{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Liczba 1-(2^7-1)² jest równa A. -2^14 B. 2^8-2^14 C. 2-2^14 D. -2^14-2⋅2^7+2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta\nz własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań\ntypu (\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n(3.7).\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze dwa równania\n2\n1\n0\nx\ni\n2\n2\n0\nx\nx\nlub z zapisu wynika, że rozwiązuje te\nrównania\nalbo\nobliczy lub poda rozwiązania jednego z równań:\n2\n1\n0\nx -=\n(\n1\nx =\n,\n1\nx = -) lub\n2\n2\n0\nx\nx\n(\n0\nx =\n,\n2\nx =\n)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n0\nx =\n,\n2\nx =\n,\n1\nx =\n,\n1\nx = -, ale nie uzyska\nich w wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2.\nJeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów\ni doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu\nrównego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.\nZatem\n2\n1\n0\nx -=\nlub\n2\n2\n0\nx\nx\nRównanie\n2\n1\n0\nx -=\nma dwa rozwiązania:\n1\nx = - lub\n1\nx =\nRównanie\n2\n2\n0\nx\nx\nma dwa rozwiązania:\n0\nx =\nlub\n2\nx =\nZatem rozwiązaniami równania (\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n0\nx\nx\nx\nsą liczby:\n0\nx =\n,\n2\nx =\n,\n1\nx =\n,\n1\nx = -.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\)\n\nRównanie ma cztery pierwiastki: \\(x = -1\\), \\(x = 0\\), \\(x = 1\\), \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Iloczyn równy zero → rozbicie na przypadki\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Mamy iloczyn dwóch wyrażeń równy zeru. Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** czynnik jest zerem.\n\n\\[(x^2 - 1)(x^2 - 2x) = 0\\]\n\n\\[\\Updownarrow\\]\n\n\\[x^2 - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 2x = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 1 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów:\n\n\\[x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0\\]\n\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]\n\\[x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -1\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 2x = 0\\)\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\n\\[x(x - 2) = 0\\]\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 2\\]\n\n**Odpowiedź:** Zbiór rozwiązań to \\(\\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdy z czterech wyników w oryginalnym równaniu \\((x^2-1)(x^2-2x)=0\\):\n\n| \\(x\\) | \\(x^2-1\\) | \\(x^2-2x\\) | Iloczyn |\n| \\(-1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1+2=3\\) | \\(0 \\cdot 3 = 0\\) ✓ |\n| \\(0\\) | \\(0-1=-1\\) | \\(0-0=0\\) | \\((-1) \\cdot 0 = 0\\) ✓ |\n| \\(1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1-2=-1\\) | \\(0 \\cdot (-1) = 0\\) ✓ |\n| \\(2\\) | \\(4-1=3\\) | \\(4-4=0\\) | \\(3 \\cdot 0 = 0\\) ✓ |\n\nWszystkie cztery wartości spełniają równanie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\nW tym zadaniu nie są potrzebne inne wzory z karty - wystarczy różnica kwadratów i wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj iloczynu! Wielu uczniów mnoży \\((x^2-1)(x^2-2x)\\) i dostaje wielomian stopnia 4 - to dużo trudniejsze i niepotrzebne. Iloczyn równy zero rozwiązujemy przez **rozbicie na przypadki**, nie przez rozwinięcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o \\(x = 0\\)! Z \\(x(x-2)=0\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x=0\\) i \\(x=2\\). Uczniowie często zapisują tylko \\(x=2\\), bo \\(x=0\\) wydaje się \"oczywiste\" i łatwo je pominąć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy rozwiązania się nie powtarzają. Tu \\(x=1\\) pojawia się tylko raz (z pierwszego czynnika), mimo że mógłby ktoś pomyśleć, że jest \"podwójny\" - ale to zupełnie różne czynniki.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 0, 1, 2\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\n**Czynnik 1:** \\(x^2 - 1 = 0 \\Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \\Rightarrow x = \\pm 1\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 2x = 0 \\Rightarrow x(x-2) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 2\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Pełny rozkład\n\\((x^2-1)(x^2-2x) = (x-1)(x+1)\\cdot x\\cdot(x-2) = 0\\). Cztery czynniki liniowe → cztery pierwiastki: \\(-1, 0, 1, 2\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż równanie (
)(
)
2
2
1
2
0
x
x
x
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Liczba 1-(2^7-1)² jest równa A. -2^14 B. 2^8-2^14 C. 2-2^14 D. -2^14-2⋅2^7+2

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie
informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający korzysta
\n

z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań
typu (
)(
)
1
7
0
x x
x
(3.7).
(
)
5
,
1,
2
x


∈-∞-
∪

\n\n





Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze dwa równania
2
1
0
x
i
2
2
0
x
x
lub z zapisu wynika, że rozwiązuje te
równania
albo
obliczy lub poda rozwiązania jednego z równań:
2
1
0
x -=
(
1
x =
,
1
x = -) lub
2
2
0
x
x
(
0
x =
,
2
x =
)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
0
x =
,
2
x =
,
1
x =
,
1
x = -, ale nie uzyska
ich w wyniku błędnej metody.
Uwagi
1.
Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków
lub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.
2.
Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów
i doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu
równego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
Przykładowe rozwiązanie
Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
Zatem
2
1
0
x -=
lub
2
2
0
x
x
Równanie
2
1
0
x -=
ma dwa rozwiązania:
1
x = - lub
1
x =
Równanie
2
2
0
x
x
ma dwa rozwiązania:
0
x =
lub
2
x =
Zatem rozwiązaniami równania (
)(
)
2
2
1
2
0
x
x
x
są liczby:
0
x =
,
2
x =
,
1
x =
,
1
x = -.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\)

\n

Równanie ma cztery pierwiastki: \\(x = -1\\), \\(x = 0\\), \\(x = 1\\), \\(x = 2\\).

\n

Sposób 1 - Iloczyn równy zero → rozbicie na przypadki

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Mamy iloczyn dwóch wyrażeń równy zeru. Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\n

\\[(x^2 - 1)(x^2 - 2x) = 0\\]

\n

\\[\\Updownarrow\\]

\n

\\[x^2 - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 2x = 0\\]

\n

Przypadek 1: \\(x^2 - 1 = 0\\)

\n

Rozpoznajemy różnicę kwadratów:

\n

\\[x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0\\]

\n

\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]
\\[x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -1\\]

\n

Przypadek 2: \\(x^2 - 2x = 0\\)

\n

Wyciągamy \\(x\\) przed nawias:

\n

\\[x(x - 2) = 0\\]

\n

\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 2\\]

\n

Odpowiedź: Zbiór rozwiązań to \\(\\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każdy z czterech wyników w oryginalnym równaniu \\((x^2-1)(x^2-2x)=0\\):

\n

| \\(x\\) | \\(x^2-1\\) | \\(x^2-2x\\) | Iloczyn |
| \\(-1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1+2=3\\) | \\(0 \\cdot 3 = 0\\) ✓ |
| \\(0\\) | \\(0-1=-1\\) | \\(0-0=0\\) | \\((-1) \\cdot 0 = 0\\) ✓ |
| \\(1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1-2=-1\\) | \\(0 \\cdot (-1) = 0\\) ✓ |
| \\(2\\) | \\(4-1=3\\) | \\(4-4=0\\) | \\(3 \\cdot 0 = 0\\) ✓ |

\n

Wszystkie cztery wartości spełniają równanie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).

\n

W tym zadaniu nie są potrzebne inne wzory z karty - wystarczy różnica kwadratów i wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie rozwijaj iloczynu! Wielu uczniów mnoży \\((x^2-1)(x^2-2x)\\) i dostaje wielomian stopnia 4 - to dużo trudniejsze i niepotrzebne. Iloczyn równy zero rozwiązujemy przez rozbicie na przypadki, nie przez rozwinięcie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o \\(x = 0\\)! Z \\(x(x-2)=0\\) wynikają dwa rozwiązania: \\(x=0\\) i \\(x=2\\). Uczniowie często zapisują tylko \\(x=2\\), bo \\(x=0\\) wydaje się "oczywiste" i łatwo je pominąć.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy rozwiązania się nie powtarzają. Tu \\(x=1\\) pojawia się tylko raz (z pierwszego czynnika), mimo że mógłby ktoś pomyśleć, że jest "podwójny" - ale to zupełnie różne czynniki.
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 0, 1, 2\\}\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0
\n

Czynnik 1: \\(x^2 - 1 = 0 \\Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \\Rightarrow x = \\pm 1\\).

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 2x = 0 \\Rightarrow x(x-2) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 2\\).

\n

Zbiór rozwiązań: \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).

\n
Sposób 2 - Pełny rozkład
\n

\\((x^2-1)(x^2-2x) = (x-1)(x+1)\\cdot x\\cdot(x-2) = 0\\). Cztery czynniki liniowe → cztery pierwiastki: \\(-1, 0, 1, 2\\).

\n

Odpowiedź: \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\{-1, 0, 1, 2\\}$

"}]}