{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\nna\nn\ndla\n1\nn ≥. Różnica\n5\n4\na\na\njest równa\nA. 4\nB. 20\nC. 36\nD. 18\nRozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 oraz a_2=6 i a_5=-48. Wynika stąd, że A. a_7>0 B. a_7<0 C. a_7>a_6 D. a_7>a_8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy\nciągu określonego wzorem ogólnym\n(5.1).\nWersja X\nWersja Y\nD\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(18\\))\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\nWzór ogólny ciągu: \\(a_n = 2n^2\\)\n\nObliczamy \\(a_5\\) i \\(a_4\\) osobno:\n\n\\[a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\]\n\n\\[a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\]\n\nRóżnica:\n\n\\[a_5 - a_4 = 50 - 32 = \\mathbf{18}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór algebraiczny na różnicę kolejnych wyrazów\n\nZamiast liczyć osobno, możemy obliczyć \\(a_n - a_{n-1}\\) ogólnie:\n\n\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n-1)^2\\]\n\nRozwijamy \\((n-1)^2\\):\n\n\\[(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n^2 - 2n + 1) = 2n^2 - 2n^2 + 4n - 2 = 4n - 2\\]\n\nDla \\(n = 5\\):\n\n\\[a_5 - a_4 = 4 \\cdot 5 - 2 = 20 - 2 = \\mathbf{18}\\]\n\n**Bonus:** Ten ogólny wzór \\(4n - 2\\) mówi nam, że różnice kolejnych wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny (co jest własnością każdego ciągu kwadratowego).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie do danego wzoru ogólnego i proste mnożenie. Sposób 2 korzysta ze wzoru skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) z **Działu 6 (s. 7)**, ale jest to na tyle elementarne, że nie wymaga karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(4\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 5 - 4 = 1\\), potem pomnożono przez 2 - pominięto potęgowanie, jakby wzór był \\(a_n = 2n\\) |\n| B (\\(20\\)) | Policzono \\(a_5 = 50\\), ale \\(a_4\\) obliczono ze wzoru \\(2 \\cdot 4 = 8\\) albo wzięto samą wartość \\(4n-2\\) dla \\(n=4\\) zamiast \\(n=5\\) |\n| C (\\(36\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 2(5^2 - 4^2)\\), ale błędnie uproszczono \\(5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 18\\), a potem \\(2 \\cdot 18 = 36\\) - czyli wzięto \\(2(a_5 - a_4)\\) zamiast \\(a_5 - a_4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność ma znaczenie! Zadanie pyta o \\(a_5 - a_4\\), nie \\(a_4 - a_5\\). Gdyby było odwrotnie, wynik byłby \\(-18\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru ciągu \\(a_n = 2n^2\\) z ciągiem arytmetycznym. Ten ciąg **NIE jest arytmetyczny** - różnice między wyrazami nie są stałe (\\(a_2 - a_1 = 8-2=6\\), \\(a_3-a_2=18-8=10\\), \\(a_4-a_3=32-18=14\\), \\(a_5-a_4=18\\) ).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań - najpierw potęgowanie, potem mnożenie. \\(2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\), a **nie** \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia\n\\(a_5 = 2\\cdot 25 = 50\\), \\(a_4 = 2\\cdot 16 = 32\\). \\(a_5 - a_4 = 18\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie różnicy\n\\(a_{n+1} - a_n = 2(n+1)^2 - 2n^2 = 2(2n+1) = 4n+2\\). Dla \\(n=4\\): \\(4\\cdot 4 + 2 = 18\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\), B. \\(20\\), C. \\(36\\)** - błędne obliczenia.\n\n**Uwaga:** ten ciąg **nie jest** arytmetyczny (różnica nie jest stała).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie a5 i a4\n1. **Znamy wzór:** \\(a_n = 2n^2\\) dla \\(n \\geq 1\\)\n2. **Obliczamy a5:** \\(a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\)\n3. **Obliczamy a4:** \\(a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\)\n4. **Obliczamy różnicę:** \\(a_5 - a_4 = 50 - 32 = 18\\)\n5. **Błąd w pytaniu:** W treści zadania podano, że różnica to 4, a my obliczyliśmy 18. To sugeruje, że w treści zadania jest błąd.\n\n📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9\n\n### Sposób 2: Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu\n1. **Znamy wzór:** \\(a_n = 2n^2\\)\n2. **Różnica między wyrazami:** \\(a_5 - a_4 = (2 \\cdot 5^2) - (2 \\cdot 4^2) = 50 - 32 = 18\\)\n3. **Zatem, różnica a5 - a4 wynosi 18.**\n\n📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Jak pokazaliśmy, różnica między a5 i a4 to 18, a nie 4.\n* **B. 6:** Podobnie jak w przypadku A, różnica to 18.\n* **C. 8:** Różnica to 18.\n* **D. 18:** To jest prawidłowa odpowiedź, którą otrzymaliśmy obliczając różnicę między a5 i a4. W treści zadania jest błąd, a prawidłowa różnica to 18.\n\n**Podsumowanie:** Zadanie zawiera błąd w treści. Prawidłowa różnica między a5 i a4 wynosi 18, a nie 4, jak sugeruje odpowiedź A. Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Ciąg (<br>)<br>na<br>jest określony wzorem<br>2<br>2<br>na<br>n<br>dla<br>1<br>n ≥. Różnica<br>5<br>4<br>a<br>a<br>jest równa<br>A. 4<br>B. 20<br>C. 36<br>D. 18<br>Rozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 oraz a_2=6 i a_5=-48. Wynika stąd, że A. a_7&gt;0 B. a_7&lt;0 C. a_7&gt;a_6 D. a_7&gt;a_8</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy</li></ol>\n<p>ciągu określonego wzorem ogólnym<br>(5.1).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(18\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie</h4>\n<p>Wzór ogólny ciągu: \\(a_n = 2n^2\\)</p>\n<p>Obliczamy \\(a_5\\) i \\(a_4\\) osobno:</p>\n<p>\\[a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\]</p>\n<p>\\[a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\]</p>\n<p>Różnica:</p>\n<p>\\[a_5 - a_4 = 50 - 32 = \\mathbf{18}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór algebraiczny na różnicę kolejnych wyrazów</h4>\n<p>Zamiast liczyć osobno, możemy obliczyć \\(a_n - a_{n-1}\\) ogólnie:</p>\n<p>\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n-1)^2\\]</p>\n<p>Rozwijamy \\((n-1)^2\\):</p>\n<p>\\[(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n^2 - 2n + 1) = 2n^2 - 2n^2 + 4n - 2 = 4n - 2\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 5\\):</p>\n<p>\\[a_5 - a_4 = 4 \\cdot 5 - 2 = 20 - 2 = \\mathbf{18}\\]</p>\n<p><strong>Bonus:</strong> Ten ogólny wzór \\(4n - 2\\) mówi nam, że różnice kolejnych wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny (co jest własnością każdego ciągu kwadratowego).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie do danego wzoru ogólnego i proste mnożenie. Sposób 2 korzysta ze wzoru skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) z <strong>Działu 6 (s. 7)</strong>, ale jest to na tyle elementarne, że nie wymaga karty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(4\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 5 - 4 = 1\\), potem pomnożono przez 2 - pominięto potęgowanie, jakby wzór był \\(a_n = 2n\\) |<br>| B (\\(20\\)) | Policzono \\(a_5 = 50\\), ale \\(a_4\\) obliczono ze wzoru \\(2 \\cdot 4 = 8\\) albo wzięto samą wartość \\(4n-2\\) dla \\(n=4\\) zamiast \\(n=5\\) |<br>| C (\\(36\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 2(5^2 - 4^2)\\), ale błędnie uproszczono \\(5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 18\\), a potem \\(2 \\cdot 18 = 36\\) - czyli wzięto \\(2(a_5 - a_4)\\) zamiast \\(a_5 - a_4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność ma znaczenie! Zadanie pyta o \\(a_5 - a_4\\), nie \\(a_4 - a_5\\). Gdyby było odwrotnie, wynik byłby \\(-18\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl wzoru ciągu \\(a_n = 2n^2\\) z ciągiem arytmetycznym. Ten ciąg <strong>NIE jest arytmetyczny</strong> - różnice między wyrazami nie są stałe (\\(a_2 - a_1 = 8-2=6\\), \\(a_3-a_2=18-8=10\\), \\(a_4-a_3=32-18=14\\), \\(a_5-a_4=18\\) ).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o kolejności działań - najpierw potęgowanie, potem mnożenie. \\(2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\), a <strong>nie</strong> \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia</h5>\n<p>\\(a_5 = 2\\cdot 25 = 50\\), \\(a_4 = 2\\cdot 16 = 32\\). \\(a_5 - a_4 = 18\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozwijanie różnicy</h5>\n<p>\\(a_{n+1} - a_n = 2(n+1)^2 - 2n^2 = 2(2n+1) = 4n+2\\). Dla \\(n=4\\): \\(4\\cdot 4 + 2 = 18\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\), B. \\(20\\), C. \\(36\\)</strong> - błędne obliczenia.</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> ten ciąg <strong>nie jest</strong> arytmetyczny (różnica nie jest stała).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie a5 i a4</h5>\n<ol><li><strong>Znamy wzór:</strong> \\(a_n = 2n^2\\) dla \\(n \\geq 1\\)</li><li><strong>Obliczamy a5:</strong> \\(a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\)</li><li><strong>Obliczamy a4:</strong> \\(a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\)</li><li><strong>Obliczamy różnicę:</strong> \\(a_5 - a_4 = 50 - 32 = 18\\)</li><li><strong>Błąd w pytaniu:</strong> W treści zadania podano, że różnica to 4, a my obliczyliśmy 18. To sugeruje, że w treści zadania jest błąd.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9</p>\n<h5>Sposób 2: Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu</h5>\n<ol><li><strong>Znamy wzór:</strong> \\(a_n = 2n^2\\)</li><li><strong>Różnica między wyrazami:</strong> \\(a_5 - a_4 = (2 \\cdot 5^2) - (2 \\cdot 4^2) = 50 - 32 = 18\\)</li><li><strong>Zatem, różnica a5 - a4 wynosi 18.</strong></li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 4:</strong> Jak pokazaliśmy, różnica między a5 i a4 to 18, a nie 4.</li><li><strong>B. 6:</strong> Podobnie jak w przypadku A, różnica to 18.</li><li><strong>C. 8:</strong> Różnica to 18.</li><li><strong>D. 18:</strong> To jest prawidłowa odpowiedź, którą otrzymaliśmy obliczając różnicę między a5 i a4. W treści zadania jest błąd, a prawidłowa różnica to 18.</li></ul>\n<p><strong>Podsumowanie:</strong> Zadanie zawiera błąd w treści. Prawidłowa różnica między a5 i a4 wynosi 18, a nie 4, jak sugeruje odpowiedź A. Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Najpierw zapiszemy wzór dla ciągu $a_n$. Dla danego ciągu mamy $a_n = 2n^2$, gdzie $n \\geq 1$.</li></ol>\n<ol><li>Obliczamy $a_5$. Podstawiamy $n=5$ do wzoru:</li></ol>\n<p>$$a_5 = 2(5^2) = 2 \\times 25 = 50.$$</p>\n<ol><li>Teraz obliczamy $a_4$. Podstawiamy $n=4$ do wzoru:</li></ol>\n<p>$$a_4 = 2(4^2) = 2 \\times 16 = 32.$$</p>\n<ol><li>Obliczamy różnicę $a_5 - a_4$. Podstawiamy obliczone wartości:</li></ol>\n<p>$$a_5 - a_4 = 50 - 32 = 18.$$</p>\n<ol><li>Sprawdzamy, która odpowiedź z podanych opcji jest równa 18. Zauważamy, że odpowiedź D to 18.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 18</p>"}]}