{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych\ni\n(zobacz rysunek).\nWyrażenie 2cos\nsin\nα\nβ\njest równe\nA.\nB.\nC. 0\nD.\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna BC ma długość 250 cm, a przyprostokątna AC ma długość 91 cm. Miara β kąta ABC spełnia warunek A. 19° < β < 21° B. 21° < β < 23° C. 67° < β < 69° D. 69° < β < 71°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający\nwykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus\ni tangens kątów o miarach\nod 0° do 180° (6.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\cos\\alpha\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór redukcyjny (kąty dopełniające)\n\nW trójkącie prostokątnym **suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\)**:\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\nZ tego wynika, że \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).\n\nStosujemy wzór redukcyjny:\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]\n\n**Wynik: \\(\\cos\\alpha\\)**\n\n## Sposób 2 - Definicja funkcji trygonometrycznych (podstawienie liczbowe)\n\nWybierzmy konkretny trójkąt prostokątny, np. o kątach \\(\\alpha = 60°\\) i \\(\\beta = 30°\\).\n\nOdczytujemy wartości z tabeli:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\nLiczymy wyrażenie:\n\\[2\\cos 60° - \\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSprawdzamy odpowiedzi dla \\(\\alpha = 60°\\):\n- A: \\(2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n- **B: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\)** ✓\n- C: \\(0\\) ✗\n- D: \\(2\\) ✗\n\nWeryfikacja potwierdza odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, zamieniając \\(\\sin\\beta\\) na \\(\\cos\\alpha\\) - kluczowy krok całego rozwiązania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości dla kątów 30°, 45°, 60° - użyta w Sposobie 2 do weryfikacji liczbowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(2\\sin\\beta - \\sin\\beta = \\sin\\beta\\) lub myli zamiany - dostaje \\(2\\sin\\beta\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| C | Uczeń błędnie zakłada, że \\(\\cos\\alpha = \\sin\\beta = 1\\), więc \\(2 \\cdot 1 - 1 = 1\\), albo myli \\(2\\cos\\alpha - 2\\cos\\alpha = 0\\) (zamienił oba na \\(\\cos\\alpha\\) ale pomnożył jeden przez 2 i drugiego nie) |\n| D | Uczeń podstawia \\(\\cos\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\beta = 0\\) - wartości z granicznych (nie ostrych!) kątów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) w trójkącie prostokątnym są **dopełniające** (\\(\\alpha + \\beta = 90°\\)), NIE suplementarne (\\(180°\\)). To fundamentalny fakt - zawsze go sprawdź!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory redukcyjne dla \\(90°\\): sinus zamieniamy na cosinus i odwrotnie. Dla \\(180°\\) sinus zostaje, cosinus zmienia znak - nie mylić tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy widzisz w zadaniu wyrażenie z \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) z jednego trójkąta - zawsze sprawdź, czy możesz skorzystać z zależności \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To często klucz do uproszczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność kątów ostrych w trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), więc \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).\n\nZatem:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha.\\]\n\n### Sposób 2 - Konkretny trójkąt\nJeśli \\(\\alpha = 30^\\circ\\), \\(\\beta = 60^\\circ\\): \\(\\cos 30^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\cos\\alpha\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sin\\beta\\)** - to \\(2\\cos\\alpha\\), za duże.\n- **C. \\(0\\)** - tylko gdyby wyrażenie miało się zerować; nie zeruje się generalnie.\n- **D. \\(2\\)** - wartość stała, nie zależna od kąta.\n\n**Wzór:** \\(\\sin(90^\\circ-\\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kluczowe dla kątów dopełniających.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i tożsamości trygonometrycznych\n\n1. **Zrozumienie trójkąta:** Mamy trójkąt prostokątny, gdzie \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to kąty ostre. Zatem \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\).\n2. **Wykorzystanie tożsamości:** Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Ponieważ \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), to \\(\\beta = 90^\\circ - \\alpha\\). Zatem \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).\n3. **Podstawienie:** Wstawiamy \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) do wyrażenia:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi** strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n1. **Zrozumienie trójkąta:** Ponownie, mamy trójkąt prostokątny z kątami ostrymi \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\).\n2. **Wzory trygonometryczne:**\n* \\(\\sin\\alpha = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\))\n* \\(\\cos\\alpha = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\))\n* \\(\\sin\\beta = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\beta = \\frac{a}{c}\\))\n* \\(\\cos\\beta = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\beta = \\frac{b}{c}\\))\n3. **Obliczenie:** Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Zatem:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2 \\cdot \\frac{b}{c} - \\frac{a}{c} = \\frac{2b - a}{c}\\]\n4. **Związek między a, b, c:** Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że \\(a^2 + b^2 = c^2\\). Możemy wyrazić \\(c\\) jako \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\).\n5. **Podstawienie:** Podstawiamy \\(c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) do wyrażenia:\n\\[\\frac{2b - a}{\\sqrt{a^2 + b^2}}\\]\nW tym przypadku, \\(a=b\\), więc \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = \\frac{2b - b}{\\sqrt{b^2 + b^2}} = \\frac{b}{b\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)\nTo jest błędne obliczenie, ponieważ nie wykorzystaliśmy, że \\(\\alpha = \\beta\\). Jednakże, w tym przypadku, \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Tryg** strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(2sin \\beta\\)**: To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(\\sin\\beta\\) jest równa \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(2sin\\beta\\).\n* **C. 0**: To jest nieprawidłowe, ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) są kątami mniejszymi od 90^\\circ\\), a zatem \\(\\cos\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) są różne od zera.\n* **D. 2**: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma żadnego wzoru, który dałby wynik 2 w tym przypadku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych<br>i<br>(zobacz rysunek).<br>Wyrażenie 2cos<br>sin<br>α<br>β<br>jest równe<br>A.<br>B.<br>C. 0<br>D.<br>Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna BC ma długość 250 cm, a przyprostokątna AC ma długość 91 cm. Miara β kąta ABC spełnia warunek A. 19° &lt; β &lt; 21° B. 21° &lt; β &lt; 23° C. 67° &lt; β &lt; 69° D. 69° &lt; β &lt; 71°.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający</li></ol>\n<p>wykorzystuje definicje i wyznacza<br>wartości funkcji sinus, cosinus<br>i tangens kątów o miarach<br>od 0° do 180° (6.1).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\cos\\alpha\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór redukcyjny (kąty dopełniające)</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym <strong>suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\)</strong>:<br>\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]</p>\n<p>Z tego wynika, że \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).</p>\n<p>Stosujemy wzór redukcyjny:<br>\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]</p>\n<p>Podstawiamy do wyrażenia:<br>\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\cos\\alpha\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Definicja funkcji trygonometrycznych (podstawienie liczbowe)</h4>\n<p>Wybierzmy konkretny trójkąt prostokątny, np. o kątach \\(\\alpha = 60°\\) i \\(\\beta = 30°\\).</p>\n<p>Odczytujemy wartości z tabeli:<br>\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Liczymy wyrażenie:<br>\\[2\\cos 60° - \\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy odpowiedzi dla \\(\\alpha = 60°\\):</p>\n<ul><li>A: \\(2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗</li><li><strong>B: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\)</strong> ✓</li><li>C: \\(0\\) ✗</li><li>D: \\(2\\) ✗</li></ul>\n<p>Weryfikacja potwierdza odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 14)</strong> - wzory redukcyjne:<br>\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1, zamieniając \\(\\sin\\beta\\) na \\(\\cos\\alpha\\) - kluczowy krok całego rozwiązania.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - tabela wartości dla kątów 30°, 45°, 60° - użyta w Sposobie 2 do weryfikacji liczbowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń liczy \\(2\\sin\\beta - \\sin\\beta = \\sin\\beta\\) lub myli zamiany - dostaje \\(2\\sin\\beta\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |<br>| C | Uczeń błędnie zakłada, że \\(\\cos\\alpha = \\sin\\beta = 1\\), więc \\(2 \\cdot 1 - 1 = 1\\), albo myli \\(2\\cos\\alpha - 2\\cos\\alpha = 0\\) (zamienił oba na \\(\\cos\\alpha\\) ale pomnożył jeden przez 2 i drugiego nie) |<br>| D | Uczeń podstawia \\(\\cos\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\beta = 0\\) - wartości z granicznych (nie ostrych!) kątów |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąty \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) w trójkącie prostokątnym są <strong>dopełniające</strong> (\\(\\alpha + \\beta = 90°\\)), NIE suplementarne (\\(180°\\)). To fundamentalny fakt - zawsze go sprawdź!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzory redukcyjne dla \\(90°\\): sinus zamieniamy na cosinus i odwrotnie. Dla \\(180°\\) sinus zostaje, cosinus zmienia znak - nie mylić tych dwóch przypadków!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kiedy widzisz w zadaniu wyrażenie z \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) z jednego trójkąta - zawsze sprawdź, czy możesz skorzystać z zależności \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To często klucz do uproszczenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność kątów ostrych w trójkącie prostokątnym</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), więc \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).</p>\n<p>Zatem:<br>\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Konkretny trójkąt</h5>\n<p>Jeśli \\(\\alpha = 30^\\circ\\), \\(\\beta = 60^\\circ\\): \\(\\cos 30^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).<br>\\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\cos\\alpha\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\sin\\beta\\)</strong> - to \\(2\\cos\\alpha\\), za duże.</li><li><strong>C. \\(0\\)</strong> - tylko gdyby wyrażenie miało się zerować; nie zeruje się generalnie.</li><li><strong>D. \\(2\\)</strong> - wartość stała, nie zależna od kąta.</li></ul>\n<p><strong>Wzór:</strong> \\(\\sin(90^\\circ-\\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kluczowe dla kątów dopełniających.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i tożsamości trygonometrycznych</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie trójkąta:</strong> Mamy trójkąt prostokątny, gdzie \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to kąty ostre. Zatem \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\).</li><li><strong>Wykorzystanie tożsamości:</strong> Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Ponieważ \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), to \\(\\beta = 90^\\circ - \\alpha\\). Zatem \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).</li><li><strong>Podstawienie:</strong> Wstawiamy \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) do wyrażenia:</li></ol>\n<p>\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Potęgi</strong> strona 4</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie trójkąta:</strong> Ponownie, mamy trójkąt prostokątny z kątami ostrymi \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\).</li><li><strong>Wzory trygonometryczne:</strong></li></ol>\n<ul><li>\\(\\sin\\alpha = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\))</li><li>\\(\\cos\\alpha = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\))</li><li>\\(\\sin\\beta = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\beta = \\frac{a}{c}\\))</li><li>\\(\\cos\\beta = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\beta = \\frac{b}{c}\\))</li></ul>\n<ol><li><strong>Obliczenie:</strong> Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Zatem:</li></ol>\n<p>\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2 \\cdot \\frac{b}{c} - \\frac{a}{c} = \\frac{2b - a}{c}\\]</p>\n<ol><li><strong>Związek między a, b, c:</strong> Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że \\(a^2 + b^2 = c^2\\). Możemy wyrazić \\(c\\) jako \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\).</li><li><strong>Podstawienie:</strong> Podstawiamy \\(c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) do wyrażenia:</li></ol>\n<p>\\[\\frac{2b - a}{\\sqrt{a^2 + b^2}}\\]<br>W tym przypadku, \\(a=b\\), więc \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = \\frac{2b - b}{\\sqrt{b^2 + b^2}} = \\frac{b}{b\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)<br>To jest błędne obliczenie, ponieważ nie wykorzystaliśmy, że \\(\\alpha = \\beta\\). Jednakże, w tym przypadku, \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\).</p>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Tryg</strong> strona 11</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2sin \\beta\\)</strong>: To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(\\sin\\beta\\) jest równa \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(2sin\\beta\\).</li><li><strong>C. 0</strong>: To jest nieprawidłowe, ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) są kątami mniejszymi od 90^\\circ\\), a zatem \\(\\cos\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) są różne od zera.</li><li><strong>D. 2</strong>: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma żadnego wzoru, który dałby wynik 2 w tym przypadku.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, kąty $\\alpha$ oraz $\\beta$ są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, a więc $\\beta = 90^\\circ-\\alpha$. Możemy więc zapisać:<br>$\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ-\\alpha)=\\cos\\alpha$<br>Podstawiając do równania:<br>$2\\cos\\alpha-\\sin\\beta = 2\\cos\\alpha-\\cos\\alpha=\\cos\\alpha$</p>"}]}