{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których\ncyfry się nie powtarzają?\nA. 10\nB. 15\nC. 20\nD. 25\nRozwiązanie zadania. Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od 4, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od 6, jest A. 4⋅4⋅5⋅5 B. 5⋅4⋅6⋅5 C. 5⋅5⋅6⋅6 D. 4⋅3⋅5⋅4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej.\nTeoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający zlicza\nobiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych,\nniewymagających użycia wzorów\nkombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania (10.2).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **20**\n\n## Sposób 1 - Zasada mnożenia (reguła iloczynu)\n\nTworzymy liczbę dwucyfrową, czyli wybieramy:\n- **cyfry dziesiątek** (pierwsza pozycja)\n- **cyfry jedności** (druga pozycja)\n\nMamy do dyspozycji cyfry: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - łącznie **5 cyfr**, cyfry się nie powtarzają.\n\n**Pierwsza cyfra (dziesiątki):**\nMożemy wybrać dowolną z 5 cyfr.\n\\[\\text{5 możliwości}\\]\n\n**Druga cyfra (jedności):**\nJedna cyfra jest już zajęta, więc zostają **4 cyfry** do wyboru.\n\\[\\text{4 możliwości}\\]\n\n**Zastosowanie zasady mnożenia:**\n\\[5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Wariacje bez powtórzeń\n\nWybieramy **2 cyfry z 5** na wyróżnione pozycje (kolejność ma znaczenie - liczba 13 ≠ 31), więc liczymy **wariacje bez powtórzeń**:\n\n\\[V_5^2 = \\frac{5!}{(5-2)!} = \\frac{5!}{3!} = \\frac{5 \\cdot 4 \\cdot 3!}{3!} = 5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]\n\n**Weryfikacja - wypisanie dla cyfry 1 na pierwszej pozycji:**\n\\[13, \\; 15, \\; 17, \\; 19 \\quad \\rightarrow \\text{4 liczby}\\]\nAnalogicznie dla \\(3, 5, 7, 9\\) na pierwszej pozycji - po 4 liczby każda.\n\\[5 \\cdot 4 = 20 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:\n\\[V_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!}\\]\nTutaj \\(n = 5\\) cyfr, \\(k = 2\\) pozycje, kolejność ma znaczenie (bo 13 ≠ 31), cyfry się nie powtarzają.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(10\\) | Policzono kombinacje \\(\\binom{5}{2} = 10\\) - wybrano pary cyfr, ale **zapomniano**, że liczba 13 i 31 to **dwie różne liczby** (kolejność ma znaczenie!) |\n| B. \\(15\\) | Prawdopodobnie pomieszano wzór - np. \\(\\binom{6}{2}\\) lub inne nieuzasadnione obliczenie |\n| D. \\(25\\) | Policzono \\(5 \\cdot 5 = 25\\), czyli **dopuszczono powtórzenia** cyfr (np. 11, 33, 55 ) - a treść wyraźnie mówi „cyfry się nie powtarzają\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wynik 10 - uczniowie liczą kombinacje \\(\\binom{5}{2}\\), zapominając że **kolejność cyfr ma znaczenie** w liczbach (13 ≠ 31).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik 25 to efekt policzenia wariantów **z powtórzeniami** (\\(5^2\\)). Zawsze sprawdź, czy treść mówi \"cyfry się nie powtarzają\" - jeśli tak, odejmujesz już użyte cyfry od puli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"naturalne\" nie wyklucza żadnej z podanych cyfr (wszystkie są dodatnie), więc tu nie ma pułapki z zerem - ale w podobnych zadaniach z zerem uważaj, że **0 nie może stać na miejscu dziesiątek!**\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nCyfra dziesiątek: 5 opcji. Cyfra jedności: 4 opcje (bez powtórzenia).\n\\(5\\cdot 4 = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Permutacje \\(5\\) po 2\n\\(V_2^5 = 5! / 3! = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - kombinacje \\(\\binom{5}{2} = 10\\); ale tu kolejność ma znaczenie.\n- **B. \\(15\\), D. \\(25\\)** - inne błędne formuły.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Liczba permutacji\nTen sposób polega na obliczeniu liczby wszystkich możliwych uporządkowań cyfr 1, 3, 5, 7, 9, a następnie odjęciu od tej liczby przypadków, w których cyfry się powtarzają.\n\n1. **Oblicz liczbę wszystkich dwucyfrowych liczb** utworzonych z cyfr 1, 3, 5, 7, 9. Dla pierwszej pozycji mamy 5 możliwości (dowolną z cyfr 1, 3, 5, 7, 9), a dla drugiej pozycji mamy 4 pozostałe cyfry. Zatem liczba wszystkich dwucyfrowych liczb wynosi: 5 * 4 = 20.\n📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Sposób 2: Wybór dwóch cyfr bez powtórzeń\nMożemy to również traktować jako problem wyboru dwóch cyfr z pięciu, gdzie kolejność ma znaczenie (bo 13 i 31 to różne liczby). Jest to problem kombinacji.\n\n1. **Oblicz liczbę kombinacji** z 5 elementów po 2, czyli \\(C(5,2)\\) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.\n📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 10:** Jest to wynik z pierwszego sposobu, który nie uwzględnia wszystkich możliwości.\n* **B. 15:** Jest to liczba, która nie jest równa liczbie wszystkich dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z podanych cyfr.\n* **D. 25:** Jest to liczba, która jest znacznie większa niż liczba możliwych dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z podanych cyfr.\n\n**Podsumowanie:** Zadanie polega na znalezieniu liczby dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z cyfr 1, 3, 5, 7, 9, przy warunku, że żadna cyfra się nie powtarza. Obliczona liczba to 20. W pytaniu o błędne odpowiedzi, zakładam, że w pytaniu mogło być błąd i zamiast 20 powinno być 25.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których
cyfry się nie powtarzają?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
Rozwiązanie zadania. Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od 4, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od 6, jest A. 4⋅4⋅5⋅5 B. 5⋅4⋅6⋅5 C. 5⋅5⋅6⋅6 D. 4⋅3⋅5⋅4

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej.
\n

Teoria prawdopodobieństwa
i kombinatoryka. Zdający zlicza
obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych,
niewymagających użycia wzorów
kombinatorycznych, stosuje regułę
mnożenia i regułę dodawania (10.2).
Wersja X
Wersja Y
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - 20

\n

Sposób 1 - Zasada mnożenia (reguła iloczynu)

\n

Tworzymy liczbę dwucyfrową, czyli wybieramy:

\n\n

Mamy do dyspozycji cyfry: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - łącznie 5 cyfr, cyfry się nie powtarzają.

\n

Pierwsza cyfra (dziesiątki):
Możemy wybrać dowolną z 5 cyfr.
\\[\\text{5 możliwości}\\]

\n

Druga cyfra (jedności):
Jedna cyfra jest już zajęta, więc zostają 4 cyfry do wyboru.
\\[\\text{4 możliwości}\\]

\n

Zastosowanie zasady mnożenia:
\\[5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]

\n

Sposób 2 - Wariacje bez powtórzeń

\n

Wybieramy 2 cyfry z 5 na wyróżnione pozycje (kolejność ma znaczenie - liczba 13 ≠ 31), więc liczymy wariacje bez powtórzeń:

\n

\\[V_5^2 = \\frac{5!}{(5-2)!} = \\frac{5!}{3!} = \\frac{5 \\cdot 4 \\cdot 3!}{3!} = 5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]

\n

Weryfikacja - wypisanie dla cyfry 1 na pierwszej pozycji:
\\[13, \\; 15, \\; 17, \\; 19 \\quad \\rightarrow \\text{4 liczby}\\]
Analogicznie dla \\(3, 5, 7, 9\\) na pierwszej pozycji - po 4 liczby każda.
\\[5 \\cdot 4 = 20 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje bez powtórzeń:
\\[V_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!}\\]
Tutaj \\(n = 5\\) cyfr, \\(k = 2\\) pozycje, kolejność ma znaczenie (bo 13 ≠ 31), cyfry się nie powtarzają.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(10\\) | Policzono kombinacje \\(\\binom{5}{2} = 10\\) - wybrano pary cyfr, ale zapomniano, że liczba 13 i 31 to dwie różne liczby (kolejność ma znaczenie!) |
| B. \\(15\\) | Prawdopodobnie pomieszano wzór - np. \\(\\binom{6}{2}\\) lub inne nieuzasadnione obliczenie |
| D. \\(25\\) | Policzono \\(5 \\cdot 5 = 25\\), czyli dopuszczono powtórzenia cyfr (np. 11, 33, 55 ) - a treść wyraźnie mówi „cyfry się nie powtarzają" |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to wynik 10 - uczniowie liczą kombinacje \\(\\binom{5}{2}\\), zapominając że kolejność cyfr ma znaczenie w liczbach (13 ≠ 31).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik 25 to efekt policzenia wariantów z powtórzeniami (\\(5^2\\)). Zawsze sprawdź, czy treść mówi "cyfry się nie powtarzają" - jeśli tak, odejmujesz już użyte cyfry od puli.
\n
⚠️ Uwaga: Słowo "naturalne" nie wyklucza żadnej z podanych cyfr (wszystkie są dodatnie), więc tu nie ma pułapki z zerem - ale w podobnych zadaniach z zerem uważaj, że 0 nie może stać na miejscu dziesiątek!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Cyfra dziesiątek: 5 opcji. Cyfra jedności: 4 opcje (bez powtórzenia).
\\(5\\cdot 4 = 20\\).

\n
Sposób 2 - Permutacje \\(5\\) po 2
\n

\\(V_2^5 = 5! / 3! = 20\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Liczba permutacji
\n

Ten sposób polega na obliczeniu liczby wszystkich możliwych uporządkowań cyfr 1, 3, 5, 7, 9, a następnie odjęciu od tej liczby przypadków, w których cyfry się powtarzają.

\n
  1. Oblicz liczbę wszystkich dwucyfrowych liczb utworzonych z cyfr 1, 3, 5, 7, 9. Dla pierwszej pozycji mamy 5 możliwości (dowolną z cyfr 1, 3, 5, 7, 9), a dla drugiej pozycji mamy 4 pozostałe cyfry. Zatem liczba wszystkich dwucyfrowych liczb wynosi: 5 * 4 = 20.
\n

📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6

\n
Sposób 2: Wybór dwóch cyfr bez powtórzeń
\n

Możemy to również traktować jako problem wyboru dwóch cyfr z pięciu, gdzie kolejność ma znaczenie (bo 13 i 31 to różne liczby). Jest to problem kombinacji.

\n
  1. Oblicz liczbę kombinacji z 5 elementów po 2, czyli \\(C(5,2)\\) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.
\n

📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Zadanie polega na znalezieniu liczby dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z cyfr 1, 3, 5, 7, 9, przy warunku, że żadna cyfra się nie powtarza. Obliczona liczba to 20. W pytaniu o błędne odpowiedzi, zakładam, że w pytaniu mogło być błąd i zamiast 20 powinno być 25.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, mamy $5$ możliwości dla pierwszej cyfry i $4$ możliwości dla drugiej, co daje $5 \\cdot 4 = 20$ różnych liczb dwucyfrowych.

"}]}