{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n5\nlog\n125 jest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC. 3\nD. 3\n2\nRozwiązanie zadania. Liczba log_√2 4^8 jest równa A. 2 B. 4 C. 32 D. 16","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający\nwykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (1.6).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - uproszczenie pierwiastka i własności logarytmu\n\n**Cel:** Sprowadzić \\(\\log_5\\sqrt{125}\\) do postaci, którą łatwo obliczyć.\n\nKrok 1: Zapisz \\(\\sqrt{125}\\) jako potęgę piątki.\n\n\\[125 = 5^3\\]\n\n\\[\\sqrt{125} = \\sqrt{5^3} = 5^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nKrok 2: Podstaw do logarytmu.\n\n\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 5^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nKrok 3: Skorzystaj z definicji logarytmu - \\(\\log_a a^r = r\\).\n\n\\[\\log_5 5^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - własność logarytmu potęgi\n\nZamiast upraszczać pierwiastek od razu, użyj wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\).\n\nKrok 1: Zamień pierwiastek na potęgę.\n\n\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 125^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nKrok 2: Wyciągnij wykładnik przed logarytm.\n\n\\[\\log_5 125^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_5 125\\]\n\nKrok 3: Oblicz \\(\\log_5 125\\). Skoro \\(125 = 5^3\\):\n\n\\[\\log_5 125 = \\log_5 5^3 = 3\\]\n\nKrok 4: Podstaw z powrotem.\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)** - zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy obu: w Sposobie 1 - definicji (skoro \\(\\log_5 5^{3/2} = \\frac{3}{2}\\)), w Sposobie 2 - wzoru na logarytm potęgi.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - zamiana pierwiastka na potęgę:\n\\[\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\]\nUżyliśmy do zapisu \\(\\sqrt{125} = 5^{\\frac{3}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Odwrócono wykładnik: wzięto \\(5^{\\frac{2}{3}}\\) zamiast \\(5^{\\frac{3}{2}}\\), czyli pomylono licznik z mianownikiem |\n| B \\(2\\) | Policzono \\(\\log_5 25 = 2\\) - mylnie uproszczono \\(\\sqrt{125} \\approx 25\\) lub pominięto pierwiastek i wzięto \\(\\frac{125}{5^2} = 5\\) |\n| C \\(3\\) | Zignorowano pierwiastek - policzono \\(\\log_5 125 = 3\\), zapominając o \\(\\sqrt{\\phantom{x}}\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zignorowanie pierwiastka - uczniowie liczą \\(\\log_5 125 = 3\\) i wybierają C. Pierwiastek to też potęga!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(\\sqrt{a^m} = a^{m/n}\\) łatwo odwrócić ułamek. Pamiętaj: \\(\\sqrt{a^3} = a^{3/2}\\), NIE \\(a^{2/3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy podstawa logarytmu i argument są potęgami tej samej liczby - to klucz do szybkiego rachunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(\\sqrt{125}\\) na potęgę\n\\(\\sqrt{125} = 125^{1/2} = (5^3)^{1/2} = 5^{3/2}\\).\n\\[\\log_5 5^{3/2} = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\log_a \\sqrt{b} = \\tfrac{1}{2}\\log_a b\\)\n\\(\\log_5\\sqrt{125} = \\tfrac{1}{2}\\log_5 125 = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi.\n- **B. \\(2\\)** - \\(\\log_5 25\\).\n- **C. \\(3\\)** - \\(\\log_5 125\\), bez pierwiastka.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{a^n} = a^{n/2}\\) zawsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie definicji logarytmu\nRozwiążmy to zadanie, korzystając z definicji logarytmu. Logarytm z liczby 125 do potęgi 5 jest równy 125. Innymi słowy:\n\n\\[ \\log_5 125 = x \\]\n\nOznacza to, że \\(5^x = 125\\). Wiemy, że \\(125 = 5^3\\), więc:\n\n\\[ 5^x = 5^3 \\]\n\nZatem, \\(x = 3\\).\n\n📖 Karta wzorów: logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm z potęgi\nMożemy również wykorzystać wzór na logarytm z potęgi: \\[ \\log_a (b^r) = r \\log_a b \\]\n\nW naszym przypadku:\n\n\\[ \\log_5 125 = \\log_5 (5^3) = 3 \\log_5 5 \\]\n\nPonieważ \\( \\log_a a = 1 \\), to \\( \\log_5 5 = 1 \\). Zatem:\n\n\\[ 3 \\log_5 5 = 3 \\cdot 1 = 3 \\]\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowe, ponieważ nie daje nam rozwiązania.\n* **B. 2** - To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(5^2 = 25 \\neq 125\\).\n* **C. 3** - To jest prawidłowe, jak pokazano powyżej.\n* **D. (na zdjęciu)** - To jest prawidłowe, ponieważ \\(5^3 = 125\\). Zatem, \\( \\log_5 125 = 3 \\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Liczba<br>5<br>log<br>125 jest równa<br>A. 2<br>3<br>B. 2<br>C. 3<br>D. 3<br>2<br>Rozwiązanie zadania. Liczba log_√2 4^8 jest równa A. 2 B. 4 C. 32 D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający</li></ol>\n<p>wykorzystuje definicję logarytmu<br>i stosuje w obliczeniach wzory na<br>logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi o wykładniku<br>naturalnym (1.6).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - uproszczenie pierwiastka i własności logarytmu</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> Sprowadzić \\(\\log_5\\sqrt{125}\\) do postaci, którą łatwo obliczyć.</p>\n<p>Krok 1: Zapisz \\(\\sqrt{125}\\) jako potęgę piątki.</p>\n<p>\\[125 = 5^3\\]</p>\n<p>\\[\\sqrt{125} = \\sqrt{5^3} = 5^{\\frac{3}{2}}\\]</p>\n<p>Krok 2: Podstaw do logarytmu.</p>\n<p>\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 5^{\\frac{3}{2}}\\]</p>\n<p>Krok 3: Skorzystaj z definicji logarytmu - \\(\\log_a a^r = r\\).</p>\n<p>\\[\\log_5 5^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - własność logarytmu potęgi</h4>\n<p>Zamiast upraszczać pierwiastek od razu, użyj wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\).</p>\n<p>Krok 1: Zamień pierwiastek na potęgę.</p>\n<p>\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 125^{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p>Krok 2: Wyciągnij wykładnik przed logarytm.</p>\n<p>\\[\\log_5 125^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_5 125\\]</p>\n<p>Krok 3: Oblicz \\(\\log_5 125\\). Skoro \\(125 = 5^3\\):</p>\n<p>\\[\\log_5 125 = \\log_5 5^3 = 3\\]</p>\n<p>Krok 4: Podstaw z powrotem.</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)</strong> - zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu i własność potęgi:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy obu: w Sposobie 1 - definicji (skoro \\(\\log_5 5^{3/2} = \\frac{3}{2}\\)), w Sposobie 2 - wzoru na logarytm potęgi.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - zamiana pierwiastka na potęgę:<br>\\[\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\]<br>Użyliśmy do zapisu \\(\\sqrt{125} = 5^{\\frac{3}{2}}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Odwrócono wykładnik: wzięto \\(5^{\\frac{2}{3}}\\) zamiast \\(5^{\\frac{3}{2}}\\), czyli pomylono licznik z mianownikiem |<br>| B \\(2\\) | Policzono \\(\\log_5 25 = 2\\) - mylnie uproszczono \\(\\sqrt{125} \\approx 25\\) lub pominięto pierwiastek i wzięto \\(\\frac{125}{5^2} = 5\\) |<br>| C \\(3\\) | Zignorowano pierwiastek - policzono \\(\\log_5 125 = 3\\), zapominając o \\(\\sqrt{\\phantom{x}}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zignorowanie pierwiastka - uczniowie liczą \\(\\log_5 125 = 3\\) i wybierają C. Pierwiastek to też potęga!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zamianie \\(\\sqrt{a^m} = a^{m/n}\\) łatwo odwrócić ułamek. Pamiętaj: \\(\\sqrt{a^3} = a^{3/2}\\), NIE \\(a^{2/3}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź, czy podstawa logarytmu i argument są potęgami tej samej liczby - to klucz do szybkiego rachunku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zamiana \\(\\sqrt{125}\\) na potęgę</h5>\n<p>\\(\\sqrt{125} = 125^{1/2} = (5^3)^{1/2} = 5^{3/2}\\).<br>\\[\\log_5 5^{3/2} = \\dfrac{3}{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Własność \\(\\log_a \\sqrt{b} = \\tfrac{1}{2}\\log_a b\\)</h5>\n<p>\\(\\log_5\\sqrt{125} = \\tfrac{1}{2}\\log_5 125 = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)</strong> - odwrotność poprawnej odpowiedzi.</li><li><strong>B. \\(2\\)</strong> - \\(\\log_5 25\\).</li><li><strong>C. \\(3\\)</strong> - \\(\\log_5 125\\), bez pierwiastka.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sqrt{a^n} = a^{n/2}\\) zawsze.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie definicji logarytmu</h5>\n<p>Rozwiążmy to zadanie, korzystając z definicji logarytmu. Logarytm z liczby 125 do potęgi 5 jest równy 125. Innymi słowy:</p>\n<p>\\[ \\log_5 125 = x \\]</p>\n<p>Oznacza to, że \\(5^x = 125\\). Wiemy, że \\(125 = 5^3\\), więc:</p>\n<p>\\[ 5^x = 5^3 \\]</p>\n<p>Zatem, \\(x = 3\\).</p>\n<p>📖 Karta wzorów: logarytmy, strona 13</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm z potęgi</h5>\n<p>Możemy również wykorzystać wzór na logarytm z potęgi: \\[ \\log_a (b^r) = r \\log_a b \\]</p>\n<p>W naszym przypadku:</p>\n<p>\\[ \\log_5 125 = \\log_5 (5^3) = 3 \\log_5 5 \\]</p>\n<p>Ponieważ \\( \\log_a a = 1 \\), to \\( \\log_5 5 = 1 \\). Zatem:</p>\n<p>\\[ 3 \\log_5 5 = 3 \\cdot 1 = 3 \\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 13</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu)</strong> - To jest nieprawidłowe, ponieważ nie daje nam rozwiązania.</li><li><strong>B. 2</strong> - To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(5^2 = 25 \\neq 125\\).</li><li><strong>C. 3</strong> - To jest prawidłowe, jak pokazano powyżej.</li><li><strong>D. (na zdjęciu)</strong> - To jest prawidłowe, ponieważ \\(5^3 = 125\\). Zatem, \\( \\log_5 125 = 3 \\).</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od przekształcenia wyrażenia. Mamy do obliczenia $\\\\log_5 \\\\sqrt{125}$. Warto zauważyć, że możemy zapisać pierwiastek jako potęgę: $$\\sqrt{125} = 125^{\\frac{1}{2}}.$$</li><li>Podstawiamy to do logarytmu: $$\\log_5 \\sqrt{125} = \\log_5 \\left(125^{\\frac{1}{2}}\\right).$$</li><li>Zgodnie z własnością logarytmów, możemy przenieść wykładnik przed logarytm: $$\\log_5 \\left(125^{\\frac{1}{2}}\\right) = \\frac{1}{2} \\log_5 125.$$</li><li>Teraz obliczymy wartość $\\log_5 125$. Zauważ, że $125$ można zapisać jako potęgę liczby $5$: $$125 = 5^3.$$</li><li>Zatem możemy zamienić $\\log_5 125$ na $\\log_5 (5^3)$. Używając kolejnej własności logarytmów, mamy: $$\\log_5 (5^3) = 3.$$</li><li>Podstawiamy tę wartość do wcześniejszego równania: $$\\frac{1}{2} \\log_5 125 = \\frac{1}{2} \\times 3.$$</li><li>Obliczamy: $$\\frac{1}{2} \\times 3 = \\frac{3}{2}.$$</li><li>Zatem ostatecznie otrzymujemy: $$\\log_5 \\sqrt{125} = \\frac{3}{2}.$$</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> D.</p>"}]}