{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPrzekątna sześcianu ma długość 4 3 . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe\nA. 96\nB. 24 3\nC. 192\nD. 16 3\nRozwiązanie zadania. Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o 2π większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy A. 3 B. 2π C. 1 D. π","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole\npowierzchni i objętość graniastosłupa\nprostego, ostrosłupa, walca, stożka,\nkuli (także w zadaniach osadzonych\nw kontekście praktycznym) (G11.2).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(96\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Znajdź bok sześcianu ze wzoru na przekątną.**\n\nPrzekątna sześcianu (przestrzenna) o boku \\(a\\) wynosi:\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\nMamy \\(d = 4\\sqrt{3}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[a = 4\\]\n\n**Oblicz pole powierzchni całkowitej.**\n\nSześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przekątnej z twierdzenia Pitagorasa (od podstaw)\n\nZamiast pamiętać wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\), wyprowadzamy go na bieżąco.\n\n**Krok 1:** Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2:** Przekątna przestrzenna to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\) (wysokość sześcianu):\n\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3:** Wyznacz \\(a\\):\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 4\\]\n\n**Krok 4:** Pole powierzchni:\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu (sześcian to szczególny przypadek gdzie \\(a = b = c\\)):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do obliczenia pola.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty (sześcian jako szczególny graniastosłup). Wzór na przekątną nie jest wprost w karcie CKE - wyprowadzimy go dwukrotnym użyciem twierdzenia Pitagorasa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia przekątnej podstawy, a następnie przekątnej przestrzennej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(24\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy \\(6a^2\\) ale wstawia \\(a = 4\\sqrt{3}\\) (myli bok z długością przekątnej) - wynik: \\(6 \\cdot 48 = 288\\), albo nie upraszcza i zostaje przy \\(a = \\sqrt{3}\\) |\n| C. \\(192\\) | Uczeń używa \\(d = a\\sqrt{2}\\) (wzór na przekątną kwadratu, nie sześcianu!) - stąd \\(a = \\frac{4\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{6}\\), a potem \\(6a^2 = 6 \\cdot 24 = 144\\) lub inaczej: liczy \\(12a^2\\) (objętość?) zamiast \\(6a^2\\) |\n| D. \\(16\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy pole jednej ściany \\(a^2 = 16\\) i mnoży przez \\(\\sqrt{3}\\) bez sensu geometrycznego - typowe \"zgadywanie\" z odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna sześcianu to **NIE** to samo co przekątna ściany! Przekątna ściany (kwadratu) = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **6** ścian, nie 4 ani 8. Pole powierzchni całkowitej = \\(6a^2\\). Sprawdź to na kartce przed wpisaniem odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy w treści pojawia się \\(\\sqrt{3}\\), nie oznacza to automatycznie, że wynik też zawiera \\(\\sqrt{3}\\) - tutaj \\(\\sqrt{3}\\) \"skraca się\" przy wyznaczaniu boku, a pole wychodzi liczbą całkowitą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekątna sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow a = 4.\\]\nPole powierzchni: \\(P_c = 6a^2 = 6\\cdot 16 = 96\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(24\\sqrt{3}\\)** - błędne zastosowanie \\(\\sqrt{3}\\).\n- **C. \\(192\\)** - za duże, być może policzono \\(6\\cdot(4\\sqrt{3})^2\\) na wierzchu.\n- **D. \\(16\\sqrt{3}\\)** - pole jednej ściany z błędem.\n\n**Wzór:** sześcian \\(a\\) - przekątna \\(a\\sqrt{3}\\), pole \\(6a^2\\), objętość \\(a^3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni sześcianu\n1. **Zrozumienie problemu:** Sześcian ma sześć identycznych kwadratowych ścian. Pole powierzchni sześcianu to suma pól tych sześciu ścian.\n2. **Obliczenie długości krawędzi:** Przekątna sześcianu o długości boku *a* jest dana wzorem: \\(a\\sqrt{3}\\). Zatem \\(a\\sqrt{3} = 4\\), stąd \\(a = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).\n3. **Obliczenie pola jednej ściany:** Pole kwadratu to \\(a^2\\). Zatem pole jednej ściany sześcianu to \\(\\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = \\frac{16}{3}\\).\n4. **Obliczenie pola powierzchni sześcianu:** Pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany: \\(6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\). *Błąd w treści zadania - powinna być odpowiedź 32, a nie 96.* Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Poprawione obliczenia:\n* Przekątna sześcianu to \\( \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3} = 4 \\)\n* Zatem \\( a = \\frac{4}{\\sqrt{3}} \\)\n* Pole jednej ściany to \\( a^2 = \\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = \\frac{16}{3} \\)\n* Pole powierzchni sześcianu to \\( 6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32 \\)\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni sześcianu z przekątnej\n1. **Zrozumienie problemu:** Wiemy, że przekątna sześcianu ma długość 4. Możemy wykorzystać tę informację do obliczenia długości krawędzi sześcianu.\n2. **Związek między przekątną sześcianu a krawędzią:** Przekątna sześcianu (d) jest związana z długością krawędzi (a) wzorem: \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n3. **Obliczenie długości krawędzi:** Zatem \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).\n4. **Obliczenie pola powierzchni sześcianu:** Jak w sposobie 1, pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany, czyli \\(6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot \\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = 6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. (na zdjęciu):** To wartość, która nie ma związku z obliczeniami.\n* **C. 192:** Pole powierzchni sześcianu o boku 4 jest równe 6 * 4² = 96, a nie 192.\n* **D. (na zdjęciu):** To wartość, która nie ma związku z obliczeniami.\n\nW obu sposobach otrzymujemy, że pole powierzchni sześcianu wynosi 32. Prawdopodobnie w treści zadania popełniono błąd, ponieważ podana długość przekątnej (4) nie jest zgodna z polem powierzchni 96. Jeśli przekątna sześcianu wynosi 4, to pole powierzchni wynosi 32. Zatem, poprawna odpowiedź to 32, a nie 96.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Przekątna sześcianu ma długość 4 3 . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
A. 96
B. 24 3
C. 192
D. 16 3
Rozwiązanie zadania. Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o 2π większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy A. 3 B. 2π C. 1 D. π

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G11. Bryły. Zdający oblicza pole
powierzchni i objętość graniastosłupa
prostego, ostrosłupa, walca, stożka,
kuli (także w zadaniach osadzonych
w kontekście praktycznym) (G11.2).
Wersja X
Wersja Y
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(96\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu

\n

Znajdź bok sześcianu ze wzoru na przekątną.

\n

Przekątna sześcianu (przestrzenna) o boku \\(a\\) wynosi:
\\[d = a\\sqrt{3}\\]

\n

Mamy \\(d = 4\\sqrt{3}\\), więc:
\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]
\\[a = 4\\]

\n

Oblicz pole powierzchni całkowitej.

\n

Sześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):
\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie przekątnej z twierdzenia Pitagorasa (od podstaw)

\n

Zamiast pamiętać wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\), wyprowadzamy go na bieżąco.

\n

Krok 1: Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):
\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2} = a\\sqrt{2}\\]

\n

Krok 2: Przekątna przestrzenna to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\) (wysokość sześcianu):
\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3: Wyznacz \\(a\\):
\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 4\\]

\n

Krok 4: Pole powierzchni:
\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu (sześcian to szczególny przypadek gdzie \\(a = b = c\\)):
\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]
Użyliśmy w obu sposobach do obliczenia pola.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup prosty (sześcian jako szczególny graniastosłup). Wzór na przekątną nie jest wprost w karcie CKE - wyprowadzimy go dwukrotnym użyciem twierdzenia Pitagorasa.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia przekątnej podstawy, a następnie przekątnej przestrzennej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \\(24\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy \\(6a^2\\) ale wstawia \\(a = 4\\sqrt{3}\\) (myli bok z długością przekątnej) - wynik: \\(6 \\cdot 48 = 288\\), albo nie upraszcza i zostaje przy \\(a = \\sqrt{3}\\) |
| C. \\(192\\) | Uczeń używa \\(d = a\\sqrt{2}\\) (wzór na przekątną kwadratu, nie sześcianu!) - stąd \\(a = \\frac{4\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{6}\\), a potem \\(6a^2 = 6 \\cdot 24 = 144\\) lub inaczej: liczy \\(12a^2\\) (objętość?) zamiast \\(6a^2\\) |
| D. \\(16\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy pole jednej ściany \\(a^2 = 16\\) i mnoży przez \\(\\sqrt{3}\\) bez sensu geometrycznego - typowe "zgadywanie" z odpowiedzi |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna sześcianu to NIE to samo co przekątna ściany! Przekątna ściany (kwadratu) = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Sześcian ma 6 ścian, nie 4 ani 8. Pole powierzchni całkowitej = \\(6a^2\\). Sprawdź to na kartce przed wpisaniem odpowiedzi.
\n
⚠️ Uwaga: Gdy w treści pojawia się \\(\\sqrt{3}\\), nie oznacza to automatycznie, że wynik też zawiera \\(\\sqrt{3}\\) - tutaj \\(\\sqrt{3}\\) "skraca się" przy wyznaczaniu boku, a pole wychodzi liczbą całkowitą.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Przekątna sześcianu
\n

Dla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).
\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow a = 4.\\]
Pole powierzchni: \\(P_c = 6a^2 = 6\\cdot 16 = 96\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Wzór: sześcian \\(a\\) - przekątna \\(a\\sqrt{3}\\), pole \\(6a^2\\), objętość \\(a^3\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni sześcianu
\n
  1. Zrozumienie problemu: Sześcian ma sześć identycznych kwadratowych ścian. Pole powierzchni sześcianu to suma pól tych sześciu ścian.
  2. Obliczenie długości krawędzi: Przekątna sześcianu o długości boku a jest dana wzorem: \\(a\\sqrt{3}\\). Zatem \\(a\\sqrt{3} = 4\\), stąd \\(a = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).
  3. Obliczenie pola jednej ściany: Pole kwadratu to \\(a^2\\). Zatem pole jednej ściany sześcianu to \\(\\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = \\frac{16}{3}\\).
  4. Obliczenie pola powierzchni sześcianu: Pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany: \\(6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\). Błąd w treści zadania - powinna być odpowiedź 32, a nie 96. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Poprawione obliczenia:
\n\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15

\n
Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni sześcianu z przekątnej
\n
  1. Zrozumienie problemu: Wiemy, że przekątna sześcianu ma długość 4. Możemy wykorzystać tę informację do obliczenia długości krawędzi sześcianu.
  2. Związek między przekątną sześcianu a krawędzią: Przekątna sześcianu (d) jest związana z długością krawędzi (a) wzorem: \\(d = a\\sqrt{3}\\).
  3. Obliczenie długości krawędzi: Zatem \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).
  4. Obliczenie pola powierzchni sześcianu: Jak w sposobie 1, pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany, czyli \\(6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot \\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = 6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach otrzymujemy, że pole powierzchni sześcianu wynosi 32. Prawdopodobnie w treści zadania popełniono błąd, ponieważ podana długość przekątnej (4) nie jest zgodna z polem powierzchni 96. Jeśli przekątna sześcianu wynosi 4, to pole powierzchni wynosi 32. Zatem, poprawna odpowiedź to 32, a nie 96.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, pole powierzchni sześcianu obliczamy ze wzoru $P = 6a^2$, gdzie $a$ to długość krawędzi. Długość przekątnej sześcianu wynosi $a\\sqrt{3}$, więc z równania $4\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}$ wynika, że $a = 4$. Stąd pole powierzchni to $P = 6 \\cdot 4^2 = 96$.

"}]}