{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność (2x+5)(3x-1)≥0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nnierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\noraz\n\nzaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n:\n1\n5\n2\nx = -\ni\n2\n1\nx = .\n\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.\n\npopełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\n\nbłędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\nwyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-:\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = i na tym zakończy lub zapisze\nbłędny zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nlub (\nlub\n),\nalbo\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n2.\nJeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n, rozważając dwa przypadki\noraz\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór\nrozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n3.\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n4.\nJeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, ale zapisze\nsprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.\n{\n}\n5\n2\n,1\nx\nR\n∉\n, albo\n5\n2\nx ≠-\ni\n1\nx ≠,\nto otrzymuje 2 punkty.\n5.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane\nliczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to otrzymuje 2 punkty.\n6.\nJeżeli zdający pominie 2 w nierówności\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n- i rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek\nz odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch\nrozłącznych przedziałów otwartych.\n8.\nJeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n1\nx -\n1\n0\nx ->\n1\n0\nx -<\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\nx\n1\n9.\nJeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\nx\nx\n>\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\nbez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n2\n3\n5\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci (\n)(\n)\n2\n5\n1\n0\nx\nx\n>\n(przenosimy\nwszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),\na następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (\n)(\n)\n2\n5\n1\nx\nx\n:\noraz\nII sposób\nZapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nlub 2\nDrugi etap rozwiązania:\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nIII sposób\nWykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment\nwykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz fragment wykresu\nfunkcji liniowej określonej wzorem\n1\ny\nx\n1\nx -\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n2\n2\n3\n5\n0\nx\nx\n>\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n49\nΔ =\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nSprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów\n5\n5\n7\n1\n7\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n⋅-\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd liczba\n5\n2\n\n\n\n\n\n\njest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym\nmiejscem zerowym obu funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\nZ naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa\nprzyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa\n. Zatem zbiór ten jest\nzbiorem rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Zauważamy**, że po prawej stronie stoi \\(x - 1\\), a po lewej też mamy czynnik \\((x-1)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[2(x-1)(x+3) - (x-1) > 0\\]\n\n**Wyłączamy \\((x-1)\\) przed nawias:**\n\n\\[(x-1)\\bigl[2(x+3) - 1\\bigr] > 0\\]\n\n\\[(x-1)(2x + 6 - 1) > 0\\]\n\n\\[(x-1)(2x+5) > 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe:**\n- \\(x - 1 = 0 \\Rightarrow x = 1\\)\n- \\(2x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -\\dfrac{5}{2}\\)\n\n**Tabela znaków** (czynniki: \\((x-1)\\) i \\((2x+5)\\)):\n\n| Przedział | \\(x-1\\) | \\(2x+5\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-\\dfrac{5}{2} < x < 1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nNierówność **ostra** (\\(>\\)), więc \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\) **nie** należą do rozwiązania.\n\n**Rozwiązanie:** \\(\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)}\\)\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\n\\[2(x-1)(x+3) > x - 1\\]\n\n\\[2(x^2 + 2x - 3) > x - 1\\]\n\n\\[2x^2 + 4x - 6 > x - 1\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewo:\n\n\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49\\]\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{49}}{2 \\cdot 2} = \\frac{-3 \\pm 7}{4}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = -\\frac{10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = 1\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\) - parabola skierowana **ramionami w górę**. Trójmian jest **dodatni na zewnątrz** pierwiastków, tzn. dla \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\).\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\) - zgodnie ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).\n\nOraz własność: dla \\(a > 0\\) trójmian \\(ax^2 + bx + c > 0\\) dla \\(x < x_1\\) lub \\(x > x_2\\) (gdy \\(\\Delta > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - przeniesienie \\((x-1)\\) na lewą stronę i **dzielenie przez \\((x-1)\\)**. Nie wolno tego robić, bo nie wiemy, czy \\((x-1) > 0\\) czy \\(< 0\\)! Przy dzieleniu przez wyrażenie ze zmienną musiałbyś rozpatrzyć przypadki i odwracać zwrot nierówności. Wyłączenie przed nawias jest bezpieczniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(>\\)), więc punkty \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\), gdzie iloczyn wynosi \\(0\\), **nie należą** do rozwiązania. Gdyby była \\(\\geq\\), wchodziłyby do rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 łatwo pomylić się przy przenoszeniu \\(x - 1\\) (znak minus przed \\(x\\)): \\(4x - x = 3x\\) i \\(-6 - (-1) = -5\\). Sprawdź to działanie jeszcze raz przed zapisaniem wyniku.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Standardowa forma\n\\[2(x-1)(x+3) > x-1\\]\n\\[2(x^2+2x-3) > x-1\\]\n\\[2x^2+4x-6 > x-1\\]\n\\[2x^2+3x-5 > 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 9+40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).\n\\(x_{1,2} = \\dfrac{-3\\pm 7}{4}\\), \\(x_1 = -\\dfrac{5}{2}\\), \\(x_2 = 1\\).\n\nRamiona w górę, nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wyłączenie \\((x-1)\\)\n\\((x-1)[2(x+3) - 1] > 0 \\iff (x-1)(2x+5) > 0\\).\nPierwiastki: \\(1\\) i \\(-\\tfrac{5}{2}\\). Parabola ramiona w górę (współczynnik \\(1\\cdot 2 = 2 > 0\\)), nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:\n\\[x < -\\tfrac{5}{2} \\text{ lub } x > 1.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{5}{2}) \\cup (1, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność (
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n

Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność (2x+5)(3x-1)≥0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje
\n

nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór
rozwiązań nierówności, np.

obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
oraz

zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem
:
1
5
2
x = -
i
2
1
x = .

rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2
albo
• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.

popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,

błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
1
2
5
2
x
x
⋅
i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
albo
wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-:
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = i na tym zakończy lub zapisze
błędny zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub
lub (
lub
),
albo
1
5
2
x = -
2
1
x =
( )
2
2
3
5
f x
x
x
(
)
5
1
2
x
x






(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪

\n\n





(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





5
2
x < -
1
x >
Zasady oceniania rozwiązań zadań
• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
,
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci
,
, to przyznajemy 2 punkty.
Uwagi
1.
Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
i
,
oraz
2.
Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
, rozważając dwa przypadki
oraz
, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór
rozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.
3.
Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
,
i zapisze, np.
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
4.
Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność
(
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n

-, ale zapisze
sprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.
{
}
5
2
,1
x
R
∉
, albo
5
2
x ≠-
i
1
x ≠,
to otrzymuje 2 punkty.
5.
Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane
liczby
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-, to otrzymuje 2 punkty.
6.
Jeżeli zdający pominie 2 w nierówności
(
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
\n\n

(
)(
)
1
3
1
x
x
x

\n
\n

-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
7.
Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek
z odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
-,
to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch
rozłącznych przedziałów otwartych.
8.
Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,
to oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
5
2
x < -
1
x >
(
)
5
,1
,
2


-∞
∪-

\n\n





(
)
5
,
1,
2


+∞-
∪
-∞




5
2
x < -
1
x >
5
2
x < -
1
x >
1
x -
1
0
x ->
1
0
x -<
1
5
2
x = -
2
1
x =
(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪-

\n\n





x
1
9.
Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
wyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (
\n

)(
)
2
1
3
0
x
x

\n
\n

, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
\n

bez stosownego założenia,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązanie
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2
2
3
5
x
x
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.
Pierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci (
)(
)
2
5
1
0
x
x

\n
\n

(przenosimy
wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),
a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (
)(
)
2
5
1
x
x
:
oraz
II sposób
Zapisujemy nierówność w postaci
i obliczamy pierwiastki trójmianu
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
i stąd
1
5
2
x
oraz
2
1
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
oraz
, stąd
oraz
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):
1
5
2
x
oraz
2
1
x
lub 2
Drugi etap rozwiązania:
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub
III sposób
Wykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment
wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz fragment wykresu
funkcji liniowej określonej wzorem
1
y
x
1
x -
1
5
2
x = -
2
1
x =
2
2
3
5
0
x
x

\n
\n

2
2
3
5
x
x
49
Δ =
1
2
5
2
x
x
⋅
1
2
3
2
x
x
1
5
2
x = -
2
1
x =
(
)
5
1
2
x
x






(
)
5
,
1,
2


-∞-
∪

\n\n





(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby
1
5
2
x = -
oraz
2
1
x = .
Sprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów
5
5
7
1
7
2
1
3
2
2
2
2
2
2
5
7
1
2
2






⋅-












Stąd liczba
5
2






jest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym
miejscem zerowym obu funkcji
(
)(
)
2
1
3
y
x
x
oraz
1
y
x
Z naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa
przyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa
. Zatem zbiór ten jest
zbiorem rozwiązań nierówności (
)(
)
2
1
3
1
x
x
x

\n
","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Zauważamy, że po prawej stronie stoi \\(x - 1\\), a po lewej też mamy czynnik \\((x-1)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[2(x-1)(x+3) - (x-1) > 0\\]

\n

Wyłączamy \\((x-1)\\) przed nawias:

\n

\\[(x-1)\\bigl[2(x+3) - 1\\bigr] > 0\\]

\n

\\[(x-1)(2x + 6 - 1) > 0\\]

\n

\\[(x-1)(2x+5) > 0\\]

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe:

\n\n

Tabela znaków (czynniki: \\((x-1)\\) i \\((2x+5)\\)):

\n

| Przedział | \\(x-1\\) | \\(2x+5\\) | Iloczyn |
| \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(-\\dfrac{5}{2} < x < 1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Nierówność ostra (\\(>\\)), więc \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\) nie należą do rozwiązania.

\n

Rozwiązanie: \\(\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)}\\)

\n

Sposób 2 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

\n

Rozwijamy lewą stronę:

\n

\\[2(x-1)(x+3) > x - 1\\]

\n

\\[2(x^2 + 2x - 3) > x - 1\\]

\n

\\[2x^2 + 4x - 6 > x - 1\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewo:

\n

\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]

\n

Liczymy deltę:

\n

\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49\\]

\n

\\[x_{1,2} = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{49}}{2 \\cdot 2} = \\frac{-3 \\pm 7}{4}\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = -\\frac{10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = 1\\]

\n

Współczynnik \\(a = 2 > 0\\) - parabola skierowana ramionami w górę. Trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków, tzn. dla \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\).

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\) - zgodnie ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory na miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).

\n

Oraz własność: dla \\(a > 0\\) trójmian \\(ax^2 + bx + c > 0\\) dla \\(x < x_1\\) lub \\(x > x_2\\) (gdy \\(\\Delta > 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - przeniesienie \\((x-1)\\) na lewą stronę i dzielenie przez \\((x-1)\\). Nie wolno tego robić, bo nie wiemy, czy \\((x-1) > 0\\) czy \\(< 0\\)! Przy dzieleniu przez wyrażenie ze zmienną musiałbyś rozpatrzyć przypadki i odwracać zwrot nierówności. Wyłączenie przed nawias jest bezpieczniejsze.
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(>\\)), więc punkty \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\), gdzie iloczyn wynosi \\(0\\), nie należą do rozwiązania. Gdyby była \\(\\geq\\), wchodziłyby do rozwiązania.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 łatwo pomylić się przy przenoszeniu \\(x - 1\\) (znak minus przed \\(x\\)): \\(4x - x = 3x\\) i \\(-6 - (-1) = -5\\). Sprawdź to działanie jeszcze raz przed zapisaniem wyniku.
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Standardowa forma
\n

\\[2(x-1)(x+3) > x-1\\]
\\[2(x^2+2x-3) > x-1\\]
\\[2x^2+4x-6 > x-1\\]
\\[2x^2+3x-5 > 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 9+40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).
\\(x_{1,2} = \\dfrac{-3\\pm 7}{4}\\), \\(x_1 = -\\dfrac{5}{2}\\), \\(x_2 = 1\\).

\n

Ramiona w górę, nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:
\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty).\\]

\n
Sposób 2 - Wyłączenie \\((x-1)\\)
\n

\\((x-1)[2(x+3) - 1] > 0 \\iff (x-1)(2x+5) > 0\\).
Pierwiastki: \\(1\\) i \\(-\\tfrac{5}{2}\\). Parabola ramiona w górę (współczynnik \\(1\\cdot 2 = 2 > 0\\)), nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:
\\[x < -\\tfrac{5}{2} \\text{ lub } x > 1.\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{5}{2}) \\cup (1, +\\infty)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)$

"}]}