Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
MMA_1P
","answer_text_html":"Zadanie 28. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
skróconego mnożenia (
)
±
2
a
b
oraz
2
2
a
b (2.1).
Zasady oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze nierówność w postaci (
)
2
2
0
a
b
b
albo
obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0,
i stwierdzi, że jest on niedodatni
Zasady oceniania rozwiązań zadań
albo
obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0 oraz
rozważy jeden z przypadków
0
Δ <
lub
0
Δ =
i w tym przypadku doprowadzi
rozumowanie do końca
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy poda pełne uzasadnienie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości
a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy rozważy dwa przypadki:
w jednym, dla
0
a ≠
, podzieli stronami nierówność przez
2
a , w drugim, dla
0
b ≠
, podzieli
stronami nierówność przez
2
b
i w jednym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości
a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
rozważy
trzy
przypadki
i
zapisze
nierówności
(
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
,
(
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
,
2
2
2
0
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
albo
przeprowadzi pełne rozumowanie w dwóch spośród trzech przypadków
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przeprowadzając dowód nie wprost, zapisze nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
w postaci (
)
2
2
0
a
b
b
≤
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania VI sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
zapisze
nierówność
w
postaci
równoważnej
2
2
2
2
a
b
ab
oraz
zapisze,
że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności:
2
2
2
2
2
a
b
a
b
≥
oraz
2
2
2
a
b
ab
≥
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
2
2
2
2
0
a
ab
b
,
2
2
2
2
0
a
ab
b
b
,
(
)
2
2
0
a
b
b
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Nierówność (
)
2
2
0
a
b
b
jest prawdziwa, ponieważ:
\njest dodatnie, gdyż z założenia wynika
i kwadrat każdej
liczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni,
2
b jest nieujemne,
nieujemną, jest liczbą dodatnią.
To kończy dowód.
II sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
Wyrażenie
2
2
2
2
a
ab
b
traktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
2
a
ab
b
jest równy:
2
2
2
4
8
4
b
b
b
Δ =
Ten wyróżnik jest niedodatni dla każdej rzeczywistej wartości b.
Gdy
0
Δ <
, to
2
2
2
2
0
a
ab
b
dla każdej rzeczywistej wartości a.
Gdy
0
Δ =
, to
0
b =
, stąd
2
0
a >
, ponieważ z założenia a
b
≠
Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest
nierówność
2
2
2
2
0
a
ab
b
To kończy dowód.
III sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
Z założenia wynika, że liczby a i b nie mogą jednocześnie przyjmować wartości 0 .
Jeżeli
0
b ≠
, to
2
0
b >
. Dzielimy obie strony nierówności przez
2
b i otrzymujemy nierówność
równoważną
2
2
2
0
a
a
b
b
-
Niech
a
x
b
. Otrzymujemy nierówność kwadratową
2
2
2
0
x
x
z niewiadomą x .
Zauważamy, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x , bo z równości
(
)
2
2
2
2
1
1
x
x
x
wnioskujemy, że (
)
2
1
1
0
x -
, wobec oczywistej nierówności (
)
2
1
0
x -
≥
(
)
2
b
a -
0
≠
-b
a
Natomiast jeżeli
0
a ≠
, to
2
0
a >
. Dzielimy obie strony nierówności przez
2
a i otrzymujemy
nierówność równoważną
2
2
2
1
0
b
b
a
a
-
Niech teraz
b
x
a
. Otrzymujemy nierówność kwadratową
2
2
2
1
0
x
x
z niewiadomą x .
Ponieważ wyróżnik trójmianu
2
2
2
1
x
x
potędze trójmianu jest dodatni, więc ten trójmian przyjmuje tylko wartości dodatnie dla każdej
liczby rzeczywistej x .
Z rozważonych przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch różnych
liczb rzeczywistych a i b.
To kończy dowód.
IV sposób
Niech a
b
≠
. Rozważmy następujące przypadki:
Przypadek I:
0
a b
⋅
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2 2
2
2 2
a
b
ab
ab
ab
Stąd (
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
Wyrażenie (
)
2
2
a
b
jest nieujemne. Wyrażenie
(
)
2
1
2
ab
jest ujemne, ponieważ
1
2
0
<
i z założenia
0
ab
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅
≠
Przypadek II:
0
a b
⋅<
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2 2
2
2 2
a
b
ab
ab
ab
Stąd (
)
(
)
2
2
2
1
2
a
b
ab
Wyrażenie (
)
2
2
a
b
jest nieujemne. Wyrażenie
(
)
2
1
2
ab
jest ujemne, ponieważ
1
2
0
i z założenia
0
ab <
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅<
≠
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przypadek III:
0
a b
⋅
Przekształcamy równoważnie nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
i otrzymujemy:
2
2
2
2
0
a
ab
b
Ponieważ
0
a b
⋅
, więc nierówność
2
2
2
2
0
a
ab
b
możemy zapisać w postaci
2
2
2
0
a
b
Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych a i b, takich, że a
b
≠
jest dodatnia.
Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że
0 i
a b
a
b
⋅
≠
To kończy dowód.
V sposób (dowód nie wprost)
Załóżmy, że istnieją różne liczby rzeczywiste a i b, dla których prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
Powyższa nierówność jest równoważna nierównościom:
2
2
2
2
0
a
ab
b
≤
,
(
)
2
2
0
a
b
b
≤
Ponieważ lewa strona tej nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych (
)
2
a
b
i
2
b ,
więc może zachodzić jedynie przypadek (
)
2
2
0
a
b
b
. Wynika stąd, że
0
a
b
i
0
b =
Zatem
0
a =
i
0
b =
, co przeczy założeniu, że liczby a i b są różne.
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
≤
jest fałszywa.
Prawdziwa zatem jest nierówność
(
)
2
2
2
0
a a
b
b
, dla każdych dwóch różnych liczb
rzeczywistych a i b.
To kończy dowód.
VI sposób (szacowanie)
Nierówność (
)
2
2
2
0
a a
b
b
jest równoważna nierówności
2
2
2
2
a
b
ab
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności
2
2
2
2
2
a
b
a
b
≥
oraz
2
2
2
a
b
ab
≥
, przy czym
2
2
2
a
b
ab
tylko wtedy, gdy a
b
. Ale z założenia a
b
≠
, więc
otrzymujemy
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
≥
To kończy dowód.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Zaczniemy od rozwinięcia i uproszczenia wyrażenia po lewej stronie.
\nKrok 1: Rozwiń nawiasy.
\n\\[a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2\\]
\nKrok 2: Spróbuj zapisać to wyrażenie jako sumę kwadratów (lub coś podobnego).
\nZauważamy, że mamy wyrazy \\(a^2 - 2ab + b^2\\) - to brzmi jak \\((a-b)^2\\)! Wyodrębnijmy to:
\n\\[a^2 - 2ab + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a-b)^2 + b^2\\]
\nKrok 3: Oceń znak wyrażenia.
\nZatem:
\\[(a-b)^2 + b^2 \\geq 0\\]
Krok 4: Kiedy wyrażenie równa się zero?
\n\\[(a-b)^2 + b^2 = 0 \\iff \\begin{cases} (a-b)^2 = 0 \\\\ b^2 = 0 \\end{cases} \\iff \\begin{cases} a = b \\\\ b = 0 \\end{cases} \\iff a = b = 0\\]
\nAle wiemy, że \\(a \\neq b\\) (z założenia - liczby są różne), więc \\((a-b)^2 > 0\\).
\nWniosek:
\nPonieważ \\((a-b)^2 > 0\\) oraz \\(b^2 \\geq 0\\), mamy:
\n\\[(a-b)^2 + b^2 > 0\\]
\nco oznacza:
\\[a(a-2b) + 2b^2 > 0\\]
Nierówność jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)
\nPotraktujemy wyrażenie \\(a^2 - 2ab + 2b^2\\) jako funkcję kwadratową zmiennej \\(a\\) przy ustalonym \\(b\\).
\nKrok 1: Zapisz jako trójmian kwadratowy w \\(a\\).
\n\\[f(a) = a^2 - 2b \\cdot a + 2b^2\\]
\nMamy: \\(A = 1\\), \\(B = -2b\\), \\(C = 2b^2\\).
\nKrok 2: Oblicz wyróżnik \\(\\Delta\\).
\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2b^2 = 4b^2 - 8b^2 = -4b^2\\]
\nKrok 3: Oceń znak wyróżnika.
\nKrok 4: Wniosek dla \\(b \\neq 0\\).
\nGdy \\(\\Delta < 0\\), trójmian kwadratowy z dodatnim współczynnikiem wiodącym (\\(A = 1 > 0\\)) nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla wszystkich \\(a\\).
\nZatem \\(f(a) = a^2 - 2ab + 2b^2 > 0\\) dla wszystkich \\(a \\in \\mathbb{R}\\).
\nWniosek:
\nW obu przypadkach (\\(b = 0\\) i \\(b \\neq 0\\)), przy założeniu \\(a \\neq b\\):
\\[a(a - 2b) + 2b^2 > 0\\]
Nierówność jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
oraz wniosek: gdy \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), funkcja kwadratowa jest dodatnia dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\).
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wykazania braku miejsc zerowych.
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozpoznania i wyodrębnienia pełnego kwadratu z wyrażenia \\(a^2 - 2ab + 2b^2\\).
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów liczbowych! Zadanie wymaga dowodu algebraicznego dla wszystkich par \\(a \\neq b\\) - przykłady to nie dowód.\n
⚠️ Uwaga: Błąd to pominięcie założenia \\(a \\neq b\\). Samo wyrażenie \\((a-b)^2 + b^2 \\geq 0\\) to tylko słaba nierówność - ostrość (\\(> 0\\)) wynika właśnie z faktu, że \\(a \\neq b\\), więc \\((a-b)^2 > 0\\).\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 trzeba osobno rozpatrzyć przypadek \\(b = 0\\) - gdy \\(\\Delta = 0\\), wniosek o dodatniości nie wynika automatycznie z wyróżnika, lecz z faktu, że \\(a \\neq 0\\).\n
Dowód.
\nRozwijamy lewą stronę:
\\[a(a-2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + b^2 = (a-b)^2 + b^2.\\]
Każdy kwadrat liczby rzeczywistej jest \\(\\ge 0\\). Suma \\((a-b)^2 + b^2 \\ge 0\\).
\nKiedy jest równość \\(=0\\)? Tylko gdy oba kwadraty są zerami:
\nOba naraz dają \\(a = b = 0\\), czyli \\(a = b\\). Z założenia \\(a \\ne b\\), więc jedna z równości nie zachodzi, a suma kwadratów jest ściśle dodatnia:
\\[(a-b)^2 + b^2 > 0. \\quad \\blacksquare\\]
\\(a(a-2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2\\). Traktujemy jak trójmian zmiennej \\(a\\):
\\(\\Delta_a = 4b^2 - 8b^2 = -4b^2 \\le 0\\).
Współczynnik przy \\(a^2\\) to \\(1 > 0\\).
Ponieważ \\(\\Delta < 0\\) (chyba że \\(b = 0\\)), trójmian zawsze dodatni. Gdy \\(b = 0\\): wyrażenie = \\(a^2\\), które jest \\(>0\\) dla \\(a \\ne 0\\). \\(a \\ne b = 0\\) dla \\(a \\ne b\\), więc \\(a \\ne 0\\) i \\(a^2 > 0\\). \\(\\blacksquare\\)
Kluczowe: rozpoznanie \\((a-b)^2\\) w wyrażeniu.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Uzasadnienie
"}]}