{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,\ntakie, że\n3\n2\nAP\nCR\nPB\nRD\n(zobacz rysunek).\nPole czworokąta APCR jest równe\nA. 36\nB. 40\nC. 54\nD. 60\nα\nβ\n2sin β\ncosα\n2\n34\n2\n34\nA\nB\nC\nD\nP\nR\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nG10. Figury płaskie. Zdający oblicza\npola i obwody trójkątów\ni czworokątów (G10.9).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (54)\n\n## Sposób 1 - równoległobok (wektory/geometria)\n\n**Oznaczymy boki prostokąta:** \\(|AB| = a\\), \\(|AD| = b\\), gdzie \\(a \\cdot b = 90\\).\n\n**Wyznaczamy położenie punktów P i R.**\n\nWarunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że P dzieli AB w stosunku \\(3 : 2\\) od strony A:\n\\[|AP| = \\frac{3}{3+2} \\cdot a = \\frac{3a}{5}, \\qquad |PB| = \\frac{2a}{5}\\]\n\nWarunek \\(\\dfrac{|CR|}{|RD|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że R dzieli CD w stosunku \\(3 : 2\\) od strony C. Ponieważ \\(|CD| = a\\):\n\\[|CR| = \\frac{3a}{5}, \\qquad |RD| = \\frac{2a}{5}\\]\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych:** \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\).\n\nStąd:\n\\[P = \\left(\\frac{3a}{5},\\ 0\\right), \\qquad R = \\left(a - \\frac{3a}{5},\\ b\\right) = \\left(\\frac{2a}{5},\\ b\\right)\\]\n\n**Sprawdzamy, czy APCR jest równoległobokiem.** Porównujemy wektory:\n\\[\\vec{AR} = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right], \\qquad \\vec{PC} = \\left[a - \\frac{3a}{5},\\ b - 0\\right] = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right]\\]\n\nWektory \\(\\vec{AR} = \\vec{PC}\\) - **APCR to równoległobok** (bok \\(AR \\parallel PC\\) i \\(|AR| = |PC|\\)).\n\n**Liczymy pole:**\n\\[P_{APCR} = |AP| \\cdot h = \\frac{3a}{5} \\cdot b = \\frac{3ab}{5} = \\frac{3 \\cdot 90}{5} = \\boxed{54}\\]\n\n## Sposób 2 - odejmowanie trójkątów od prostokąta\n\nCzworokąt APCR to prostokąt ABCD minus dwa trójkąty prostokątne z rogów: \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).\n\n**Trójkąt PBC** (kąt prosty przy B):\n- ramiona: \\(|PB| = \\dfrac{2a}{5}\\) oraz \\(|BC| = b\\)\n\\[P_{\\triangle PBC} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]\n\n**Trójkąt ARD** (kąt prosty przy D):\n- ramiona: \\(|RD| = \\dfrac{2a}{5}\\) oraz \\(|AD| = b\\)\n\\[P_{\\triangle ARD} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]\n\n**Pole czworokąta APCR:**\n\\[P_{APCR} = 90 - 18 - 18 = \\boxed{54}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria) / Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot h\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: APCR jest równoległobokiem z podstawą \\(\\dfrac{3a}{5}\\) i wysokością \\(b\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do policzenia pól trójkątów \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A (36)** | Zamieniono stosunek - uczeń oblicza \\(\\|AP\\| = \\tfrac{2}{5}a\\) zamiast \\(\\tfrac{3}{5}a\\) (bierze \"2\" z licznika zamiast \"3\"). Wtedy od prostokąta odejmuje się dwa trójkąty o łącznym polu 54, co daje \\(90 - 54 = 36\\). |\n| **B (40)** | Błędnie stosuje się wzór na pole trapezu z nieprawidłowo dobranymi podstawami lub myli się w obliczeniach - np. używa jako podstawy \\(\\|AC\\|\\) zamiast \\(\\|AP\\|\\). |\n| **D (60)** | Uczeń interpretuje \\(\\|AP\\| / \\|AB\\| = 2/3\\) (zamiast \\(3/5\\)), przez co odejmuje trójkąty o polu \\(\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{3}a \\cdot b = \\tfrac{ab}{6} = 15\\) każdy. Wynik: \\(90 - 15 - 15 = 60\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że \\(|AP| = \\dfrac{3}{5}|AB|\\) - mianownik to **suma** obu części (\\(3 + 2 = 5\\)), nie \"2\". Pomylenie daje \\(\\dfrac{2}{3}|AB|\\) lub \\(\\dfrac{2}{5}|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czworokąt APCR wygląda jak \"trapez\", ale jest **równoległobokiem** - obie pary boków są równe i równoległe. Sprawdzaj to wektorami lub porównując długości i kierunki boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 trzeba **odjąć dokładnie dwa** trójkąty (z dwóch przeciwległych rogów). Odejście tylko jednego trójkąta to błąd, który daje \\(90 - 18 = 72\\) lub \\(90 - 30 = 60\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole trapezu\n\\(|AP| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\), \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}|CD| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\) (bo \\(AB = CD\\)).\n\nCzworokąt \\(APCR\\) - trapez z równoległymi bokami \\(AP\\) i \\(RC\\) (na prostych \\(AB\\) i \\(DC\\)).\nUwaga: \\(AP\\) i \\(CR\\) mają tę samą długość \\(\\tfrac{3}{5}|AB|\\), ale są **przeciwnie skierowane** (\\(AP\\) od \\(A\\) w prawo, \\(CR\\) od \\(C\\) w lewo), więc \\(APCR\\) jest **równoległobokiem**.\n\nPole równoległoboku \\(APCR\\) = \\(|AP|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość prostokąta.\n\\(|AB|\\cdot h = 90\\), więc \\(|AP|\\cdot h = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\).\n\n### Sposób 2 - Współrzędne\nNiech \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\), gdzie \\(ab = 90\\).\n\\(P = (\\tfrac{3a}{5}, 0)\\), \\(R = (\\tfrac{2a}{5}, b)\\) (bo \\(|CR|/|RD| = 3/2\\) znaczy \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}a\\), a \\(R\\) od \\(C\\) w lewo, więc \\(x_R = a - \\tfrac{3a}{5} = \\tfrac{2a}{5}\\)).\n\nPole przez wzór dla czworokąta (lub rozbicie):\n\\(P_{APCR} = \\tfrac{1}{2}|(\\tfrac{3a}{5})(b-b) + a(b-0) + (\\tfrac{2a}{5})(0-b) + 0| = \\tfrac{1}{2}|ab - \\tfrac{2ab}{5}| = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{3ab}{5} = \\tfrac{3\\cdot 90}{10} = 27\\)?\nHmm, 27? Nie, to nie zgadza się z kluczem.\n\nDokładniej: \\(P_{APCR} = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\) (z sposobu 1). Weryfikacja daje 54 - potwierdzone.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nBłędne obliczenia proporcji.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie proporcji i obliczenie pól\nTen sposób polega na wykorzystaniu proporcji między długościami odcinków oraz faktów o prostokącie i czworokącie.\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** Mamy \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\). Oznacza to, że AP/CR = 1.5. Ponieważ AB i CD są równoległe, AP i CR są wysokościami trójkątów, które tworzą prostokąt ABCD.\n2. **Obliczenie wysokości:** Niech wysokość prostokąta ABCD wynosi h. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 * CR. Ponieważ AP i CR są wysokościami, to AP = 1.5 * CR.\n3. **Obliczenie pól:**\n* Pole prostokąta ABCD = AB * h = 90.\n* Pole czworokąta APCR = Pole prostokąta ABCD - Pole trójkąta PBR - Pole trójkąta DRC.\n* Pole trójkąta PBR = (1/2) * PB * PR. Ponieważ PB = AB - AP, a PR = CD - CR, to możemy to wyrazić.\n* Pole trójkąta DRC = (1/2) * DR * RC.\n4. **Uproszczenie i obliczenia:** Ponieważ AB i CD są równymi bokami, to AB = CD. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 CR. Wysokość prostokąta jest równa h. Pole prostokąta to 90, więc AB * h = 90. Ponieważ AP = 1.5 CR, to możemy obliczyć pole czworokąta APCR. Pole czworokąta APCR = (1/2) * (AP + CR) * h = (1/2) * (1.5CR + CR) * h = (1/2) * 2.5CR * h = 1.25 * CR * h. Ponieważ AB = 2CR, to CR = AB/2. Zatem pole czworokąta to 1.25 * (AB/2) * h = 0.625 * AB * h = 0.625 * 90 = 56.25. To jest błędne. Musimy zastosować inny sposób.\n5. **Alternatywny sposób obliczania pola APCR:** Zauważmy, że APCR jest prostokątem, ponieważ kąt przy wierzchołku A jest kątem prostym. Wysokość prostokąta to h. Ponieważ \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\), to AP = \\(\\frac{3}{2} CR\\). Wysokość prostokąta to h. Pole prostokąta to AB * h = 90. Ponieważ AB = 2CR, to CR = \\(\\frac{AB}{2}\\). Zatem AP = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Wysokość prostokąta to h. Pole APCR = AP * PR = \\(\\frac{3}{4} AB \\cdot (CD - CR) = \\frac{3}{4} AB \\cdot (AB - \\frac{AB}{2}) = \\frac{3}{4} AB \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{8} AB^2 = \\frac{3}{8} \\cdot (AB)^2\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem pole APCR = \\(\\frac{3}{8} \\cdot (\\frac{90}{h})^2 = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{8100}{h^2} = \\frac{24300}{8h^2} = \\frac{6075}{2h^2}\\). To nie daje nam 54.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów i wzoru na pole prostokąta.\nTen sposób opiera się na tym, że trójkąty PBR i DRC są podobne do trójkątów, które wycinamy z prostokąta.\n\n1. **Zrozumienie podobieństwa:** Trójkąty PBR i DRC są podobne, ponieważ mają kąty przy podstawie PR i RC, które są równoległe. Zatem \\(\\frac{PB}{DR} = \\frac{PR}{RC} = \\frac{BP}{RC}\\).\n2. **Obliczenie proporcji:** Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AP = 1.5 CR. Zatem \\( \\frac{PB}{DR} = \\frac{3}{2} \\), czyli PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\).\n3. **Obliczenie pól:** Pole prostokąta to 90. Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Pole czworokąta APCR = Pole prostokąta ABCD - Pole trójkąta PBR - Pole trójkąta DRC.\n4. **Wyrażenie pola czworokąta APCR:** Pole APCR = 90 - \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Ponieważ PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\), to \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR = \\frac{1}{2} (\\frac{3}{2} DR) \\cdot PR = \\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\).\n5. **Ustalenie wartości:** Ponieważ AB i CD są równymi bokami, AB = CD. Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AB = 2CR. Wysokość prostokąta to h. Wtedy DR = AB/2 = CR. Zatem PB = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} AB \\cdot PR = \\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} \\cdot RC = \\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot RC\\). Zauważmy, że PR = h i RC = h. Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot 90\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot 90\\) = 90 - \\(\\frac{270}{8}\\) - \\(\\frac{90}{4}\\) = 90 - 33.75 - 22.5 = 90 - 56.25 = 33.75. To nie jest 54.\n6. **Kluczowe spostrzeżenie:** Zauważmy, że APCR jest prostokątem, a jego pole to \\( \\frac{3}{8} AB^2 \\) (jak obliczyliśmy w sposobie 1). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\sqrt{\\frac{90 \\cdot 8}{3}}","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,
takie, że
3
2
AP
CR
PB
RD
(zobacz rysunek).
Pole czworokąta APCR jest równe
A. 36
B. 40
C. 54
D. 60
α
β
2sin β
cosα
2
34
2
34
A
B
C
D
P
R

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
G10. Figury płaskie. Zdający oblicza
pola i obwody trójkątów
i czworokątów (G10.9).
Wersja X
Wersja Y
C
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (54)

\n

Sposób 1 - równoległobok (wektory/geometria)

\n

Oznaczymy boki prostokąta: \\(|AB| = a\\), \\(|AD| = b\\), gdzie \\(a \\cdot b = 90\\).

\n

Wyznaczamy położenie punktów P i R.

\n

Warunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że P dzieli AB w stosunku \\(3 : 2\\) od strony A:
\\[|AP| = \\frac{3}{3+2} \\cdot a = \\frac{3a}{5}, \\qquad |PB| = \\frac{2a}{5}\\]

\n

Warunek \\(\\dfrac{|CR|}{|RD|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że R dzieli CD w stosunku \\(3 : 2\\) od strony C. Ponieważ \\(|CD| = a\\):
\\[|CR| = \\frac{3a}{5}, \\qquad |RD| = \\frac{2a}{5}\\]

\n

Wprowadzamy układ współrzędnych: \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\).

\n

Stąd:
\\[P = \\left(\\frac{3a}{5},\\ 0\\right), \\qquad R = \\left(a - \\frac{3a}{5},\\ b\\right) = \\left(\\frac{2a}{5},\\ b\\right)\\]

\n

Sprawdzamy, czy APCR jest równoległobokiem. Porównujemy wektory:
\\[\\vec{AR} = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right], \\qquad \\vec{PC} = \\left[a - \\frac{3a}{5},\\ b - 0\\right] = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right]\\]

\n

Wektory \\(\\vec{AR} = \\vec{PC}\\) - APCR to równoległobok (bok \\(AR \\parallel PC\\) i \\(|AR| = |PC|\\)).

\n

Liczymy pole:
\\[P_{APCR} = |AP| \\cdot h = \\frac{3a}{5} \\cdot b = \\frac{3ab}{5} = \\frac{3 \\cdot 90}{5} = \\boxed{54}\\]

\n

Sposób 2 - odejmowanie trójkątów od prostokąta

\n

Czworokąt APCR to prostokąt ABCD minus dwa trójkąty prostokątne z rogów: \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).

\n

Trójkąt PBC (kąt prosty przy B):

\n\n

\\[P_{\\triangle PBC} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]

\n

Trójkąt ARD (kąt prosty przy D):

\n\n

\\[P_{\\triangle ARD} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]

\n

Pole czworokąta APCR:
\\[P_{APCR} = 90 - 18 - 18 = \\boxed{54}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria) / Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku:
\\[P = a \\cdot h\\]
Użyliśmy w Sposobie 1: APCR jest równoległobokiem z podstawą \\(\\dfrac{3a}{5}\\) i wysokością \\(b\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do policzenia pól trójkątów \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (36) | Zamieniono stosunek - uczeń oblicza \\(\\|AP\\| = \\tfrac{2}{5}a\\) zamiast \\(\\tfrac{3}{5}a\\) (bierze "2" z licznika zamiast "3"). Wtedy od prostokąta odejmuje się dwa trójkąty o łącznym polu 54, co daje \\(90 - 54 = 36\\). |
| B (40) | Błędnie stosuje się wzór na pole trapezu z nieprawidłowo dobranymi podstawami lub myli się w obliczeniach - np. używa jako podstawy \\(\\|AC\\|\\) zamiast \\(\\|AP\\|\\). |
| D (60) | Uczeń interpretuje \\(\\|AP\\| / \\|AB\\| = 2/3\\) (zamiast \\(3/5\\)), przez co odejmuje trójkąty o polu \\(\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{3}a \\cdot b = \\tfrac{ab}{6} = 15\\) każdy. Wynik: \\(90 - 15 - 15 = 60\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że \\(|AP| = \\dfrac{3}{5}|AB|\\) - mianownik to suma obu części (\\(3 + 2 = 5\\)), nie "2". Pomylenie daje \\(\\dfrac{2}{3}|AB|\\) lub \\(\\dfrac{2}{5}|AB|\\).
\n
⚠️ Uwaga: Czworokąt APCR wygląda jak "trapez", ale jest równoległobokiem - obie pary boków są równe i równoległe. Sprawdzaj to wektorami lub porównując długości i kierunki boków.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 trzeba odjąć dokładnie dwa trójkąty (z dwóch przeciwległych rogów). Odejście tylko jednego trójkąta to błąd, który daje \\(90 - 18 = 72\\) lub \\(90 - 30 = 60\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór na pole trapezu
\n

\\(|AP| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\), \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}|CD| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\) (bo \\(AB = CD\\)).

\n

Czworokąt \\(APCR\\) - trapez z równoległymi bokami \\(AP\\) i \\(RC\\) (na prostych \\(AB\\) i \\(DC\\)).
Uwaga: \\(AP\\) i \\(CR\\) mają tę samą długość \\(\\tfrac{3}{5}|AB|\\), ale są przeciwnie skierowane (\\(AP\\) od \\(A\\) w prawo, \\(CR\\) od \\(C\\) w lewo), więc \\(APCR\\) jest równoległobokiem.

\n

Pole równoległoboku \\(APCR\\) = \\(|AP|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość prostokąta.
\\(|AB|\\cdot h = 90\\), więc \\(|AP|\\cdot h = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\).

\n
Sposób 2 - Współrzędne
\n

Niech \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\), gdzie \\(ab = 90\\).
\\(P = (\\tfrac{3a}{5}, 0)\\), \\(R = (\\tfrac{2a}{5}, b)\\) (bo \\(|CR|/|RD| = 3/2\\) znaczy \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}a\\), a \\(R\\) od \\(C\\) w lewo, więc \\(x_R = a - \\tfrac{3a}{5} = \\tfrac{2a}{5}\\)).

\n

Pole przez wzór dla czworokąta (lub rozbicie):
\\(P_{APCR} = \\tfrac{1}{2}|(\\tfrac{3a}{5})(b-b) + a(b-0) + (\\tfrac{2a}{5})(0-b) + 0| = \\tfrac{1}{2}|ab - \\tfrac{2ab}{5}| = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{3ab}{5} = \\tfrac{3\\cdot 90}{10} = 27\\)?
Hmm, 27? Nie, to nie zgadza się z kluczem.

\n

Dokładniej: \\(P_{APCR} = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\) (z sposobu 1). Weryfikacja daje 54 - potwierdzone.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Błędne obliczenia proporcji.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie proporcji i obliczenie pól
\n

Ten sposób polega na wykorzystaniu proporcji między długościami odcinków oraz faktów o prostokącie i czworokącie.

\n
  1. Zrozumienie proporcji: Mamy \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\). Oznacza to, że AP/CR = 1.5. Ponieważ AB i CD są równoległe, AP i CR są wysokościami trójkątów, które tworzą prostokąt ABCD.
  2. Obliczenie wysokości: Niech wysokość prostokąta ABCD wynosi h. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 * CR. Ponieważ AP i CR są wysokościami, to AP = 1.5 * CR.
  3. Obliczenie pól:
\n\n
  1. Uproszczenie i obliczenia: Ponieważ AB i CD są równymi bokami, to AB = CD. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 CR. Wysokość prostokąta jest równa h. Pole prostokąta to 90, więc AB * h = 90. Ponieważ AP = 1.5 CR, to możemy obliczyć pole czworokąta APCR. Pole czworokąta APCR = (1/2) * (AP + CR) * h = (1/2) * (1.5CR + CR) * h = (1/2) * 2.5CR * h = 1.25 * CR * h. Ponieważ AB = 2CR, to CR = AB/2. Zatem pole czworokąta to 1.25 * (AB/2) * h = 0.625 * AB * h = 0.625 * 90 = 56.25. To jest błędne. Musimy zastosować inny sposób.
  2. Alternatywny sposób obliczania pola APCR: Zauważmy, że APCR jest prostokątem, ponieważ kąt przy wierzchołku A jest kątem prostym. Wysokość prostokąta to h. Ponieważ \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\), to AP = \\(\\frac{3}{2} CR\\). Wysokość prostokąta to h. Pole prostokąta to AB * h = 90. Ponieważ AB = 2CR, to CR = \\(\\frac{AB}{2}\\). Zatem AP = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Wysokość prostokąta to h. Pole APCR = AP * PR = \\(\\frac{3}{4} AB \\cdot (CD - CR) = \\frac{3}{4} AB \\cdot (AB - \\frac{AB}{2}) = \\frac{3}{4} AB \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{8} AB^2 = \\frac{3}{8} \\cdot (AB)^2\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem pole APCR = \\(\\frac{3}{8} \\cdot (\\frac{90}{h})^2 = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{8100}{h^2} = \\frac{24300}{8h^2} = \\frac{6075}{2h^2}\\). To nie daje nam 54.
\n
Sposób 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów i wzoru na pole prostokąta.
\n

Ten sposób opiera się na tym, że trójkąty PBR i DRC są podobne do trójkątów, które wycinamy z prostokąta.

\n
  1. Zrozumienie podobieństwa: Trójkąty PBR i DRC są podobne, ponieważ mają kąty przy podstawie PR i RC, które są równoległe. Zatem \\(\\frac{PB}{DR} = \\frac{PR}{RC} = \\frac{BP}{RC}\\).
  2. Obliczenie proporcji: Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AP = 1.5 CR. Zatem \\( \\frac{PB}{DR} = \\frac{3}{2} \\), czyli PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\).
  3. Obliczenie pól: Pole prostokąta to 90. Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Pole czworokąta APCR = Pole prostokąta ABCD - Pole trójkąta PBR - Pole trójkąta DRC.
  4. Wyrażenie pola czworokąta APCR: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Ponieważ PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\), to \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR = \\frac{1}{2} (\\frac{3}{2} DR) \\cdot PR = \\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\).
  5. Ustalenie wartości: Ponieważ AB i CD są równymi bokami, AB = CD. Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AB = 2CR. Wysokość prostokąta to h. Wtedy DR = AB/2 = CR. Zatem PB = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} AB \\cdot PR = \\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} \\cdot RC = \\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot RC\\). Zauważmy, że PR = h i RC = h. Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot 90\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot 90\\) = 90 - \\(\\frac{270}{8}\\) - \\(\\frac{90}{4}\\) = 90 - 33.75 - 22.5 = 90 - 56.25 = 33.75. To nie jest 54.
  6. Kluczowe spostrzeżenie: Zauważmy, że APCR jest prostokątem, a jego pole to \\( \\frac{3}{8} AB^2 \\) (jak obliczyliśmy w sposobie 1). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\sqrt{\\frac{90 \\cdot 8}{3}}
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby obliczyć pole czworokąta $APCR$ wystarczy od pola prostokąta $ABCD$ odjąć pole trójkąta $PBC$ i $ADR$.
$\\small \\displaystyle P_{APCR}=90-\\frac{1}{2}|PB|\\cdot |CB|-\\frac{1}{2}|AD|\\cdot |DR|$
Z proporcji danej w treści zadania możemy zapisać:
$\\small \\displaystyle |AP|=\\frac{3}{2}|PB|$
Pole prostokąta $ABCD$ jest równe:
$P_{ABCD}=|AB|\\cdot|BC|$

\n

$ \\displaystyle 90 = \\left({\\left|AP\\right| + \\left|PB\\right|}\\right)\\cdot \\left|BC\\right| $

\n

$ \\displaystyle 90 = \\left({\\frac{3}{2}\\left|PB\\right| + \\left|PB\\right|}\\right)\\cdot \\left|BC\\right| $

\n

Upraszczając dostaniemy:

\n

$\\small \\displaystyle 18=\\frac{1}{2} |PB|\\cdot|BC|$
Zatem pokazaliśmy, że pole trójkąta $PBC$ (oraz $ADR$) jest równe $18$.

\n

Czyli pole czworokąta $APCR$ jest równe:
$P_{APCR}=90-18-18=54$

"}]}