{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nCztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego\nzestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n6\na =\nC.\n5\na =\nD.\n4\na =\nRozwiązanie zadania. Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: 1,3,5,3, jest liczba A. 1 B. 2 C. 3 D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa\ni wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych (G9.4).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 7\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie mediany każdego zestawu i porównanie\n\n**Krok 1: Mediana zestawu pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\)**\n\nNajpierw ustawiamy dane rosnąco:\n\\[2, 3, 5, 6, 8\\]\n\nMamy \\(n = 5\\) danych (liczba nieparzysta), więc mediana to wyraz środkowy, czyli **3. wyraz**:\n\\[M_5 = 5\\]\n\n**Krok 2: Mediana zestawu czterech danych \\(\\{2, 3, a, 8\\}\\)**\n\nDane są już uporządkowane rosnąco: \\(2, 3, a, 8\\).\n\nMamy \\(n = 4\\) danych (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów** - czyli 2. i 3. wyrazu:\n\\[M_4 = \\frac{3 + a}{2}\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy mediany**\n\nWarunek z zadania: \\(M_4 = M_5\\), czyli:\n\\[\\frac{3 + a}{2} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[3 + a = 10\\]\n\nOdejmujemy 3:\n\\[a = 7\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy, czy dane są faktycznie uporządkowane rosnąco**\n\nDla \\(a = 7\\) zestaw to \\(2, 3, 7, 8\\) - tak, kolejność rosnąca jest zachowana ✓\n\n**Odpowiedź: \\(a = 7\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nWiemy już, że \\(a = 7\\). Sprawdzamy bezpośrednio.\n\nZestaw czterech danych: \\(2, 3, 7, 8\\)\n\nMediana (parzysta liczba danych - średnia dwóch środkowych):\n\\[M_4 = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nZestaw pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) po posortowaniu: \\(2, 3, 5, 6, 8\\)\n\nMediana (nieparzysta liczba danych - wyraz środkowy):\n\\[M_5 = 5\\]\n\nRzeczywiście \\(M_4 = M_5 = 5\\) ✓ - wynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)).\n\nUżyliśmy tej definicji w obu krokach:\n- dla zestawu pięciu danych (\\(n = 5\\) - nieparzyste) → wyraz środkowy\n- dla zestawu czterech danych (\\(n = 4\\) - parzyste) → \\(\\frac{3 + a}{2}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(a = 6\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 5\\) poprawnie, ale popełnia błąd arytmetyczny: \\(3 + 6 = 9\\), \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5 \\neq 5\\). Często bierze medianę pięciodanowego zestawu jako 6 (mylnie 4. zamiast 3. wyraz) |\n| C. \\(a = 5\\) | Uczeń myli parzyste dwie mediany - bierze środkowy element zestawu czterech jako 3. wyraz (czyli \\(a\\)), stawia wprost \\(a = 5\\). Ignoruje, że mediana parzystego zestawu to **średnia** dwóch środkowych |\n| D. \\(a = 4\\) | Uczeń używa mediany \\(M_5 = 4{,}5\\) (jakby \\(n = 5\\) było parzyste i brał średnią 2. i 3. wyrazu: \\(\\frac{3+6}{2} = 4{,}5\\)), a potem liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 4{,}5\\), skąd \\(a = 6\\) - i tu popełnia kolejny błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana zależy od tego, czy liczba danych jest parzysta czy nieparzysta - to dwie różne wzory! Dla \\(n\\) parzystego zawsze liczymy średnią **dwóch** środkowych wyrazów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim szukasz mediany, dane **muszą być posortowane rosnąco**. Zestaw \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) to pozorny nieporządek - sortujemy go do \\(2, 3, 5, 6, 8\\) i dopiero wtedy wyznaczamy medianę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź warunek z zadania - dane \\(2, 3, a, 8\\) muszą być ułożone rosnąco. Gdyby wyszło \\(a < 3\\) lub \\(a > 8\\), porządek byłby naruszony i odpowiedź byłaby błędna. Zawsze warto to zweryfikować na końcu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie mediany 5-elementowego zestawu\nZbiór \\(\\{5,3,6,8,2\\}\\) posortowany: \\(2, 3, 5, 6, 8\\). Mediana = środkowy = \\(5\\).\n\n### Krok 2 - mediana 4 liczb\nMediana 4 liczb \\(\\{2,3,a,8\\}\\) (uporządkowanych rosnąco, więc \\(3 \\le a \\le 8\\)) = \\(\\tfrac{3+a}{2}\\).\nRówność: \\(\\tfrac{3+a}{2} = 5 \\Rightarrow 3+a = 10 \\Rightarrow a = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - dają różne mediany: \\(\\tfrac{3+6}{2} = 4{,}5\\), \\(\\tfrac{3+5}{2} = 4\\), \\(\\tfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza median\nTen sposób polega na bezpośrednim obliczeniu median obu zestawów danych i porównaniu ich.\n\nKrok 1: Uporządkowanie danych. Zestaw danych 1: 2, 3, *a, 8. Zestaw danych 2: 5, 3, 6, 8, 2. Uporządkujemy oba zestawy: 2, 3, *a, 8 i 2, 3, 5, 6, 8.\n\nKrok 2: Obliczenie mediany zestawu 1. Zestaw 1 ma 4 elementy, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi *a*.\n\nKrok 3: Obliczenie mediany zestawu 2. Zestaw 2 ma 5 elementów, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi 6.\n\nKrok 4: Porównanie median. Zgodnie z treścią zadania, mediany obu zestawów są równe. Zatem *a* musi być równe 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)\n\n### Sposób 2: Użycie własności mediany i równości\nTen sposób wykorzystuje fakt, że mediana zestawu czterech danych (2, 3, *a*, 8) jest równa medianie zestawu pięciu danych (5, 3, 6, 8, 2).\n\nKrok 1: Zestaw 1: 2, 3, *a*, 8. Ponieważ mediana zestawu czterech elementów to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości, mediana zestawu 1 to (3 + *a*) / 2.\n\nKrok 2: Zestaw 2: 2, 3, 5, 6, 8. Mediana zestawu pięciu elementów to wartość środkowa, czyli 5.\n\nKrok 3: Ustawienie równania. Zgodnie z treścią zadania, (3 + *a*) / 2 = 5.\n\nKrok 4: Rozwiązanie równania. 3 + *a* = 10, zatem *a* = 7.\n\nW tym drugim sposobie, pomyliłem się w interpretacji mediany zestawu czterech danych. Poprawnie obliczając medianę zestawu 1, otrzymuję (3 + a) / 2. Zatem, (3 + a) / 2 = 5, co prowadzi do a = 7.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Zestaw 5, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(a = 6\\):** Jeśli *a* = 6, to zestaw 1 to 2, 3, 6, 8. Mediana to (3+6)/2 = 4.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.\n* **C. \\(a = 5\\):** Jeśli *a* = 5, to zestaw 1 to 2, 3, 5, 8. Mediana to (3+5)/2 = 4, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.\n* **D. \\(a = 4\\):** Jeśli *a* = 4, to zestaw 1 to 2, 3, 4, 8. Mediana to (3+4)/2 = 3.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego<br>zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem<br>A.<br>7<br>a =<br>B.<br>6<br>a =<br>C.<br>5<br>a =<br>D.<br>4<br>a =<br>Rozwiązanie zadania. Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: 1,3,5,3, jest liczba A. 1 B. 2 C. 3 D. 5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>G9. Statystyka opisowa<br>i wprowadzenie do rachunku<br>prawdopodobieństwa. Zdający<br>wyznacza średnią arytmetyczną<br>i medianę zestawu danych (G9.4).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 7\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie mediany każdego zestawu i porównanie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Mediana zestawu pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\)</strong></p>\n<p>Najpierw ustawiamy dane rosnąco:<br>\\[2, 3, 5, 6, 8\\]</p>\n<p>Mamy \\(n = 5\\) danych (liczba nieparzysta), więc mediana to wyraz środkowy, czyli <strong>3. wyraz</strong>:<br>\\[M_5 = 5\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Mediana zestawu czterech danych \\(\\{2, 3, a, 8\\}\\)</strong></p>\n<p>Dane są już uporządkowane rosnąco: \\(2, 3, a, 8\\).</p>\n<p>Mamy \\(n = 4\\) danych (liczba parzysta), więc mediana to <strong>średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów</strong> - czyli 2. i 3. wyrazu:<br>\\[M_4 = \\frac{3 + a}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Przyrównujemy mediany</strong></p>\n<p>Warunek z zadania: \\(M_4 = M_5\\), czyli:<br>\\[\\frac{3 + a}{2} = 5\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 2:<br>\\[3 + a = 10\\]</p>\n<p>Odejmujemy 3:<br>\\[a = 7\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Sprawdzamy, czy dane są faktycznie uporządkowane rosnąco</strong></p>\n<p>Dla \\(a = 7\\) zestaw to \\(2, 3, 7, 8\\) - tak, kolejność rosnąca jest zachowana ✓</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a = 7\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Wiemy już, że \\(a = 7\\). Sprawdzamy bezpośrednio.</p>\n<p>Zestaw czterech danych: \\(2, 3, 7, 8\\)</p>\n<p>Mediana (parzysta liczba danych - średnia dwóch środkowych):<br>\\[M_4 = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]</p>\n<p>Zestaw pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) po posortowaniu: \\(2, 3, 5, 6, 8\\)</p>\n<p>Mediana (nieparzysta liczba danych - wyraz środkowy):<br>\\[M_5 = 5\\]</p>\n<p>Rzeczywiście \\(M_4 = M_5 = 5\\) ✓ - wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - definicja mediany:</p>\n<blockquote>Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)).</blockquote>\n<p>Użyliśmy tej definicji w obu krokach:</p>\n<ul><li>dla zestawu pięciu danych (\\(n = 5\\) - nieparzyste) → wyraz środkowy</li><li>dla zestawu czterech danych (\\(n = 4\\) - parzyste) → \\(\\frac{3 + a}{2}\\)</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B. \\(a = 6\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 5\\) poprawnie, ale popełnia błąd arytmetyczny: \\(3 + 6 = 9\\), \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5 \\neq 5\\). Często bierze medianę pięciodanowego zestawu jako 6 (mylnie 4. zamiast 3. wyraz) |<br>| C. \\(a = 5\\) | Uczeń myli parzyste dwie mediany - bierze środkowy element zestawu czterech jako 3. wyraz (czyli \\(a\\)), stawia wprost \\(a = 5\\). Ignoruje, że mediana parzystego zestawu to <strong>średnia</strong> dwóch środkowych |<br>| D. \\(a = 4\\) | Uczeń używa mediany \\(M_5 = 4{,}5\\) (jakby \\(n = 5\\) było parzyste i brał średnią 2. i 3. wyrazu: \\(\\frac{3+6}{2} = 4{,}5\\)), a potem liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 4{,}5\\), skąd \\(a = 6\\) - i tu popełnia kolejny błąd arytmetyczny |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mediana zależy od tego, czy liczba danych jest parzysta czy nieparzysta - to dwie różne wzory! Dla \\(n\\) parzystego zawsze liczymy średnią <strong>dwóch</strong> środkowych wyrazów.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zanim szukasz mediany, dane <strong>muszą być posortowane rosnąco</strong>. Zestaw \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) to pozorny nieporządek - sortujemy go do \\(2, 3, 5, 6, 8\\) i dopiero wtedy wyznaczamy medianę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź warunek z zadania - dane \\(2, 3, a, 8\\) muszą być ułożone rosnąco. Gdyby wyszło \\(a &lt; 3\\) lub \\(a &gt; 8\\), porządek byłby naruszony i odpowiedź byłaby błędna. Zawsze warto to zweryfikować na końcu!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie mediany 5-elementowego zestawu</h5>\n<p>Zbiór \\(\\{5,3,6,8,2\\}\\) posortowany: \\(2, 3, 5, 6, 8\\). Mediana = środkowy = \\(5\\).</p>\n<h5>Krok 2 - mediana 4 liczb</h5>\n<p>Mediana 4 liczb \\(\\{2,3,a,8\\}\\) (uporządkowanych rosnąco, więc \\(3 \\le a \\le 8\\)) = \\(\\tfrac{3+a}{2}\\).<br>Równość: \\(\\tfrac{3+a}{2} = 5 \\Rightarrow 3+a = 10 \\Rightarrow a = 7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D</strong> - dają różne mediany: \\(\\tfrac{3+6}{2} = 4{,}5\\), \\(\\tfrac{3+5}{2} = 4\\), \\(\\tfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza median</h5>\n<p>Ten sposób polega na bezpośrednim obliczeniu median obu zestawów danych i porównaniu ich.</p>\n<p>Krok 1: Uporządkowanie danych. Zestaw danych 1: 2, 3, *a, 8. Zestaw danych 2: 5, 3, 6, 8, 2. Uporządkujemy oba zestawy: 2, 3, *a, 8 i 2, 3, 5, 6, 8.</p>\n<p>Krok 2: Obliczenie mediany zestawu 1. Zestaw 1 ma 4 elementy, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi <em>a</em>.</p>\n<p>Krok 3: Obliczenie mediany zestawu 2. Zestaw 2 ma 5 elementów, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi 6.</p>\n<p>Krok 4: Porównanie median. Zgodnie z treścią zadania, mediany obu zestawów są równe. Zatem <em>a</em> musi być równe 6.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie własności mediany i równości</h5>\n<p>Ten sposób wykorzystuje fakt, że mediana zestawu czterech danych (2, 3, <em>a</em>, 8) jest równa medianie zestawu pięciu danych (5, 3, 6, 8, 2).</p>\n<p>Krok 1: Zestaw 1: 2, 3, <em>a</em>, 8. Ponieważ mediana zestawu czterech elementów to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości, mediana zestawu 1 to (3 + <em>a</em>) / 2.</p>\n<p>Krok 2: Zestaw 2: 2, 3, 5, 6, 8. Mediana zestawu pięciu elementów to wartość środkowa, czyli 5.</p>\n<p>Krok 3: Ustawienie równania. Zgodnie z treścią zadania, (3 + <em>a</em>) / 2 = 5.</p>\n<p>Krok 4: Rozwiązanie równania. 3 + <em>a</em> = 10, zatem <em>a</em> = 7.</p>\n<p>W tym drugim sposobie, pomyliłem się w interpretacji mediany zestawu czterech danych. Poprawnie obliczając medianę zestawu 1, otrzymuję (3 + a) / 2. Zatem, (3 + a) / 2 = 5, co prowadzi do a = 7.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4, Zestaw 5, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(a = 6\\):</strong> Jeśli <em>a</em> = 6, to zestaw 1 to 2, 3, 6, 8. Mediana to (3+6)/2 = 4.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.</li><li><strong>C. \\(a = 5\\):</strong> Jeśli <em>a</em> = 5, to zestaw 1 to 2, 3, 5, 8. Mediana to (3+5)/2 = 4, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.</li><li><strong>D. \\(a = 4\\):</strong> Jeśli <em>a</em> = 4, to zestaw 1 to 2, 3, 4, 8. Mediana to (3+4)/2 = 3.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, po uporządkowaniu drugiego zbioru dostaniemy $2,3,5,6,8$ - medianą (wyrazem środkowym) tego zbioru jest $5$.<br>Gdy mamy liczby $2, 3, 7, 8$, to mediana jest średnią arytmetyczną z dwóch środkowych wartości, czyli $\\displaystyle \\small \\frac{3 + 7}{2} = 5$.</p>"}]}