Zadanie 31. (0-2)
Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
. Oblicz tangens kąta
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
α
MMA_1P
","answer_text_html":"Zadanie 31. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
między funkcjami trygonometrycznymi:
α
α
2
2
sin
cos
1,
α
α
α
= sin
cos
tg
, oraz
(
)
α
α
° -
sin 90
cos
(6.4).
A′
( )
(
)
36
11
36
25
1
1
′
A
P
A
P
5
6
5
z
1
6
1
6
5
6
5
6
1
6
5
z
5
z
Zasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przekształci równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
do postaci:
2tg
3
4
α +
lub 2sin
cos
α
α
lub 2sin
cos
0
α
α
lub 2 a
b
c
c
lub 2a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy tangens kąta α :
1
tg
2
α =
, ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody.
Uwagi
1.
Jeżeli zdający popełni błąd i zapisze
cos
tg
sin
α
α
α
, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za
całe rozwiązanie.
2.
Jeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru
a b
a
b
albo (
)
2
2
2
a
b
a
b
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do
końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci:
2sin
3cos
4
cos
cos
α
α
α
α
Stąd 2tg
3
4
α +
, czyli
1
tg
2
α =
II sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci:
2sin
3cos
4cos
α
α
α
Stąd 2sin
cos
α
α
, czyli
1
tg
2
α =
III sposób
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b,
długość przeciwprostokątnej c oraz zaznaczamy kąt ostryα taki, że sin
a
c
α =
lub cos
b
c
α =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Podane równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
zapisujemy w postaci
2
3
4
a
b
c
c
b
c
⋅
. Następnie
wykonujemy przekształcenia na lewej stronie tej równości i otrzymujemy 2
3
4
a
b
b
. Stąd wynika,
że 2
3
4
a
b
b
, czyli 2a
b
. Ostatnia równość oznacza, że
1
2
a
b =
. Zatem
1
tg
2
α =
IV sposób
Równanie 2sin
3cos
4
cos
α
α
α
przekształcamy równoważnie do postaci
2sin
3cos
4cos
α
α
α
Stąd wynika, że 2sin
cos
α
α
. Korzystamy z tożsamości
2
2
sin
cos
1
α
α
= i otrzymujemy
równanie
(
)
2
2
sin
2sin
1
α
α
= . Stąd
2
1
sin
5
α =
. Ponieważ α jest kątem ostrym, więc
1
sin
5
α =
Ale cos
2sin
α
α
, więc
2
cos
5
α =
. Ostatecznie
1
sin
1
5
tg
2
cos
2
5
α
α
α
Od czego zaczynamy: mamy ułamek z \\(\\cos\\alpha\\) w mianowniku - podzielmy licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.
\n\\[\\frac{2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]
\nDzielimy każdy składnik licznika przez \\(\\cos\\alpha\\) (kąt jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\)):
\n\\[\\frac{2\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]
\n\\[2 \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 3 = 4\\]
\nKorzystamy z definicji tangensa: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):
\n\\[2\\operatorname{tg}\\alpha + 3 = 4\\]
\n\\[2\\operatorname{tg}\\alpha = 1\\]
\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{2}}\\]
\nSprawdzenie sensowności: kąt jest ostry, więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\) - zgadza się!
\nAlternatywnie: skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), możemy wyrazić \\(\\sin\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\).
\nNiech \\(t = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = t\\cos\\alpha\\) do oryginalnego równania:
\n\\[\\frac{2 \\cdot t\\cos\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]
\nWyłączamy \\(\\cos\\alpha\\) z licznika:
\n\\[\\frac{\\cos\\alpha(2t + 3)}{\\cos\\alpha} = 4\\]
\n\\[2t + 3 = 4\\]
\n\\[t = \\frac{1}{2}\\]
\nOtrzymujemy ten sam wynik: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\).
\nDział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Kluczowy krok: rozpoznanie, że \\(\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) to dokładnie tangens. Bez tej zamiany zadanie stałoby się znacznie trudniejsze.
⚠️ Uwaga: Nie wolno dzielić przez \\(\\cos\\alpha\\), nie sprawdzając, czy \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\). Tu kąt jest ostry (więc \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), więc \\(\\cos\\alpha > 0\\) - dzielenie jest w pełni uzasadnione.\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to próba obliczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno (np. z jedynki trygonometrycznej). To niepotrzebna robota - wystarczy wyłuskać tangens, nie trzeba znać wartości funkcji z osobna.\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\) jest dokładna - nie zaokrąglamy, nie przeliczamy na stopnie. Zadanie pyta o tangens, więc ułamek \\(\\dfrac{1}{2}\\) to pełna poprawna odpowiedź.\n
Odpowiedź: \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\)
\n\\[\\dfrac{2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\cdot\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 3 = 2\\tan\\alpha + 3 = 4.\\]
Stąd:
\\[2\\tan\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tan\\alpha = \\dfrac{1}{2}.\\]
Niech \\(t = \\tan\\alpha\\). Wtedy \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{t}{\\sqrt{1+t^2}}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt{1+t^2}}\\). Dzieląc licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\), otrzymamy \\(2t + 3 = 4\\), stąd \\(t = \\tfrac{1}{2}\\).
\nOdpowiedź: \\(\\tan\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"$$\\frac{2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4.$$
\n$$2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha = 4\\cos\\alpha.$$
\n$$2\\sin\\alpha = 4\\cos\\alpha - 3\\cos\\alpha.$$
\n$$2\\sin\\alpha = (4 - 3)\\cos\\alpha,$$
\nco daje:
\n$$2\\sin\\alpha = 1\\cos\\alpha.$$
\n$$\\frac{2\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 1.$$
\n$$2 \\tan \\alpha = 1.$$
\n$$\\tan \\alpha = \\frac{1}{2}.$$
\nOdpowiedź: \\(\\tan \\alpha = \\frac{1}{2}.\\)
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\dfrac{1}{2}$
"}]}