{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica\ntego ciągu jest równa 5. Suma\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\njest równa\nA.\n42\nB.\n36\nC.\n18\nD. 6\nRozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy a_4=2020. Suma a_2+a_6 jest równa A. 505 B. 1010 C. 2020 D. 4040","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty\nwyraz i na sumę n-początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(-18\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na wyraz ogólny\n\nZnamy \\(a_4 = 3\\) oraz różnicę \\(r = 5\\).\n\nZe wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[3 = a_1 + 3 \\cdot 5\\]\n\\[3 = a_1 + 15\\]\n\\[a_1 = 3 - 15 = -12\\]\n\nMamy więc:\n\\[a_1 = -12, \\quad a_2 = -7, \\quad a_3 = -2, \\quad a_4 = 3\\]\n\nSuma:\n\\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 + (-7) + (-2) + 3 = \\mathbf{-18}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na sumę \\(S_n\\)\n\nSkoro znamy \\(a_1 = -12\\) i \\(a_4 = 3\\), możemy skorzystać bezpośrednio ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{-12 + 3}{2} \\cdot 4 = \\frac{-9}{2} \\cdot 4 = \\mathbf{-18}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_4 = 3\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do szybkiego obliczenia sumy czterech wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-42)\\) | Wzięcie \\(r = -5\\) (zły znak różnicy) → \\(a_1 = 18\\) nie, albo błędne cofanie: liczenie \\(a_1 = a_4 + 3r = 3 + 15 = 18\\), a potem suma \\(-42\\) po kolejnych błędach |\n| B \\((-36)\\) | Pomylenie wzoru: wyliczenie \\(a_1 = -12\\), ale zsumowanie pięciu wyrazów \\(a_0 + a_1 + \\ldots + a_4\\) lub błąd arytmetyczny w dodawaniu |\n| D \\((6)\\) | Zignorowanie \\(a_1, a_2, a_3\\) i policzenie tylko \\(a_4 + a_5 = 3 + 8 = 11\\), albo wzięcie \\(a_4 = 3\\) jako \\(a_1\\) i suma \\(3 + 8 + 13 + 18 = 42\\) → błędny kierunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = 5\\) oznacza, że ciąg **rośnie** - czyli wyrazy **przed** \\(a_4\\) są **mniejsze**. Często uczniowie cofają się dodając \\(r\\) zamiast odejmując, i wychodzi im \\(a_1 = 18\\) (błąd znaku).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko gdy znamy **pierwszy i ostatni wyraz** sumy - tutaj \\(a_1\\) i \\(a_4\\). Jeśli sumujesz od \\(a_2\\) do \\(a_5\\), musisz podstawić odpowiednie wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić indeksy - \\(a_4 = a_1 + 3r\\), bo różnica pojawia się \\((n-1) = 3\\) razy, nie \\(4\\) razy!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\), suma\n\\(a_4 = a_1 + 3r = 3 \\Rightarrow a_1 = 3 - 15 = -12\\).\n\\(a_2 = -7, a_3 = -2, a_4 = 3\\).\nSuma: \\(-12 - 7 - 2 + 3 = -18\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_4 = \\tfrac{a_1+a_4}{2}\\cdot 4 = \\tfrac{-12+3}{2}\\cdot 4 = -18\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nBłędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\nW tym przypadku chcemy obliczyć sumę pierwszych 4 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\). W naszym przypadku \\(n = 4\\), \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica. Wiemy, że czwarty wyraz to \\(a_4 = a_1 + 3r = 3\\). Różnica to \\(r = 5\\). Podstawiamy do wzoru na \\(S_4\\):\n\n\\[S_4 = \\frac{4}{2}(2a_1 + (4-1)5) = 2(2a_1 + 15) = 4a_1 + 30\\]\n\nTeraz musimy obliczyć \\(a_1\\). Wiemy, że \\(a_4 = a_1 + 3r = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\). Zatem \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\).\n\nPodstawiamy \\(a_1 = -12\\) do wzoru na \\(S_4\\):\n\n\\[S_4 = 4(-12) + 30 = -48 + 30 = -18\\]\n\n📖 Karta wzorów: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Znamy \\(a_4 = 3\\) i \\(r = 5\\). Zatem:\n\n\\[a_4 = a_1 + (4-1)5 = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\]\n\nStąd \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\). Teraz możemy obliczyć sumę:\n\n\\[S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 1 + (-12 + 5) + (-12 + 10) + 3 = 1 - 7 - 2 + 3 = -5\\]\nTo jest błąd w obliczeniach. Poprawnie:\n\n\\[S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 4a_1 + 6r = 4(-12) + 6(5) = -48 + 30 = -18\\]\n\n📖 Karta wzorów: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. -42:** Obliczenia są błędne, a metoda nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.\n* **B. -36:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, obliczenia są błędne.\n* **D. 6:** Wzory są poprawne, ale obliczenia prowadzą do błędnego wyniku.\n\nW obu sposobach rozwiązania otrzymujemy wynik -18. Zatem poprawna odpowiedź to C.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
W ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica
tego ciągu jest równa 5. Suma
1
2
3
4
a
a
a
a
jest równa
A.
42
B.
36
C.
18
D. 6
Rozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy a_4=2020. Suma a_2+a_6 jest równa A. 505 B. 1010 C. 2020 D. 4040

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty
\n

wyraz i na sumę n-początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).
Wersja X
Wersja Y
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(-18\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na wyraz ogólny

\n

Znamy \\(a_4 = 3\\) oraz różnicę \\(r = 5\\).

\n

Ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Podstawiamy \\(n = 4\\):
\\[a_4 = a_1 + 3r\\]
\\[3 = a_1 + 3 \\cdot 5\\]
\\[3 = a_1 + 15\\]
\\[a_1 = 3 - 15 = -12\\]

\n

Mamy więc:
\\[a_1 = -12, \\quad a_2 = -7, \\quad a_3 = -2, \\quad a_4 = 3\\]

\n

Suma:
\\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 + (-7) + (-2) + 3 = \\mathbf{-18}\\]

\n

Sposób 2 - wzór na sumę \\(S_n\\)

\n

Skoro znamy \\(a_1 = -12\\) i \\(a_4 = 3\\), możemy skorzystać bezpośrednio ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:

\n

\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Dla \\(n = 4\\):
\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{-12 + 3}{2} \\cdot 4 = \\frac{-9}{2} \\cdot 4 = \\mathbf{-18}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź C.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_4 = 3\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do szybkiego obliczenia sumy czterech wyrazów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((-42)\\) | Wzięcie \\(r = -5\\) (zły znak różnicy) → \\(a_1 = 18\\) nie, albo błędne cofanie: liczenie \\(a_1 = a_4 + 3r = 3 + 15 = 18\\), a potem suma \\(-42\\) po kolejnych błędach |
| B \\((-36)\\) | Pomylenie wzoru: wyliczenie \\(a_1 = -12\\), ale zsumowanie pięciu wyrazów \\(a_0 + a_1 + \\ldots + a_4\\) lub błąd arytmetyczny w dodawaniu |
| D \\((6)\\) | Zignorowanie \\(a_1, a_2, a_3\\) i policzenie tylko \\(a_4 + a_5 = 3 + 8 = 11\\), albo wzięcie \\(a_4 = 3\\) jako \\(a_1\\) i suma \\(3 + 8 + 13 + 18 = 42\\) → błędny kierunek |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Różnica \\(r = 5\\) oznacza, że ciąg rośnie - czyli wyrazy przed \\(a_4\\) są mniejsze. Często uczniowie cofają się dodając \\(r\\) zamiast odejmując, i wychodzi im \\(a_1 = 18\\) (błąd znaku).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko gdy znamy pierwszy i ostatni wyraz sumy - tutaj \\(a_1\\) i \\(a_4\\). Jeśli sumujesz od \\(a_2\\) do \\(a_5\\), musisz podstawić odpowiednie wartości.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić indeksy - \\(a_4 = a_1 + 3r\\), bo różnica pojawia się \\((n-1) = 3\\) razy, nie \\(4\\) razy!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\), suma
\n

\\(a_4 = a_1 + 3r = 3 \\Rightarrow a_1 = 3 - 15 = -12\\).
\\(a_2 = -7, a_3 = -2, a_4 = 3\\).
Suma: \\(-12 - 7 - 2 + 3 = -18\\).

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę
\n

\\(S_4 = \\tfrac{a_1+a_4}{2}\\cdot 4 = \\tfrac{-12+3}{2}\\cdot 4 = -18\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Błędy rachunkowe.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
\n

W tym przypadku chcemy obliczyć sumę pierwszych 4 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\). W naszym przypadku \\(n = 4\\), \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica. Wiemy, że czwarty wyraz to \\(a_4 = a_1 + 3r = 3\\). Różnica to \\(r = 5\\). Podstawiamy do wzoru na \\(S_4\\):

\n

\\[S_4 = \\frac{4}{2}(2a_1 + (4-1)5) = 2(2a_1 + 15) = 4a_1 + 30\\]

\n

Teraz musimy obliczyć \\(a_1\\). Wiemy, że \\(a_4 = a_1 + 3r = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\). Zatem \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\).

\n

Podstawiamy \\(a_1 = -12\\) do wzoru na \\(S_4\\):

\n

\\[S_4 = 4(-12) + 30 = -48 + 30 = -18\\]

\n

📖 Karta wzorów: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2, strona 9

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
\n

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Znamy \\(a_4 = 3\\) i \\(r = 5\\). Zatem:

\n

\\[a_4 = a_1 + (4-1)5 = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\]

\n

Stąd \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\). Teraz możemy obliczyć sumę:

\n

\\[S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 1 + (-12 + 5) + (-12 + 10) + 3 = 1 - 7 - 2 + 3 = -5\\]
To jest błąd w obliczeniach. Poprawnie:

\n

\\[S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 4a_1 + 6r = 4(-12) + 6(5) = -48 + 30 = -18\\]

\n

📖 Karta wzorów: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach rozwiązania otrzymujemy wynik -18. Zatem poprawna odpowiedź to C.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ $a_4 = 3$, $r = 5$, a więc $a_1 = a_4 - 3r = 3 - 3 \\cdot 5 = -12$.
$a_2=-12+5=-7$
$a_3=-7+5=-2$
Suma jest więc równa: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 + (-7) + (-2) + 3 = -18$.

"}]}