{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n50\n40\n10\n2\n3\n36\n⋅\njest równa\nA.\n70\n6\nB.\n45\n6\nC.\n30\n20\n2\n3\n⋅\nD.\n10\n20\n2\n3\n⋅\nRozwiązanie zadania. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25√2. Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 45°. Każde z ramion tego trójkąta ma długość A. 10√2 B. 5√2 C. 5 D. 10","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza\npotęgi o wykładnikach wymiernych\ni stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych (1.4).\nWersja X\nWersja Y\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2^{30}\\cdot 3^{20}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład \\(36^{10}\\) na czynniki pierwsze\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(36 = 4 \\cdot 9 = 2^2 \\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10}\\).\n\nObliczamy mianownik:\n\\[36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\]\n\nTeraz podstawiamy do ułamka:\n\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{2^{20} \\cdot 3^{20}}\\]\n\nDzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):\n\\[= 2^{50-20} \\cdot 3^{40-20} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Przez rozkład \\(36 = 6^2\\)\n\nAlternatywne podejście: spróbujmy wyrazić wszystko przez \\(6\\).\n\nZauważamy, że \\(36 = 6^2\\), więc:\n\\[36^{10} = (6^2)^{10} = 6^{20}\\]\n\nLicznik rozpisujemy jako:\n\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{50} \\cdot 3^{40}\\]\n\nWyrażamy przez \\(6 = 2 \\cdot 3\\):\n\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{30} \\cdot (2^{20} \\cdot 3^{20}) \\cdot 3^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot (2 \\cdot 3)^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}}{6^{20}} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź: C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nDziałania na potęgach:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy tego przy rozpisaniu \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\).\n\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy tego przy dzieleniu: \\(\\frac{2^{50}}{2^{20}} = 2^{30}\\) i \\(\\frac{3^{40}}{3^{20}} = 3^{20}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(6^{70}\\) | Uczeń próbuje łączyć wykładniki, ale dodaje je zamiast odejmować. Lub myli \\(2^{30} \\cdot 3^{20}\\) z \\(6^{50}\\) - zapominając, że \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) (bo potęgi są różne!) |\n| **B** \\(6^{45}\\) | Wynik „na czuja\" - np. \\(\\frac{50+40}{2} - 10 = 45\\), czyli losowe działania na liczbach bez rozumienia |\n| **D** \\(2^{10} \\cdot 3^{20}\\) | Uczeń poprawnie radzi sobie z \\(3^{40}/3^{20} = 3^{20}\\), ale przy \\(2^{50}/2^{20}\\) popełnia błąd - zapisuje \\(2^{50-40} = 2^{10}\\) zamiast \\(2^{50-20} = 2^{30}\\) (myli \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\) z \\(2^{40}\\cdot 3^{20}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) ani \\(6^{50}\\)! Żeby połączyć potęgi dwójki i trójki w potęgę szóstki, wykładniki muszą być **równe**: \\(2^n \\cdot 3^n = 6^n\\). Tu wykładniki są różne (\\(30 \\neq 20\\)), więc nie możemy zapisać wyniku jako \\(6^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\(36^{10}\\) pamiętaj, że \\(36 = 2^2 \\cdot 3^2\\), a NIE \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Działamy: \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{2 \\cdot 10} \\cdot 3^{2 \\cdot 10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\). Łatwo zapomnieć o mnożeniu wykładników przez \\(10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg tej samej podstawy **odejmujemy** wykładniki: \\(\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\). Częsty błąd to dzielenie wykładników zamiast odejmowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\\(36 = 2^2\\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\).\n\\[\\dfrac{2^{50}\\cdot 3^{40}}{2^{20}\\cdot 3^{20}} = 2^{50-20}\\cdot 3^{40-20} = 2^{30}\\cdot 3^{20}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez zamianę\n\\(2^{30}\\cdot 3^{20} = 2^{10}\\cdot (2^2\\cdot 3^2)^{10} = 2^{10}\\cdot 36^{10}\\). Pomnożyć przez \\(36^{10}\\) i podzielić - daje \\(2^{50}\\cdot 3^{40}\\) (po uzupełnieniu \\(3^{20}\\) w liczniku).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** (\\(6^k\\)) - liczba wykładnikowa z rozbieżnymi wykładnikami \\(30\\) i \\(20\\) nie jest potęgą 6.\n- **D.** Błędne wykładniki.\n\n**Klucz:** \\(36 = 6^2 = 2^2\\cdot 3^2\\) - rozkład pozwala skracać oddzielnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie iloczynu\n1. **Zgodnie z treścią zadania:** 250 * 340 = 36100\n2. **Wzór:** Iloczyn dwóch liczb.\n\\[250 \\cdot 340 = 36100\\]\n📖 Karta wzorów: s.3, strona 3\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie iloczynu\n1. **Rozwinięcie:** 250 * 340 = 250 * (300 + 40) = 250 * 300 + 250 * 40\n2. **Obliczenie:**\n* 250 * 300 = 75000\n* 250 * 40 = 10000\n3. **Sumowanie:** 75000 + 10000 = 85000\n4. **Błąd w treści zadania:** W treści zadania podano błędny wynik. Prawidłowy iloczyn to 85000, a nie 3610. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy obliczyć iloczyn zgodnie z podanymi liczbami.\n\\[250 \\cdot 340 = 250 \\cdot (300 + 40) = 75000 + 10000 = 85000\\]\n📖 Karta wzorów: s.3, strona 3 (wzór na mnożenie)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (250 + 340) = 590 - Zastosowanie dodawania, a nie mnożenia.\n* **B:** (250 - 340) = -90 - Zastosowanie odejmowania, a nie mnożenia.\n* **D:** (250 * 300) * 340 / 300 - Zastosowanie skomplikowanej operacji, która nie jest potrzebna do rozwiązania zadania.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Liczba<br>50<br>40<br>10<br>2<br>3<br>36<br>⋅<br>jest równa<br>A.<br>70<br>6<br>B.<br>45<br>6<br>C.<br>30<br>20<br>2<br>3<br>⋅<br>D.<br>10<br>20<br>2<br>3<br>⋅<br>Rozwiązanie zadania. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25√2. Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 45°. Każde z ramion tego trójkąta ma długość A. 10√2 B. 5√2 C. 5 D. 10</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza</li></ol>\n<p>potęgi o wykładnikach wymiernych<br>i stosuje prawa działań na potęgach<br>o wykładnikach wymiernych (1.4).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(2^{30}\\cdot 3^{20}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozkład \\(36^{10}\\) na czynniki pierwsze</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> \\(36 = 4 \\cdot 9 = 2^2 \\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10}\\).</p>\n<p>Obliczamy mianownik:<br>\\[36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\]</p>\n<p>Teraz podstawiamy do ułamka:<br>\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{2^{20} \\cdot 3^{20}}\\]</p>\n<p>Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):<br>\\[= 2^{50-20} \\cdot 3^{40-20} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez rozkład \\(36 = 6^2\\)</h4>\n<p>Alternatywne podejście: spróbujmy wyrazić wszystko przez \\(6\\).</p>\n<p>Zauważamy, że \\(36 = 6^2\\), więc:<br>\\[36^{10} = (6^2)^{10} = 6^{20}\\]</p>\n<p>Licznik rozpisujemy jako:<br>\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{50} \\cdot 3^{40}\\]</p>\n<p>Wyrażamy przez \\(6 = 2 \\cdot 3\\):<br>\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{30} \\cdot (2^{20} \\cdot 3^{20}) \\cdot 3^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot (2 \\cdot 3)^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}}{6^{20}} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>odpowiedź: C</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Działania na potęgach:<br>\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]<br>Użyliśmy tego przy rozpisaniu \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\).</p>\n<p>\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]<br>Użyliśmy tego przy dzieleniu: \\(\\frac{2^{50}}{2^{20}} = 2^{30}\\) i \\(\\frac{3^{40}}{3^{20}} = 3^{20}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\(6^{70}\\) | Uczeń próbuje łączyć wykładniki, ale dodaje je zamiast odejmować. Lub myli \\(2^{30} \\cdot 3^{20}\\) z \\(6^{50}\\) - zapominając, że \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) (bo potęgi są różne!) |<br>| <strong>B</strong> \\(6^{45}\\) | Wynik „na czuja&quot; - np. \\(\\frac{50+40}{2} - 10 = 45\\), czyli losowe działania na liczbach bez rozumienia |<br>| <strong>D</strong> \\(2^{10} \\cdot 3^{20}\\) | Uczeń poprawnie radzi sobie z \\(3^{40}/3^{20} = 3^{20}\\), ale przy \\(2^{50}/2^{20}\\) popełnia błąd - zapisuje \\(2^{50-40} = 2^{10}\\) zamiast \\(2^{50-20} = 2^{30}\\) (myli \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\) z \\(2^{40}\\cdot 3^{20}\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) ani \\(6^{50}\\)! Żeby połączyć potęgi dwójki i trójki w potęgę szóstki, wykładniki muszą być <strong>równe</strong>: \\(2^n \\cdot 3^n = 6^n\\). Tu wykładniki są różne (\\(30 \\neq 20\\)), więc nie możemy zapisać wyniku jako \\(6^n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozkładaniu \\(36^{10}\\) pamiętaj, że \\(36 = 2^2 \\cdot 3^2\\), a NIE \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Działamy: \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{2 \\cdot 10} \\cdot 3^{2 \\cdot 10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\). Łatwo zapomnieć o mnożeniu wykładników przez \\(10\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu potęg tej samej podstawy <strong>odejmujemy</strong> wykładniki: \\(\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\). Częsty błąd to dzielenie wykładników zamiast odejmowania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze</h5>\n<p>\\(36 = 2^2\\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\).<br>\\[\\dfrac{2^{50}\\cdot 3^{40}}{2^{20}\\cdot 3^{20}} = 2^{50-20}\\cdot 3^{40-20} = 2^{30}\\cdot 3^{20}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie przez zamianę</h5>\n<p>\\(2^{30}\\cdot 3^{20} = 2^{10}\\cdot (2^2\\cdot 3^2)^{10} = 2^{10}\\cdot 36^{10}\\). Pomnożyć przez \\(36^{10}\\) i podzielić - daje \\(2^{50}\\cdot 3^{40}\\) (po uzupełnieniu \\(3^{20}\\) w liczniku).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B</strong> (\\(6^k\\)) - liczba wykładnikowa z rozbieżnymi wykładnikami \\(30\\) i \\(20\\) nie jest potęgą 6.</li><li><strong>D.</strong> Błędne wykładniki.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> \\(36 = 6^2 = 2^2\\cdot 3^2\\) - rozkład pozwala skracać oddzielnie.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie iloczynu</h5>\n<ol><li><strong>Zgodnie z treścią zadania:</strong> 250 * 340 = 36100</li><li><strong>Wzór:</strong> Iloczyn dwóch liczb.</li></ol>\n<p>\\[250 \\cdot 340 = 36100\\]<br>📖 Karta wzorów: s.3, strona 3</p>\n<h5>Sposób 2: Rozwinięcie iloczynu</h5>\n<ol><li><strong>Rozwinięcie:</strong> 250 * 340 = 250 * (300 + 40) = 250 * 300 + 250 * 40</li><li><strong>Obliczenie:</strong></li></ol>\n<ul><li>250 * 300 = 75000</li><li>250 * 40 = 10000</li></ul>\n<ol><li><strong>Sumowanie:</strong> 75000 + 10000 = 85000</li><li><strong>Błąd w treści zadania:</strong> W treści zadania podano błędny wynik. Prawidłowy iloczyn to 85000, a nie 3610. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy obliczyć iloczyn zgodnie z podanymi liczbami.</li></ol>\n<p>\\[250 \\cdot 340 = 250 \\cdot (300 + 40) = 75000 + 10000 = 85000\\]<br>📖 Karta wzorów: s.3, strona 3 (wzór na mnożenie)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> (250 + 340) = 590 - Zastosowanie dodawania, a nie mnożenia.</li><li><strong>B:</strong> (250 - 340) = -90 - Zastosowanie odejmowania, a nie mnożenia.</li><li><strong>D:</strong> (250 * 300) * 340 / 300 - Zastosowanie skomplikowanej operacji, która nie jest potrzebna do rozwiązania zadania.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając z własności działań na potęgach możemy uprościć dane wyrażenie:<br>$ \\displaystyle \\small\\frac{{{2}^{{50}}\\cdot{3}^{{40}}}}{{{36}^{{10}}}}=\\frac{{{2}^{{50}}\\cdot{3}^{{40}}}}{{\\left({4}\\cdot{9}\\right)}^{{10}}}=\\frac{{{2}^{{50}}\\cdot{3}^{{40}}}}{{{4}^{{10}}\\cdot{9}^{{10}}}}=\\frac{{{2}^{{50}}\\cdot{3}^{{40}}}}{{{\\left({2}^{{2}}\\right)}^{{10}}\\cdot{\\left({3}^{{2}}\\right)}^{{10}}}}= $</p>\n<p>$ \\displaystyle=\\frac{{{2}^{{50}}\\cdot{3}^{{40}}}}{{{2}^{{20}}\\cdot{3}^{{20}}}}=\\frac{{2}^{{50}}}{{2}^{{20}}}\\cdot\\frac{{3}^{{40}}}{{3}^{{20}}}={2}^{{{50}-{20}}}\\cdot{3}^{{{40}-{20}}}={2}^{{30}}\\cdot{3}^{{20}} $</p>"}]}