Zadanie 29. (0-2)
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz
Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).
Wykaż, że
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
3
4
CE
CD
9
16
CF
CB
C
F
A
D
B
E
MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
Zadanie 29. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
cechy podobieństwa trójkątów (7.1).
SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający rozpoznaje
i nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne
i rozwartokątne, równoboczne i równoramienne
(SP9.1).
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.:
a
BC =
i
3 3
3
8
2
a
CF =
⋅
lub
i
albo
wyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF:
8 3
9
k =
albo
• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz
zależność między długościami odcinków CD i CB, np.:
2
3
3
,
4
2
CD
CF
CD
CB
CB
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pełne rozumowanie.
Uwaga
Ponieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje
konkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie
odwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
2
BC
x
9
8
CF
x
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Niech
a
BC =
. Wtedy
2
3
a
CD =
. Ponieważ
3
4
CE
CD , to
8
3
3
a
CE =
Zatem
3
3 3
3
9
9
2
8
2
16
16
a
CF
CE
a
BC
⋅
⋅
To kończy dowód.
II sposób
Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60
°
° . Niech
y
BC =
Wtedy
2
3
y
CD =
. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego. Niech
x
CF =
. Stąd
3
3
2x
CE =
. Ponieważ
CD
CE
4
3
, to
2
3
4
3
3
3
2
y
x
⋅
. Stąd
y
x
16
9
To kończy dowód.
C
F
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
y
a
x
III sposób
Niech
x
BD . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60
°
°, więc
2
BC
x
oraz
3
CD
x
Ponieważ
, więc
. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego,
więc
Stąd
. Zatem
To kończy dowód.
IV sposób
3
4
CE
CD
3
4
3
CE
x
3
4
9
8
3
3
2
x
CF
x
⋅
9
8
9
16
2
x
CF
CB
x
9
16
CF
CB
C
F
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
a
x
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Trójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące
oznaczenie:
BC
a
, wtedy
3
2
a
CD
h
. Skalę podobieństwa można obliczyć
w następujący sposób:
3
3
3
4
4
2
8 3
9
a
BC
a
a
k
CE
h
⋅
oraz
CD
k
CF
Stąd
3
9
9
2
16
8 3
CD
a
CF
a
k
⋅
To kończy dowód.
Wykazujemy, że \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\).
\nKrok 1: Kąt przy wierzchołku C
\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) każdy kąt wewnętrzny wynosi \\(60°\\). Wysokość \\(CD\\) jest zarazem dwusieczną kąta przy \\(C\\) (w trójkącie równobocznym wysokość = dwusieczna = środkowa), więc:
\\[\\angle DCB = \\frac{60°}{2} = 30°\\]
Ponieważ \\(E\\) leży na odcinku \\(CD\\) (wewnątrz trójkąta), a \\(F\\) leży na boku \\(BC\\):
\\[\\angle ECF = \\angle DCB = 30°\\]
Krok 2: Trójkąt prostokątny CEF
\nSkoro \\(EF \\perp BC\\) i punkt \\(F\\) leży na prostej \\(BC\\), to \\(\\angle CFE = 90°\\).
\nMamy zatem trójkąt prostokątny \\(CEF\\) z kątem prostym przy \\(F\\):
\nKrok 3: CF przez CE i CD
\nZ definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym \\(CEF\\):
\\[\\cos(\\angle ECF) = \\frac{|CF|}{|CE|}\\]
\\[|CF| = |CE| \\cdot \\cos 30° = \\frac{3}{4}|CD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}|CD|\\]
Krok 4: CD przez CB
\nWysokość \\(CD\\) jest prostopadła do \\(AB\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) (kąt prosty przy \\(D\\)) stosunek przyległej do przeciwprostokątnej to cosinus kąta przy \\(C\\):
\\[\\cos(\\angle DCB) = \\frac{|CD|}{|CB|} \\implies |CD| = |CB| \\cdot \\cos 30° = |CB| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Krok 5: Podstawienie
\n\\[
|CF| = \\frac{3\\sqrt{3}}{8} \\cdot |CD| = \\frac{3\\sqrt{3}}{8} \\cdot |CB| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = |CB| \\cdot \\frac{3\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{16} = |CB| \\cdot \\frac{3 \\cdot 3}{16} = \\frac{9}{16}|CB|
\\]
Zatem \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\). \\(\\blacksquare\\)
\nWykazujemy podobieństwo \\(\\triangle CFE \\sim \\triangle CDB\\):
\n| Kąt | Trójkąt \\(CFE\\) | Trójkąt \\(CDB\\) | Uzasadnienie |
| przy \\(C\\) | \\(\\angle FCE = 30°\\) | \\(\\angle DCB = 30°\\) | CD bisekuje 60° kąt przy C |
| prostokątny | \\(\\angle CFE = 90°\\) | \\(\\angle CDB = 90°\\) | \\(EF \\perp BC\\), \\(CD \\perp AB\\) |
Z warunku KK (kąt-kąt): \\(\\triangle CFE \\sim \\triangle CDB\\), z odpowiedniością wierzchołków \\(C \\leftrightarrow C\\), \\(F \\leftrightarrow D\\), \\(E \\leftrightarrow B\\).
\nStosunek boków:
\\[\\frac{|CF|}{|CD|} = \\frac{|CE|}{|CB|}\\]
Stąd:
\\[|CF| \\cdot |CB| = |CE| \\cdot |CD| = \\frac{3}{4}|CD| \\cdot |CD| = \\frac{3}{4}|CD|^2\\]
\\[\\frac{|CF|}{|CB|} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{|CD|^2}{|CB|^2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\left(\\frac{|CD|}{|CB|}\\right)^2\\]
\nStosunek wysokości do boku w trójkącie równobocznym o boku \\(a\\) (\\(|CD| = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\)):
\\[\\frac{|CD|}{|CB|} = \\frac{\\frac{a\\sqrt{3}}{2}}{a} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Końcowy wynik:
\\[\\frac{|CF|}{|CB|} = \\frac{3}{4} \\cdot \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{9}{16}\\]
Zatem \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\). \\(\\blacksquare\\)
\nDział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym oraz wartości kątów specjalnych:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\qquad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyte w Sposobie 1 dwukrotnie: raz do wyrażenia \\(|CF|\\) przez \\(|CE|\\), raz do wyrażenia \\(|CD|\\) przez \\(|CB|\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - własności trójkąta równobocznego:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\text{wysokość} = \\text{dwusieczna} = \\text{środkowa}\\]
Kluczowe do wyznaczenia kąta \\(\\angle DCB = 30°\\) w obu sposobach.
⚠️ Uwaga: Można zapomnieć, że w trójkącie równobocznym wysokość bisekuje kąt przy wierzchołku. Bez tego nie wiemy, że \\(\\angle DCB = 30°\\), a cały dowód pada.\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 łatwo o błędną korespondencję wierzchołków przy podobieństwie - zawsze sprawdź, które kąty sobie odpowiadają. Błędna korespondencja da błędny stosunek boków.\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(EF \\perp BC\\) i \\(F\\) leżą na \\(BC\\) daje kąt prosty przy \\(F\\), nie przy \\(E\\). Punkt prosty odnosi się do wierzchołka, przy którym jest kąt prosty - czyli do \\(F\\).\n
Dowód.
\nNiech \\(|CB| = a\\). Wysokość trójkąta równobocznego \\(|CD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).
\nZ warunku: \\(|CE| = \\dfrac{3}{4}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3a\\sqrt{3}}{8}.\\)
\nW trójkącie równobocznym wysokość \\(CD\\) jest także dwusieczną kąta przy \\(C\\). Kąt \\(\\angle ACB = 60^\\circ\\), więc \\(\\angle DCB = 30^\\circ\\). Czyli kąt \\(\\angle ECF = 30^\\circ\\).
\nW trójkącie \\(CEF\\) (prostokątnym przy \\(F\\), bo \\(EF \\perp BC\\)):
\\[\\cos(\\angle ECF) = \\dfrac{|CF|}{|CE|}\\]
\\[\\cos 30^\\circ = \\dfrac{|CF|}{3a\\sqrt{3}/8}\\]
\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{|CF|}{3a\\sqrt{3}/8}\\]
\\[|CF| = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{3a\\sqrt{3}}{8} = \\dfrac{3a\\cdot 3}{16} = \\dfrac{9a}{16} = \\dfrac{9}{16}|CB|. \\quad \\blacksquare\\]
Trójkąty \\(CEF\\) i \\(CDB\\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt przy \\(C\\)).
Skala: \\(\\dfrac{|CE|}{|CD|} = \\dfrac{3}{4}\\).
Ale uwaga: odpowiadające boki - \\(CF\\) w \\(CEF\\) odpowiada \\(CB\\) w \\(CDB\\)? Hmm.
\nBardziej dokładnie: \\(\\dfrac{|CF|}{|CD|} \\ne \\dfrac{3}{4}\\) bezpośrednio. Prawidłowe podejście - przez dwukrotne podobieństwo z użyciem kąta \\(30^\\circ\\).
\nPodsumowanie: użycie \\(\\cos 30^\\circ = \\sqrt{3}/2\\) daje czysty wynik \\(\\tfrac{9}{16}|CB|\\). \\(\\blacksquare\\)
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Uzasadnienie
"}]}