{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPunkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta ABC jest równa\nA. 59°\nB. 48°\nC. 62°\nD. 31°\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(80,-1) i B=(- 6,-19) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku C jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych A. (43,-10) B. (37,10) C. (43,10) D. (37,-10)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje\nzależności między kątem środkowym\ni kątem wpisanym (7.1).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany oparty na łuku CA\n\n**Kluczowe spostrzeżenie z rysunku:** Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą na jednej prostej (widać to na rysunku - \\(O\\) leży między \\(D\\) a \\(A\\)). Oznacza to, że \\(DA\\) jest **średnicą** okręgu, a zatem:\n\\[\\text{arc } DA = 180^\\circ\\]\n\n**Krok 1.** Kąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) wyznacza łuk \\(DC\\):\n\\[\\text{arc } DC = 118^\\circ\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(C\\) leży na półokręgu \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc łuki \\(DC\\) i \\(CA\\) sumują się do półokręgu:\n\\[\\text{arc } DC + \\text{arc } CA = 180^\\circ\\]\n\\[\\text{arc } CA = 180^\\circ - 118^\\circ = 62^\\circ\\]\n\n**Krok 3.** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(CA\\) (łuk po stronie nie zawierającej punktu \\(B\\)). Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{arc } CA}{2} = \\frac{62^\\circ}{2} = \\boxed{31^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Odjęcie kątów wpisanych\n\n**Krok 1.** Skoro \\(DA\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty:\n\\[\\angle DBA = 90^\\circ\\]\n(Punkt \\(B\\) leży na okręgu po stronie nie zawierającej \\(C\\), więc kąt \\(\\angle DBA\\) jest oparty na pełnym półłuku \\(DA\\).)\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(\\angle DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118^\\circ\\):\n\\[\\angle DBC = \\frac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\]\n\n**Krok 3.** Kąt \\(\\angle ABC\\) to różnica:\n\\[\\angle ABC = \\angle DBA - \\angle DBC = 90^\\circ - 59^\\circ = \\boxed{31^\\circ}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\) z łuku \\(CA\\), w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle DBC\\) z łuku \\(DC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany oparty na średnicy:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90^\\circ\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 (\\(\\angle DBA = 90^\\circ\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(59^\\circ\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{118^\\circ}{2}\\) - stosuje twierdzenie o kącie wpisanym, ale do łuku \\(DC\\) zamiast łuku \\(CA\\). Myli, który łuk „widzi\" kąt \\(\\angle ABC\\). |\n| B | \\(48^\\circ\\) | Błędne odczytanie z rysunku lub pominięcie faktu, że \\(DA\\) jest średnicą - błędnie wyznaczony łuk \\(CA\\). |\n| C | \\(62^\\circ\\) | Poprawnie wyznaczony łuk \\(CA = 62^\\circ\\), ale zapomnienie o podzieleniu przez 2 - uczeń podaje miarę łuku zamiast miary kąta wpisanego. |\n| D | \\(31^\\circ\\) | ✓ Poprawna odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to zauważenie, że \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe na rysunku - to oznacza, że \\(DA\\) jest średnicą. Bez tego spostrzeżenia zadanie wydaje się nierozwiązywalne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) nie jest oparty na łuku \\(DC\\), lecz na łuku \\(CA\\) - łuku po drugiej stronie okręgu, „naprzeciw\" kąta. Uważaj, który łuk jest właściwy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miary łuku (\\(62^\\circ\\)) z miarą kąta wpisanego (\\(31^\\circ\\)) - kąt wpisany to zawsze **połowa** łuku, nie cały łuk.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku\nKąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) opiera się na łuku \\(DC\\) (małym). Kąt wpisany na tym samym łuku (z drugiej strony) = \\(\\tfrac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\).\n\nJednak kąt \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(AC\\), a nie \\(DC\\). Z konfiguracji rysunku:\n- cięciwy \\(AC\\) i \\(BD\\) przecinają się.\n- Można zauważyć, że \\(\\angle ABC = \\angle ABD - \\angle DBC\\) lub podobną zależność.\n\nZ klucza CKE: \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\). Wyznaczenie kąta \\(AOC\\) z konfiguracji rysunku i dedukcja: łuk \\(AC\\) (bez \\(B\\)) = \\(62^\\circ\\), więc kąt wpisany \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Przez sumę kątów\nNa rysunku można zauważyć, że \\(AC \\perp BO\\) (widoczny kąt prosty przy rysunku). Wówczas z prostopadłości i kąta środkowego \\(DOC = 118^\\circ\\) można wyliczyć łuk \\(AC\\) = 62°, stąd \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(59^\\circ\\)** - kąt wpisany na łuku \\(DC\\), nie \\(AC\\).\n- **B, C** - inne błędne interpretacje konfiguracji.\n\n**Klucz:** kąt \\(\\angle ABC\\) jest oparty na innym łuku niż kąt środkowy \\(DOC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie kąta wpisanego i kąta środkowego\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n2. **Obliczenie kąta środkowego DOC:** Kąt środkowy DOC ma miarę 118°.\n3. **Obliczenie kąta ABC:** Kąt ABC jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku CD. Zatem, miare kąta ABC wynosi połowę kąta DOC:\n\\[\n\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle DOC = \\frac{1}{2} \\cdot 118^\\circ = 59^\\circ\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.19, \"Wycinek: kąt wpisany=½ środkowego\"\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta międzystanowego\n\n1. **Zrozumienie:** Kąt środkowy DOC to 118 stopni. Kąt międzystanowy AOC to kąt, który powstaje między łukami AC i OC.\n2. **Obliczenie kąta AOC:** Kąt AOC jest kątem międzystanowym. Znamy kąt DOC (118 stopni). Kąt AOC jest równy 180 - kąt DOC - kąt BOC. Kąt BOC to 180 - kąt DOC = 180 - 118 = 62. Zatem:\n\\[\n\\angle AOC = 180^\\circ - 118^\\circ - (180^\\circ - 118^\\circ) = 180 - 118 - 62 = 0\n\\]\nTo nie jest dobry sposób.\n3. **Obliczenie kąta ABC:** Kąt ABC to kąt wpisany, który opiera się na łuku AC. Kąt środkowy AC to 180 - 118 = 62. Zatem:\n\\[\n\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot (180 - 118) = \\frac{1}{2} \\cdot 62 = 31^\\circ\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.18, \"Tales, koło P=πr², L=2πr\" - (nie bezpośrednio, ale ilustruje relacje kątów w okręgu)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(59^{\\circ}\\):** To jest miara kąta wpisanego, który jest połową kąta środkowego, ale zadanie pyta o miarę kąta ABC, a nie kąta wpisanego.\n* **B. \\(48^{\\circ}\\):** To wartość z karty wzorów, która nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **C. \\(62^{\\circ}\\):** To miara kąta środkowego AC, a nie kąta ABC.\n* **D. \\(31^{\\circ}\\):** To jest poprawna miara kąta ABC, obliczona jako połowa kąta środkowego DOC.\n\n**Podsumowanie:** Kluczem do rozwiązania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi opartymi na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°
(zobacz rysunek).
Miara kąta ABC jest równa
A. 59°
B. 48°
C. 62°
D. 31°
Rozwiązanie zadania. Punkty A=(80,-1) i B=(- 6,-19) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku C jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych A. (43,-10) B. (37,10) C. (43,10) D. (37,-10)

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje
\n

zależności między kątem środkowym
i kątem wpisanym (7.1).
Wersja X
Wersja Y
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(31^\\circ\\)

\n

Sposób 1 - Kąt wpisany oparty na łuku CA

\n

Kluczowe spostrzeżenie z rysunku: Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą na jednej prostej (widać to na rysunku - \\(O\\) leży między \\(D\\) a \\(A\\)). Oznacza to, że \\(DA\\) jest średnicą okręgu, a zatem:
\\[\\text{arc } DA = 180^\\circ\\]

\n

Krok 1. Kąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) wyznacza łuk \\(DC\\):
\\[\\text{arc } DC = 118^\\circ\\]

\n

Krok 2. Punkt \\(C\\) leży na półokręgu \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc łuki \\(DC\\) i \\(CA\\) sumują się do półokręgu:
\\[\\text{arc } DC + \\text{arc } CA = 180^\\circ\\]
\\[\\text{arc } CA = 180^\\circ - 118^\\circ = 62^\\circ\\]

\n

Krok 3. Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(CA\\) (łuk po stronie nie zawierającej punktu \\(B\\)). Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym:
\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{arc } CA}{2} = \\frac{62^\\circ}{2} = \\boxed{31^\\circ}\\]

\n

Sposób 2 - Odjęcie kątów wpisanych

\n

Krok 1. Skoro \\(DA\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty:
\\[\\angle DBA = 90^\\circ\\]
(Punkt \\(B\\) leży na okręgu po stronie nie zawierającej \\(C\\), więc kąt \\(\\angle DBA\\) jest oparty na pełnym półłuku \\(DA\\).)

\n

Krok 2. Kąt wpisany \\(\\angle DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118^\\circ\\):
\\[\\angle DBC = \\frac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\]

\n

Krok 3. Kąt \\(\\angle ABC\\) to różnica:
\\[\\angle ABC = \\angle DBA - \\angle DBC = 90^\\circ - 59^\\circ = \\boxed{31^\\circ}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]
\n

Użyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\) z łuku \\(CA\\), w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle DBC\\) z łuku \\(DC\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt wpisany oparty na średnicy:

\n
Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90^\\circ\\).
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2 (\\(\\angle DBA = 90^\\circ\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wynik | Typowy błąd |
| A | \\(59^\\circ\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{118^\\circ}{2}\\) - stosuje twierdzenie o kącie wpisanym, ale do łuku \\(DC\\) zamiast łuku \\(CA\\). Myli, który łuk „widzi" kąt \\(\\angle ABC\\). |
| B | \\(48^\\circ\\) | Błędne odczytanie z rysunku lub pominięcie faktu, że \\(DA\\) jest średnicą - błędnie wyznaczony łuk \\(CA\\). |
| C | \\(62^\\circ\\) | Poprawnie wyznaczony łuk \\(CA = 62^\\circ\\), ale zapomnienie o podzieleniu przez 2 - uczeń podaje miarę łuku zamiast miary kąta wpisanego. |
| D | \\(31^\\circ\\) | ✓ Poprawna odpowiedź |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najważniejszy krok to zauważenie, że \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe na rysunku - to oznacza, że \\(DA\\) jest średnicą. Bez tego spostrzeżenia zadanie wydaje się nierozwiązywalne!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) nie jest oparty na łuku \\(DC\\), lecz na łuku \\(CA\\) - łuku po drugiej stronie okręgu, „naprzeciw" kąta. Uważaj, który łuk jest właściwy!
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl miary łuku (\\(62^\\circ\\)) z miarą kąta wpisanego (\\(31^\\circ\\)) - kąt wpisany to zawsze połowa łuku, nie cały łuk.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku
\n

Kąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) opiera się na łuku \\(DC\\) (małym). Kąt wpisany na tym samym łuku (z drugiej strony) = \\(\\tfrac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\).

\n

Jednak kąt \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(AC\\), a nie \\(DC\\). Z konfiguracji rysunku:

\n\n

Z klucza CKE: \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\). Wyznaczenie kąta \\(AOC\\) z konfiguracji rysunku i dedukcja: łuk \\(AC\\) (bez \\(B\\)) = \\(62^\\circ\\), więc kąt wpisany \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).

\n
Sposób 2 - Przez sumę kątów
\n

Na rysunku można zauważyć, że \\(AC \\perp BO\\) (widoczny kąt prosty przy rysunku). Wówczas z prostopadłości i kąta środkowego \\(DOC = 118^\\circ\\) można wyliczyć łuk \\(AC\\) = 62°, stąd \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Klucz: kąt \\(\\angle ABC\\) jest oparty na innym łuku niż kąt środkowy \\(DOC\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Wykorzystanie kąta wpisanego i kąta środkowego
\n
  1. Zrozumienie relacji: Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.
  2. Obliczenie kąta środkowego DOC: Kąt środkowy DOC ma miarę 118°.
  3. Obliczenie kąta ABC: Kąt ABC jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku CD. Zatem, miare kąta ABC wynosi połowę kąta DOC:
\n

\\[
\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle DOC = \\frac{1}{2} \\cdot 118^\\circ = 59^\\circ
\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.19, "Wycinek: kąt wpisany=½ środkowego"

\n
Sposób 2: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta międzystanowego
\n
  1. Zrozumienie: Kąt środkowy DOC to 118 stopni. Kąt międzystanowy AOC to kąt, który powstaje między łukami AC i OC.
  2. Obliczenie kąta AOC: Kąt AOC jest kątem międzystanowym. Znamy kąt DOC (118 stopni). Kąt AOC jest równy 180 - kąt DOC - kąt BOC. Kąt BOC to 180 - kąt DOC = 180 - 118 = 62. Zatem:
\n

\\[
\\angle AOC = 180^\\circ - 118^\\circ - (180^\\circ - 118^\\circ) = 180 - 118 - 62 = 0
\\]
To nie jest dobry sposób.

\n
  1. Obliczenie kąta ABC: Kąt ABC to kąt wpisany, który opiera się na łuku AC. Kąt środkowy AC to 180 - 118 = 62. Zatem:
\n

\\[
\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot (180 - 118) = \\frac{1}{2} \\cdot 62 = 31^\\circ
\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.18, "Tales, koło P=πr², L=2πr" - (nie bezpośrednio, ale ilustruje relacje kątów w okręgu)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Kluczem do rozwiązania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi opartymi na tym samym łuku.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ miara kąta środkowego $\\sphericalangle AOC$ jest równa $\\sphericalangle AOC = 180^\\circ - 118^\\circ = 62^\\circ$ (kąty $\\sphericalangle DOC$ i $\\sphericalangle AOC$ są kątami przyległymi).
Kąt $\\sphericalangle ABC$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $\\sphericalangle AOC$ - czyli ma $2$ razy mniejszą miarę.
$\\sphericalangle ABC=62^\\circ : 2 = 31^\\circ$

"}]}