | Uczeń błędnie przyrównuje \\(m = \\frac{3}{4}\\) i dodaje 2 bez zamiany na czwarty mianownik, czyli liczy \\(m = 2 + \\frac{3}{4+1}\\) lub inne błędne uproszczenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **równe** współczynniki kierunkowe **i różne** wyrazy wolne. Gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby tą samą prostą (nie równoległymi)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne zadania - przy pośpiechu łatwo użyć złego wzoru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(2 = \\frac{8}{4}\\) - przelicz na wspólny mianownik przed dodawaniem ułamków, żeby nie zgubić się w arytmetyce.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\n\\(m - 2 = \\dfrac{3}{4} \\Rightarrow m = \\dfrac{3}{4} + 2 = \\dfrac{11}{4}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m = \\tfrac{11}{4}\\): prosta \\(y = \\tfrac{3}{4}x\\) (przez początek układu) i \\(y = \\tfrac{3}{4}x + 7\\) - ten sam współczynnik kierunkowy, różne wyrazy wolne → równoległe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażde inne \\(m\\) daje inny współczynnik kierunkowy niż \\(\\tfrac{3}{4}\\), więc proste nie są równoległe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Metoda podstawiania i sprawdzania\n\n1. **Podstawienie x z drugiego równania do pierwszego:** Z równania \\(y = x + 7\\) podstawiamy \\(x\\) z równania \\(y = (m - 2)x\\). Otrzymujemy:\n\\[y = (m - 2)x + 7\\]\n\n2. **Sprawdzenie równoległości:** Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:\n\\(y = (m - 2)x\\) i \\(y = (m - 2)x + 7\\)\nWspółczynnik przy \\(x\\) jest taki sam, czyli \\(m - 2\\).\n\n3. **Znalezienie wartości m:** Z treści zadania wiemy, że \\(x = 7\\) jest rozwiązaniem obu równań. Podstawiamy \\(x = 7\\) do równania \\(y = (m - 2)x + 7\\):\n\\[y = (m - 2) * 7 + 7\\]\n\\[y = 7m - 14 + 7\\]\n\\[y = 7m - 7\\]\n\n4. **Znalezienie y:** Ponieważ \\(x = 7\\) i \\(y = x + 7\\), to \\(y = 7 + 7 = 14\\).\n\n5. **Podstawienie y i x do jednego z równań:** Podstawiamy \\(x = 7\\) i \\(y = 14\\) do równania \\(y = (m - 2)x\\):\n\\[14 = (m - 2) * 7\\]\n\\[14 = 7m - 14\\]\n\\[30 = 7m\\]\n\\[m = \\frac{30}{7}\\]\nBłąd! Powinniśmy podstawić do równania y = x+7, aby znaleźć m.\n\n6. **Poprawne rozwiązanie:** Z równania y = x+7, podstawiamy x=7, wtedy y = 7+7 = 14.\nPodstawiamy y=14 do równania y = (m-2)x.\n14 = (m-2) * 7\n14 = 7m - 14\n7m = 28\nm = 4\n\n📖 Karta wzorów: [Pole trójk] (s.15), strona 15\n\n### Sposób 2: Metoda porównywania współczynników\n\n1. **Przekształcenie równań:** Zapisujemy równania w postaci ogólnej:\n* \\(y = (m - 2)x + 0\\)\n* \\(y = x + 7\\)\n\n2. **Porównanie współczynników:** Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:\n* Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = (m - 2)x + 0\\) to \\(m - 2\\).\n* Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = x + 7\\) to 1.\n\n3. **Ustalenie równania:** Ponieważ współczynniki przy \\(x\\) są równe, to:\n\\(m - 2 = 1\\)\n\\(m = 3\\)\n\n📖 Karta wzorów: [Sumy kątów] (s.13), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Błąd w obliczeniach. Podstawienie m=2 do równania y = (m-2)x + 7 daje y = 0x + 7 = 7, co nie jest równoważne z y = x+7.\n* **B. (na zdjęciu):** Błąd w obliczeniach. Użycie wzoru na współczynnik kierunkowy z karty wzorów nie prowadzi do poprawnego wyniku.\n* **D. (na zdjęciu):** Błąd w interpretacji zadania. Równoległość prostych definiuje się przez współczynnik kierunkowy, a nie przez konkretną wartość x.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Proste o równaniach<br>(<br>)<br>2<br>y<br>m<br>x<br>oraz<br>3<br>7<br>4<br>y<br>x<br>są równoległe. Wtedy<br>A.<br>5<br>4<br>m = -<br>B.<br>2<br>3<br>m =<br>C.<br>11<br>4<br>m =<br>D.<br>10<br>3<br>m =<br>x<br>y<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>0<br>-1<br>-2<br>1<br>2<br>3<br>4<br>-3<br>-4</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Rozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=(m-2)x oraz y=3/4x+7 są prostopadłe. Wtedy A. m=-5/4 B. m=2/3 C. m=11/4 D. m=10/3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie</li></ol>\n<p>kartezjańskiej. Zdający bada<br>równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.2).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{11}{4}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> (i nie są tą samą prostą).</p>\n<p>Obie proste są już w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\), więc współczynniki kierunkowe odczytujemy wprost:</p>\n<p>\\[y = (m-2)x \\quad \\Rightarrow \\quad a_1 = m - 2\\]</p>\n<p>\\[y = \\frac{3}{4}x + 7 \\quad \\Rightarrow \\quad a_2 = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p>Warunek równoległości: \\(a_1 = a_2\\):</p>\n<p>\\[m - 2 = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p>\\[m = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = \\frac{11}{4}}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy to nie jest ta sama prosta:</strong> Pierwsza prosta przechodzi przez \\((0, 0)\\) (wyraz wolny = 0), druga przez \\((0, 7)\\) - <strong>różne wyrazy wolne</strong>, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Wiemy, że dla \\(m = \\frac{11}{4}\\) pierwsza prosta to:</p>\n<p>\\[y = \\left(\\frac{11}{4} - 2\\right)x = \\frac{3}{4}x\\]</p>\n<p>Mamy więc:</p>\n<ul><li>Prosta 1: \\(y = \\frac{3}{4}x\\) - przechodzi przez początek układu</li><li>Prosta 2: \\(y = \\frac{3}{4}x + 7\\) - równoległa, przesunięta o 7 w górę</li></ul>\n<p>Obie mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{3}{4}\\), nie mają punktów wspólnych (różne wyrazy wolne: 0 i 7). <strong>Są równoległe</strong> - wynik poprawny. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<blockquote>Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są <strong>równoległe</strong> wtedy i tylko wtedy, gdy:<br>\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki kierunkowe obu prostych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Typowy błąd |<br>| A | \\(m = -\\frac{5}{4}\\) | Uczeń odejmuje \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast dodawać: \\(m = 2 - \\frac{3}{4} = \\frac{5}{4}\\), a potem myli znak |<br>| B | \\(m = \\frac{2}{3}\\) | Uczeń stosuje warunek <strong>prostopadłości</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zamiast równoległości: \\((m-2) \\cdot \\frac{3}{4} = -1 \\Rightarrow m - 2 = -\\frac{4}{3} \\Rightarrow m = \\frac{2}{3}\\) |<br>| D | \\(m = \\frac{10}{3}\\) | Uczeń błędnie przyrównuje \\(m = \\frac{3}{4}\\) i dodaje 2 bez zamiany na czwarty mianownik, czyli liczy \\(m = 2 + \\frac{3}{4+1}\\) lub inne błędne uproszczenie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek równoległości to <strong>równe</strong> współczynniki kierunkowe <strong>i różne</strong> wyrazy wolne. Gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby tą samą prostą (nie równoległymi)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne zadania - przy pośpiechu łatwo użyć złego wzoru.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(2 = \\frac{8}{4}\\) - przelicz na wspólny mianownik przed dodawaniem ułamków, żeby nie zgubić się w arytmetyce.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych</h5>\n<p>\\(m - 2 = \\dfrac{3}{4} \\Rightarrow m = \\dfrac{3}{4} + 2 = \\dfrac{11}{4}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(m = \\tfrac{11}{4}\\): prosta \\(y = \\tfrac{3}{4}x\\) (przez początek układu) i \\(y = \\tfrac{3}{4}x + 7\\) - ten sam współczynnik kierunkowy, różne wyrazy wolne → równoległe ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Każde inne \\(m\\) daje inny współczynnik kierunkowy niż \\(\\tfrac{3}{4}\\), więc proste nie są równoległe.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Metoda podstawiania i sprawdzania</h5>\n<ol><li><strong>Podstawienie x z drugiego równania do pierwszego:</strong> Z równania \\(y = x + 7\\) podstawiamy \\(x\\) z równania \\(y = (m - 2)x\\). Otrzymujemy:</li></ol>\n<p>\\[y = (m - 2)x + 7\\]</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzenie równoległości:</strong> Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:</li></ol>\n<p>\\(y = (m - 2)x\\) i \\(y = (m - 2)x + 7\\)<br>Współczynnik przy \\(x\\) jest taki sam, czyli \\(m - 2\\).</p>\n<ol><li><strong>Znalezienie wartości m:</strong> Z treści zadania wiemy, że \\(x = 7\\) jest rozwiązaniem obu równań. Podstawiamy \\(x = 7\\) do równania \\(y = (m - 2)x + 7\\):</li></ol>\n<p>\\[y = (m - 2) * 7 + 7\\]<br>\\[y = 7m - 14 + 7\\]<br>\\[y = 7m - 7\\]</p>\n<ol><li><strong>Znalezienie y:</strong> Ponieważ \\(x = 7\\) i \\(y = x + 7\\), to \\(y = 7 + 7 = 14\\).</li></ol>\n<ol><li><strong>Podstawienie y i x do jednego z równań:</strong> Podstawiamy \\(x = 7\\) i \\(y = 14\\) do równania \\(y = (m - 2)x\\):</li></ol>\n<p>\\[14 = (m - 2) * 7\\]<br>\\[14 = 7m - 14\\]<br>\\[30 = 7m\\]<br>\\[m = \\frac{30}{7}\\]<br>Błąd! Powinniśmy podstawić do równania y = x+7, aby znaleźć m.</p>\n<ol><li><strong>Poprawne rozwiązanie:</strong> Z równania y = x+7, podstawiamy x=7, wtedy y = 7+7 = 14.</li></ol>\n<p>Podstawiamy y=14 do równania y = (m-2)x.<br>14 = (m-2) * 7<br>14 = 7m - 14<br>7m = 28<br>m = 4</p>\n<p>📖 Karta wzorów: [Pole trójk] (s.15), strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Metoda porównywania współczynników</h5>\n<ol><li><strong>Przekształcenie równań:</strong> Zapisujemy równania w postaci ogólnej:</li></ol>\n<ul><li>\\(y = (m - 2)x + 0\\)</li><li>\\(y = x + 7\\)</li></ul>\n<ol><li><strong>Porównanie współczynników:</strong> Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:</li></ol>\n<ul><li>Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = (m - 2)x + 0\\) to \\(m - 2\\).</li><li>Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = x + 7\\) to 1.</li></ul>\n<ol><li><strong>Ustalenie równania:</strong> Ponieważ współczynniki przy \\(x\\) są równe, to:</li></ol>\n<p>\\(m - 2 = 1\\)<br>\\(m = 3\\)</p>\n<p>📖 Karta wzorów: [Sumy kątów] (s.13), strona 13</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu):</strong> Błąd w obliczeniach. Podstawienie m=2 do równania y = (m-2)x + 7 daje y = 0x + 7 = 7, co nie jest równoważne z y = x+7.</li><li><strong>B. (na zdjęciu):</strong> Błąd w obliczeniach. Użycie wzoru na współczynnik kierunkowy z karty wzorów nie prowadzi do poprawnego wyniku.</li><li><strong>D. (na zdjęciu):</strong> Błąd w interpretacji zadania. Równoległość prostych definiuje się przez współczynnik kierunkowy, a nie przez konkretną wartość x.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, dla $\\small \\displaystyle m = \\frac{11}{4}$ mamy równanie $y = (\\frac{11}{4}-2)x = \\frac{3}{4}x$, co oznacza, że współczynniki kierunkowe są równe, więc proste są równoległe.</p>"}]}