{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nProsta przechodząca przez punkty\n(\n)\n3,\n2\nA =\ni\n(\n)\n1,6\nB = -\njest określona równaniem\nA.\n2\n4\ny\nx\nB.\n2\n8\ny\nx\nC.\n2\n8\ny\nx\nD.\n2\n4\ny\nx\n1\nn ≥\nC\nB\nD\nO\nA\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. √2/2 B. 4√2 C. √6/4 D. 2√6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej przechodzącej przez\ndwa dane punkty (w postaci\nkierunkowej lub ogólnej) (8.1).\nWersja X\nWersja Y\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(y = -2x + 4\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty\n\n**Krok 1: Oblicz współczynnik kierunkowy \\(a\\)**\n\nMamy punkty \\(A = (3, -2)\\) i \\(B = (-1, 6)\\). Współczynnik kierunkowy to:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\nProsta ma zatem postać \\(y = -2x + b\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz wyraz wolny \\(b\\)**\n\nPodstawiamy współrzędne punktu \\(A = (3, -2)\\) (można też wziąć punkt \\(B\\)):\n\n\\[-2 = -2 \\cdot 3 + b\\]\n\\[-2 = -6 + b\\]\n\\[b = 4\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{y = -2x + 4}\\)\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie obu punktów\n\nMamy kandydatkę \\(y = -2x + 4\\). Sprawdzamy, czy oba punkty leżą na tej prostej.\n\n**Punkt \\(A = (3, -2)\\):**\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2 \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(B = (-1, 6)\\):**\n\\[y = -2 \\cdot (-1) + 4 = 2 + 4 = 6 \\checkmark\\]\n\nOba punkty spełniają równanie - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik \\(a = -2\\), ale błędne \\(b\\): prawdopodobnie obliczono \\(b = y_A - a \\cdot y_A\\) zamiast \\(b = y_A - a \\cdot x_A\\), lub podstawiono \\(x\\) zamiast \\(y\\) |\n| C | Pomylono znak współczynnika kierunkowego: wzięto \\(\\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}\\) zamiast \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), co daje \\(a = +2\\) |\n| D | Poprawny błąd znaku \\(a = +2\\) i błędne \\(b\\): kombinacja obu błędów z C i B |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów w liczniku i mianowniku MUSI być taka sama! Zawsze \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) - jeśli w liczniku dajesz \\(y_B - y_A\\), to w mianowniku koniecznie \\(x_B - x_A\\), nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu punktu do wzoru \\(y = ax + b\\) uważaj na minus: dla punktu \\(A = (3, \\mathbf{-2})\\) piszemy \\(\\mathbf{-2} = -2 \\cdot 3 + b\\), nie \\(+2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Możesz użyć dowolnego z dwóch punktów do wyznaczenia \\(b\\) - wynik powinien wyjść identyczny. Jeśli nie wychodzi - popełniłeś błąd rachunkowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt\n\\(a = \\dfrac{6-(-2)}{-1-3} = \\dfrac{8}{-4} = -2\\).\nRównanie przez \\(A\\): \\(y - (-2) = -2(x - 3) \\Rightarrow y = -2x + 6 - 2 = -2x + 4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie\nOpcja A: \\(y = -2x + 4\\).\n- \\(A = (3, -2)\\): \\(-2\\cdot 3 + 4 = -2\\) ✓\n- \\(B = (-1, 6)\\): \\(-2\\cdot(-1) + 4 = 6\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażda inna opcja zawiera co najmniej jeden z punktów, który nie spełnia równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.\n\n1. **Znajdź współrzędne wyznaczone:** Współrzędne wyznaczone (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to punkty, przez które przechodzi prosta. W naszym przypadku:\n* (x₁, y₁) = (3, -2)\n* (x₂, y₂) = (-1, 6)\n\n2. **Oblicz współczynnik kierunkowy (m):** Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:\n\\[m = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]\nPodstawiając wartości:\n\\[m = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\n3. **Oblicz wyraz wolny (b):** Używając współczynnika kierunkowego i jednego z punktów (np. (3, -2)) oraz wzoru na równanie prostej:\n\\[y - y₁ = m(x - x₁)\\]\n\\[y - (-2) = -2(x - 3)\\]\n\\[y + 2 = -2x + 6\\]\n\\[y = -2x + 4\\]\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej (Ax + By + C = 0) i porównanie z danymi.\n\n1. **Oblicz wyznacznik:** Znajdź wyznacznik (determinant) dla punktów A i B. Wyznacznik to:\n\\[D = (x₂ - x₁)(y₁ - y₂) - (x₁ - x₂)(y₂ - y₁)\\]\n\\[D = (-1 - 3)(6 - (-2)) - (3 - (-1))(6 - (-2)) = (-4)(8) - (4)(8) = -32 - 32 = -64\\]\n\n2. **Oblicz współczynniki A, B i C:** Wzór na równanie prostej w postaci ogólnej to:\n\\[Ax + By + C = 0\\]\nZnamy D = -64. Możemy to wykorzystać do znalezienia A i B:\n\\[A = \\frac{y₂ - y₁}{D} = \\frac{6 - (-2)}{-64} = \\frac{8}{-64} = -\\frac{1}{8}\\]\n\\[B = \\frac{x₁ - x₂}{D} = \\frac{3 - (-1)}{-64} = \\frac{4}{-64} = -\\frac{1}{16}\\]\n\\[C = y₁ - m x₁ = -2 - (-\\frac{1}{8})(3) = -2 + \\frac{3}{8} = -\\frac{16}{8} + \\frac{3}{8} = -\\frac{13}{8}\\]\nZatem równanie prostej to:\n\\[-\\frac{1}{8}x - \\frac{1}{16}y - \\frac{13}{8} = 0\\]\nMnożąc przez 16:\n\\[-2x - y - 26 = 0\\]\n\\[y = -2x - 26\\]\nTo jest błąd! Powinniśmy otrzymać y = -2x + 4. Wygląda na to, że pierwszy sposób jest prawidłowy.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(y = -2 x - 8\\):** Współczynnik kierunkowy jest -2, ale obliczenia wyrazu wolnego prowadzą do błędnego wyniku.\n* **C. \\(y = 2 x + 8\\):** Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.\n* **D. \\(y = 2 x - 4\\):** Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Prosta przechodząca przez punkty<br>(<br>)<br>3,<br>2<br>A =<br>i<br>(<br>)<br>1,6<br>B = -<br>jest określona równaniem<br>A.<br>2<br>4<br>y<br>x<br>B.<br>2<br>8<br>y<br>x<br>C.<br>2<br>8<br>y<br>x<br>D.<br>2<br>4<br>y<br>x<br>1<br>n ≥<br>C<br>B<br>D<br>O<br>A</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Rozwiązanie zadania. Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. √2/2 B. 4√2 C. √6/4 D. 2√6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie</li></ol>\n<p>kartezjańskiej. Zdający wyznacza<br>równanie prostej przechodzącej przez<br>dwa dane punkty (w postaci<br>kierunkowej lub ogólnej) (8.1).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(y = -2x + 4\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty</h4>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz współczynnik kierunkowy \\(a\\)</strong></p>\n<p>Mamy punkty \\(A = (3, -2)\\) i \\(B = (-1, 6)\\). Współczynnik kierunkowy to:</p>\n<p>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]</p>\n<p>Prosta ma zatem postać \\(y = -2x + b\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wyraz wolny \\(b\\)</strong></p>\n<p>Podstawiamy współrzędne punktu \\(A = (3, -2)\\) (można też wziąć punkt \\(B\\)):</p>\n<p>\\[-2 = -2 \\cdot 3 + b\\]<br>\\[-2 = -6 + b\\]<br>\\[b = 4\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> \\(\\boxed{y = -2x + 4}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie obu punktów</h4>\n<p>Mamy kandydatkę \\(y = -2x + 4\\). Sprawdzamy, czy oba punkty leżą na tej prostej.</p>\n<p><strong>Punkt \\(A = (3, -2)\\):</strong><br>\\[y = -2 \\cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Punkt \\(B = (-1, 6)\\):</strong><br>\\[y = -2 \\cdot (-1) + 4 = 2 + 4 = 6 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba punkty spełniają równanie - odpowiedź A jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej przez dwa punkty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Poprawny współczynnik \\(a = -2\\), ale błędne \\(b\\): prawdopodobnie obliczono \\(b = y_A - a \\cdot y_A\\) zamiast \\(b = y_A - a \\cdot x_A\\), lub podstawiono \\(x\\) zamiast \\(y\\) |<br>| C | Pomylono znak współczynnika kierunkowego: wzięto \\(\\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}\\) zamiast \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), co daje \\(a = +2\\) |<br>| D | Poprawny błąd znaku \\(a = +2\\) i błędne \\(b\\): kombinacja obu błędów z C i B |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność punktów w liczniku i mianowniku MUSI być taka sama! Zawsze \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) - jeśli w liczniku dajesz \\(y_B - y_A\\), to w mianowniku koniecznie \\(x_B - x_A\\), nie odwrotnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy podstawianiu punktu do wzoru \\(y = ax + b\\) uważaj na minus: dla punktu \\(A = (3, \\mathbf{-2})\\) piszemy \\(\\mathbf{-2} = -2 \\cdot 3 + b\\), nie \\(+2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Możesz użyć dowolnego z dwóch punktów do wyznaczenia \\(b\\) - wynik powinien wyjść identyczny. Jeśli nie wychodzi - popełniłeś błąd rachunkowy!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt</h5>\n<p>\\(a = \\dfrac{6-(-2)}{-1-3} = \\dfrac{8}{-4} = -2\\).<br>Równanie przez \\(A\\): \\(y - (-2) = -2(x - 3) \\Rightarrow y = -2x + 6 - 2 = -2x + 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzanie</h5>\n<p>Opcja A: \\(y = -2x + 4\\).</p>\n<ul><li>\\(A = (3, -2)\\): \\(-2\\cdot 3 + 4 = -2\\) ✓</li><li>\\(B = (-1, 6)\\): \\(-2\\cdot(-1) + 4 = 6\\) ✓</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Każda inna opcja zawiera co najmniej jeden z punktów, który nie spełnia równania.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.</h5>\n<ol><li><strong>Znajdź współrzędne wyznaczone:</strong> Współrzędne wyznaczone (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to punkty, przez które przechodzi prosta. W naszym przypadku:</li></ol>\n<ul><li>(x₁, y₁) = (3, -2)</li><li>(x₂, y₂) = (-1, 6)</li></ul>\n<ol><li><strong>Oblicz współczynnik kierunkowy (m):</strong> Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:</li></ol>\n<p>\\[m = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]<br>Podstawiając wartości:<br>\\[m = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]</p>\n<ol><li><strong>Oblicz wyraz wolny (b):</strong> Używając współczynnika kierunkowego i jednego z punktów (np. (3, -2)) oraz wzoru na równanie prostej:</li></ol>\n<p>\\[y - y₁ = m(x - x₁)\\]<br>\\[y - (-2) = -2(x - 3)\\]<br>\\[y + 2 = -2x + 6\\]<br>\\[y = -2x + 4\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej (Ax + By + C = 0) i porównanie z danymi.</h5>\n<ol><li><strong>Oblicz wyznacznik:</strong> Znajdź wyznacznik (determinant) dla punktów A i B. Wyznacznik to:</li></ol>\n<p>\\[D = (x₂ - x₁)(y₁ - y₂) - (x₁ - x₂)(y₂ - y₁)\\]<br>\\[D = (-1 - 3)(6 - (-2)) - (3 - (-1))(6 - (-2)) = (-4)(8) - (4)(8) = -32 - 32 = -64\\]</p>\n<ol><li><strong>Oblicz współczynniki A, B i C:</strong> Wzór na równanie prostej w postaci ogólnej to:</li></ol>\n<p>\\[Ax + By + C = 0\\]<br>Znamy D = -64. Możemy to wykorzystać do znalezienia A i B:<br>\\[A = \\frac{y₂ - y₁}{D} = \\frac{6 - (-2)}{-64} = \\frac{8}{-64} = -\\frac{1}{8}\\]<br>\\[B = \\frac{x₁ - x₂}{D} = \\frac{3 - (-1)}{-64} = \\frac{4}{-64} = -\\frac{1}{16}\\]<br>\\[C = y₁ - m x₁ = -2 - (-\\frac{1}{8})(3) = -2 + \\frac{3}{8} = -\\frac{16}{8} + \\frac{3}{8} = -\\frac{13}{8}\\]<br>Zatem równanie prostej to:<br>\\[-\\frac{1}{8}x - \\frac{1}{16}y - \\frac{13}{8} = 0\\]<br>Mnożąc przez 16:<br>\\[-2x - y - 26 = 0\\]<br>\\[y = -2x - 26\\]<br>To jest błąd! Powinniśmy otrzymać y = -2x + 4. Wygląda na to, że pierwszy sposób jest prawidłowy.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(y = -2 x - 8\\):</strong> Współczynnik kierunkowy jest -2, ale obliczenia wyrazu wolnego prowadzą do błędnego wyniku.</li><li><strong>C. \\(y = 2 x + 8\\):</strong> Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.</li><li><strong>D. \\(y = 2 x - 4\\):</strong> Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ ta prosta przechodzi przez oba dane punkty, a może istnieć tylko jedna taka prosta.<br>Dla $x=3$ mamy: $y=-2\\cdot 3+4=-2$ - czyli wykres przechodzi przez punkt $A$.<br>Dla $x=-1$ mamy: $y=-2\\cdot(-1)+4=6$ - czyli wykres przechodzi przez punkt $B$.</p>"}]}