{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n,\n1\n1\n3\nA =\nnależy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n3\nf\nx\nx\nb\nWynika stąd, że\nA.\n2\nb =\nB.\n1\nb =\nC.\n1\nb = -\nD.\n2\nb = -\nRozwiązanie zadania. Punkt P=(-3,7) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=(2m-1)x+5 A. m=1/6 B. m=-1/6 C. m=5/6 D. m=-5/6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji liniowej na podstawie\ninformacji o funkcji lub o jej wykresie\n(4.6).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -2\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nSkoro punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = 3x + b\\), to para \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) spełnia równanie funkcji.\n\nPodstawiamy \\(x = \\frac{1}{3}\\) i \\(f(x) = -1\\):\n\n\\[-1 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} + b\\]\n\n\\[-1 = 1 + b\\]\n\n\\[b = -1 - 1\\]\n\n\\[\\boxed{b = -2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -2\\) punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) rzeczywiście leży na wykresie \\(f(x) = 3x - 2\\):\n\n\\[f\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = 3 \\cdot \\frac{1}{3} - 2 = 1 - 2 = -1 \\checkmark\\]\n\nWartość funkcji w \\(x = \\frac{1}{3}\\) wynosi \\(-1\\), co zgadza się z drugą współrzędną punktu \\(A\\). Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawienie współrzędnych punktu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(b = 2\\) | Uczeń liczy \\(b = -1 + 3 = 2\\) - dodaje zamiast odejmować, lub myli kierunek przenoszenia |\n| B: \\(b = 1\\) | Uczeń pomija wartość \\(f(x) = -1\\) i podstawia tylko \\(x = \\frac{1}{3}\\): \\(b = 1 - \\frac{1}{3} \\cdot 3 = 0\\), albo traktuje \\(-1\\) tylko jako znak |\n| C: \\(b = -1\\) | Uczeń upraszcza \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(1\\), lub pomija wynik mnożenia i bierze \\(b = f(x) = -1\\) wprost |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) to \\((x, y)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\). Wielu uczniów odwraca kolejność i podstawia \\(x = -1\\), \\(f(x) = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\). Szybkie mnożenie ułamka przez liczbę to częste źródło błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po obliczeniu \\(-1 = 1 + b\\) przenosimy \\(1\\) na lewą stronę ze **zmienionym znakiem**: \\(b = -1 - 1 = -2\\). Błąd znaku przy przenoszeniu to klasyczna pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktu\n\\(f\\left(\\tfrac{1}{3}\\right) = -1\\):\n\\[3\\cdot\\tfrac{1}{3} + b = -1 \\Rightarrow 1 + b = -1 \\Rightarrow b = -2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zły znak.\n- **B. \\(1\\)** - błąd w dodawaniu.\n- **C. \\(-1\\)** - \\(3\\cdot\\tfrac{1}{3} = 1\\), a to już jest po lewej stronie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na współrzędną punktu na prostej\n\nKluczowym elementem jest zrozumienie, że punkt A = (13, -1) leży na prostej o równaniu f(x) = 3x + b. Oznacza to, że współrzędne x i y punktu A spełniają równanie tej prostej. Zatem możemy wstawić współrzędne punktu A do wzoru funkcji i rozwiązać równanie, aby znaleźć wartość b.\n\nKrok 1: Wstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji:\nf(13) = 3 * 13 + b\n\nKrok 2: Znamy wartość f(13) z definicji punktu A, czyli f(13) = -1. Podstawiamy to do równania:\n-1 = 3 * 13 + b\n-1 = 39 + b\n\nKrok 3: Rozwiązujemy równanie względem b:\nb = -1 - 39\nb = -40\n\nOczywiście, b = -40 nie jest jedną z podanych odpowiedzi. Sprawdźmy, czy w treści zadania nie ma błędu. Z treści zadania wynika, że A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x + b. Zatem:\n\nf(13) = 3 * 13 + b = -1\n39 + b = -1\nb = -1 - 39\nb = -40\n\nWygląda na to, że w treści zadania jest błąd. Jednakże, jeśli założymy, że podane odpowiedzi są poprawne, to musimy sprawdzić, która z nich daje najmniejszy błąd.\n\nJeśli b = -40, to f(x) = 3x - 40. Sprawdźmy, czy A=(13, -1) spełnia to równanie:\nf(13) = 3 * 13 - 40 = 39 - 40 = -1. Zatem A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x - 40.\n\nW treści zadania jest błąd. Prawidłowa odpowiedź to b = -40, która nie znajduje się w podanych odpowiedziach. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy wybrać odpowiedź, która jest najbliżej -40.\n\nZatem, z podanych odpowiedzi, najbliżej -40 jest b = -2.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt i o podanym nachyleniu.\n\nWzór na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x₀, y₀) o nachyleniu k to:\ny - y₀ = k(x - x₀)\n\nW naszym przypadku:\n* (x₀, y₀) = (13, -1)\n* k = 3 (z wzoru f(x) = 3x + b)\n\nPodstawiamy te wartości do wzoru:\ny - (-1) = 3(x - 13)\ny + 1 = 3x - 39\ny = 3x - 40\n\nPorównując to równanie z f(x) = 3x + b, widzimy, że b = -40. Ponownie, to nie jest żadna z podanych odpowiedzi.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(b = 2\\)**: Jeśli b = 2, to f(x) = 3x + 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 2 = 39 + 2 = 41, co nie jest równe -1.\n* **B. \\(b = 1\\)**: Jeśli b = 1, to f(x) = 3x + 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 1 = 39 + 1 = 40, co nie jest równe -1.\n* **C. \\(b = -1\\)**: Jeśli b = -1, to f(x) = 3x - 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 1 = 39 - 1 = 38, co nie jest równe -1.\n* **D. \\(b = -2\\)**: Jeśli b = -2, to f(x) = 3x - 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 2 = 39 - 2 = 37, co nie jest równe -1.\n\nPodsumowując, w treści zadania jest błąd, ponieważ punkt A = (13, -1) nie spełnia równania f(x) = 3x + b dla żadnej z podanych wartości b. Jednakże, wybierając najbliższą wartość, otrzymujemy b = -40, co jest bliskie odpowiedzi D.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Punkt<br>(<br>)<br>,<br>1<br>1<br>3<br>A =<br>należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem<br>( )<br>3<br>f<br>x<br>x<br>b<br>Wynika stąd, że<br>A.<br>2<br>b =<br>B.<br>1<br>b =<br>C.<br>1<br>b = -<br>D.<br>2<br>b = -<br>Rozwiązanie zadania. Punkt P=(-3,7) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=(2m-1)x+5 A. m=1/6 B. m=-1/6 C. m=5/6 D. m=-5/6.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wzór</li></ol>\n<p>funkcji liniowej na podstawie<br>informacji o funkcji lub o jej wykresie<br>(4.6).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji</h4>\n<p>Skoro punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = 3x + b\\), to para \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) spełnia równanie funkcji.</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = \\frac{1}{3}\\) i \\(f(x) = -1\\):</p>\n<p>\\[-1 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} + b\\]</p>\n<p>\\[-1 = 1 + b\\]</p>\n<p>\\[b = -1 - 1\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{b = -2}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja wyniku</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(b = -2\\) punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) rzeczywiście leży na wykresie \\(f(x) = 3x - 2\\):</p>\n<p>\\[f\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = 3 \\cdot \\frac{1}{3} - 2 = 1 - 2 = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wartość funkcji w \\(x = \\frac{1}{3}\\) wynosi \\(-1\\), co zgadza się z drugą współrzędną punktu \\(A\\). Wynik jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawienie współrzędnych punktu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(b = 2\\) | Uczeń liczy \\(b = -1 + 3 = 2\\) - dodaje zamiast odejmować, lub myli kierunek przenoszenia |<br>| B: \\(b = 1\\) | Uczeń pomija wartość \\(f(x) = -1\\) i podstawia tylko \\(x = \\frac{1}{3}\\): \\(b = 1 - \\frac{1}{3} \\cdot 3 = 0\\), albo traktuje \\(-1\\) tylko jako znak |<br>| C: \\(b = -1\\) | Uczeń upraszcza \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(1\\), lub pomija wynik mnożenia i bierze \\(b = f(x) = -1\\) wprost |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) to \\((x, y)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\). Wielu uczniów odwraca kolejność i podstawia \\(x = -1\\), \\(f(x) = \\frac{1}{3}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\). Szybkie mnożenie ułamka przez liczbę to częste źródło błędów rachunkowych.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po obliczeniu \\(-1 = 1 + b\\) przenosimy \\(1\\) na lewą stronę ze <strong>zmienionym znakiem</strong>: \\(b = -1 - 1 = -2\\). Błąd znaku przy przenoszeniu to klasyczna pułapka.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie punktu</h5>\n<p>\\(f\\left(\\tfrac{1}{3}\\right) = -1\\):<br>\\[3\\cdot\\tfrac{1}{3} + b = -1 \\Rightarrow 1 + b = -1 \\Rightarrow b = -2.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - zły znak.</li><li><strong>B. \\(1\\)</strong> - błąd w dodawaniu.</li><li><strong>C. \\(-1\\)</strong> - \\(3\\cdot\\tfrac{1}{3} = 1\\), a to już jest po lewej stronie.</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na współrzędną punktu na prostej</h5>\n<p>Kluczowym elementem jest zrozumienie, że punkt A = (13, -1) leży na prostej o równaniu f(x) = 3x + b. Oznacza to, że współrzędne x i y punktu A spełniają równanie tej prostej. Zatem możemy wstawić współrzędne punktu A do wzoru funkcji i rozwiązać równanie, aby znaleźć wartość b.</p>\n<p>Krok 1: Wstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji:<br>f(13) = 3 * 13 + b</p>\n<p>Krok 2: Znamy wartość f(13) z definicji punktu A, czyli f(13) = -1. Podstawiamy to do równania:<br>-1 = 3 * 13 + b<br>-1 = 39 + b</p>\n<p>Krok 3: Rozwiązujemy równanie względem b:<br>b = -1 - 39<br>b = -40</p>\n<p>Oczywiście, b = -40 nie jest jedną z podanych odpowiedzi. Sprawdźmy, czy w treści zadania nie ma błędu. Z treści zadania wynika, że A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x + b. Zatem:</p>\n<p>f(13) = 3 * 13 + b = -1<br>39 + b = -1<br>b = -1 - 39<br>b = -40</p>\n<p>Wygląda na to, że w treści zadania jest błąd. Jednakże, jeśli założymy, że podane odpowiedzi są poprawne, to musimy sprawdzić, która z nich daje najmniejszy błąd.</p>\n<p>Jeśli b = -40, to f(x) = 3x - 40. Sprawdźmy, czy A=(13, -1) spełnia to równanie:<br>f(13) = 3 * 13 - 40 = 39 - 40 = -1. Zatem A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x - 40.</p>\n<p>W treści zadania jest błąd. Prawidłowa odpowiedź to b = -40, która nie znajduje się w podanych odpowiedziach. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy wybrać odpowiedź, która jest najbliżej -40.</p>\n<p>Zatem, z podanych odpowiedzi, najbliżej -40 jest b = -2.</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt i o podanym nachyleniu.</h5>\n<p>Wzór na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x₀, y₀) o nachyleniu k to:<br>y - y₀ = k(x - x₀)</p>\n<p>W naszym przypadku:</p>\n<ul><li>(x₀, y₀) = (13, -1)</li><li>k = 3 (z wzoru f(x) = 3x + b)</li></ul>\n<p>Podstawiamy te wartości do wzoru:<br>y - (-1) = 3(x - 13)<br>y + 1 = 3x - 39<br>y = 3x - 40</p>\n<p>Porównując to równanie z f(x) = 3x + b, widzimy, że b = -40. Ponownie, to nie jest żadna z podanych odpowiedzi.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(b = 2\\)</strong>: Jeśli b = 2, to f(x) = 3x + 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 2 = 39 + 2 = 41, co nie jest równe -1.</li><li><strong>B. \\(b = 1\\)</strong>: Jeśli b = 1, to f(x) = 3x + 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 1 = 39 + 1 = 40, co nie jest równe -1.</li><li><strong>C. \\(b = -1\\)</strong>: Jeśli b = -1, to f(x) = 3x - 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 1 = 39 - 1 = 38, co nie jest równe -1.</li><li><strong>D. \\(b = -2\\)</strong>: Jeśli b = -2, to f(x) = 3x - 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 2 = 39 - 2 = 37, co nie jest równe -1.</li></ul>\n<p>Podsumowując, w treści zadania jest błąd, ponieważ punkt A = (13, -1) nie spełnia równania f(x) = 3x + b dla żadnej z podanych wartości b. Jednakże, wybierając najbliższą wartość, otrzymujemy b = -40, co jest bliskie odpowiedzi D.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, podstawiając punkt $\\small \\displaystyle A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)$ do wzoru funkcji $f(x) = 3x + b$, otrzymujesz $\\small \\displaystyle -1 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} + b$, co prowadzi do $b = -2$.</p>"}]}