Zadanie 32. (0-4)
Dany jest kwadrat ABCD, w którym
5
5,
3
A
. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta
w prostej o równaniu
4
3
y
x
. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz
pole kwadratu ABCD.
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Punkty A=(1,-1), B=(6,1), C=(7,5) i D=(2,4) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Zadanie 32. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub
prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej
i przechodzi przez dany punkt (8.3). Zdający oblicza
współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4).
Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka
(8.5).
Zasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
wyznaczy równanie prostej AC:
3
25
4
12
y
x
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5
albo
a
c
b
zapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu
4
3
y
x
, np.
(
)
, 4
3
P
x
x
i wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej
zmiennej x :
(
)
(
)
2
2
5
5
4
3
3
AP
x
x
albo
wyznaczy równania prostych AB i AD:
(
)
5
5
1
7
3
y
x
oraz
(
)
7
5
5
3
y
x
,
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
wyznaczy równanie prostej AC:
3
25
4
12
y
x
i obliczy współrzędne punktu
przecięcia przekątnych kwadratu:
(
)
4
3
1,
O
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50
albo
obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie
(
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x =
albo
wyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:
(
)
5
5
1
7
3
y
x
,
(
)
7
5
5
3
y
x
,
8
2,
3
B
,
16
4, 3
D
=
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
O
=
i długość
przekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10
albo
obliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie (
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x = i obliczy współrzędne
punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
O
=
albo
obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:
1
x = i długość przekątnej
kwadratu: 10
albo
Zasady oceniania rozwiązań zadań
obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:
4
1, 3
O
=
i długość
boku kwadratu: 50
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych
kwadratu:
4
1, 3
=
O
Uwagi
i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie
co najwyżej 3 punkty.
a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
b) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do
wzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka,
przy obliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „
a
b
a
b
”, to zdający
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
w których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne
punktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Prosta AC jest prostopadła do prostej o równaniu
4
3
y
x
, więc współczynnik kierunkowy prostej
AC jest równy
3
4
AC
a
. Prosta AC przechodzi przez punkt
(
)
5,
5
3
A =
, więc jej równanie ma
postać
(
)
5
3
3
4
5
y
x
,
3
25
4
12
y
x
Obliczamy współrzędne punktu O przecięcia się prostych AC i BD, rozwiązując układ równań
4
3
3
25
4
12
y
x
y
x
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb
1
x = i
4
3
y =
. Stąd
(
)
4
3
1,
O=
Punkt O jest środkiem przekątnej AC, więc
(
)
2
2
4
5
2
2
1 5
3
3
AC
AO
(
)
2
2
9
2
2
4
2 16
9
2 5
10
3
AC
AO
⋅
Przekątna kwadratu ma długość
, gdzie a jest długością boku kwadratu.
Stąd
2
10
a
, czyli
5 2
a =
Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
(
)
2
2
5 2
50
a =
Uwaga
Pole kwadratu ABCD możemy obliczyć, wykorzystując długość przekątnej kwadratu (lub jej
połowy). Wtedy
2
2
10
50
1
1
2
2
⋅
⋅
ABCD
P
AC
II sposób
Długość przekątnej kwadratu ABCD (lub jej połowy) możemy obliczyć, korzystając ze wzoru
na odległość d punktu A od danej prostej. Wtedy
( )
(
)
2
2
5
4
25
3
3
3
5
4
3
3
5
1
5
d
⋅+
Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
2
2
2
2 5
50
ABCD
P
d
⋅
⋅
Punkt
(
)
,
o
o
O
x
y
leży na prostej o równaniu
4
3
y
x
, więc
(
)
4
3
,
o
o
O
x
x
, a skoro odległość
d jest równa 5, to
2
25
AO
, czyli
(
)
(
)
2
2
5
4
3
3
5
25
o
o
x
x
,
2
2
16
40
25
9
9
9
10
25
25
0
o
o
o
o
x
x
x
x
,
2
25
50
25
9
9
9
0
o
o
x
x
,
2
2
1
0
o
o
x
x
,
(
)2
1
0
o
x -
,
Stąd
1
o
x =
, więc
(
) (
)
4
4
3
3
1,
1
1,
O =
⋅
III sposób (odległość jako funkcja jednej zmiennej)
Niech punkt
4
, 3
=
P
x
x będzie dowolnym punktem leżącym na prostej o równaniu
4
3
y
x
Zapiszemy odległość punktu P od danego punktu
5
5,
3
A
jako funkcję jednej zmiennej.
Obliczamy kolejno:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
5
16
40
25
25
5
10
25
2
10
3
3
9
9
9
9
AP
x
x
x
x
x
x
x
x
Zatem
(
)2
5
( )
1
9
3
AP x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x.
2
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zauważamy, że trójmian kwadratowy
(
)2
1
9
y
x
przyjmuje najmniejszą wartość dla
1
x = .
Ponieważ funkcja f określona wzorem
( )
f t
t
jest rosnąca, więc dla
1
x = także i odległość
AP jest najmniejsza. Oznacza to, że odcinek AP, którego długość jest równa 5, jest zawarty
w przekątnej AC kwadratu ABCD. Zatem przekątna tego kwadratu ma długość 10 oraz pole tego
kwadratu jest równe
2
1 10
50
2 ⋅
. Ponadto jeśli
1
x = , to punkt P ma współrzędne
4
1, 3
i jest
szukanym punktem przecięcia przekątnych AC i BD kwadratu ABCD.
IV sposób (kąt między prostymi)
Każda z prostych AB i AD zawierających boki kwadratu ABCD tworzą z prostą BD
o równaniu
4
3
y
x , kąt 45°. Każda z nich przechodzi przez punkt
(
)
5
3
5,
A
, więc ma
równanie postaci
(
)
5
3
5
y
a x
Ze wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy:
4
3
4
3
tg45
1
1
a
a
° =
⋅
,
4
4
3
3
1
a
a
,
4
4
3
3
1
a
a
lub
4
4
3
3
1
a
a
,
7
1
3
3 a
lub
7
1
3
3 a
,
1
7
a =
lub
7
a = -
Zatem równania prostych AB i AD mają postać
(
)
5
1
7
3
5
y
x
oraz
(
)
5
3
7
5
y
x
,
50
1
7
21
y
x
oraz
100
3
7
y
x
Obliczamy współrzędne wierzchołków B i D, rozwiązując układy równań
4
3
50
1
7
21
y
x
y
x
oraz
4
3
100
3
7
y
x
y
x
Stąd otrzymujemy równania
4
3
50
1
7
21
x
x
oraz 4
3
100
3
7
x
x
,
2
x = - oraz
4
x =
Zatem
(
)
8
3
2,
B
oraz
(
)
16
3
4,
D
Punkt O przecięcia przekątnych kwadratu ma zatem współrzędne
(
)
8
16
3
3
4
3
2 4,
1,
2
2
O
Pole kwadratu ABCD jest równe
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
7
1
50
8
5
3
3
ABCD
P
AB
Punkt przecięcia przekątnych: \\(S = \\left(1,\\, \\dfrac{4}{3}\\right)\\), pole kwadratu: \\(P = 50\\).
\nCo wiemy na starcie:
\nKrok 1: Wyznacz prostą zawierającą przekątną \\(AC\\).
\nProsta \\(BD\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = \\dfrac{4}{3}\\).
\nPrzekątna \\(AC \\perp BD\\), więc jej współczynnik kierunkowy:
\\[a_2 = -\\frac{1}{a_1} = -\\frac{3}{4}\\]
Prosta \\(AC\\) przechodzi przez \\(A = \\left(5, -\\dfrac{5}{3}\\right)\\):
\\[y - \\left(-\\frac{5}{3}\\right) = -\\frac{3}{4}(x - 5)\\]
\\[y = -\\frac{3}{4}x + \\frac{15}{4} - \\frac{5}{3}\\]
\\[y = -\\frac{3}{4}x + \\frac{45}{12} - \\frac{20}{12} = -\\frac{3}{4}x + \\frac{25}{12}\\]
Krok 2: Wyznacz punkt przecięcia przekątnych \\(S\\).
\nRozwiązujemy układ:
\\[\\begin{cases} y = \\dfrac{4}{3}x \\\\[4pt] y = -\\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{25}{12} \\end{cases}\\]
\\[\\frac{4}{3}x = -\\frac{3}{4}x + \\frac{25}{12}\\]
\\[\\frac{16}{12}x + \\frac{9}{12}x = \\frac{25}{12}\\]
\\[\\frac{25}{12}x = \\frac{25}{12}\\]
\\[\\boxed{x = 1}\\]
\\[y = \\frac{4}{3} \\cdot 1 = \\frac{4}{3}\\]
\nPunkt przecięcia przekątnych: \\(\\boldsymbol{S = \\left(1,\\, \\dfrac{4}{3}\\right)}\\)
\nKrok 3: Oblicz długość połowy przekątnej \\(|AS|\\).
\n\\[|AS| = \\sqrt{(5-1)^2 + \\left(-\\frac{5}{3} - \\frac{4}{3}\\right)^2} = \\sqrt{16 + \\left(-\\frac{9}{3}\\right)^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]
\nPełna przekątna: \\(d = 2 \\cdot |AS| = 10\\).
\nKrok 4: Oblicz pole kwadratu.
\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^2}{2}\\):
\\[\\boxed{P = \\frac{10^2}{2} = \\frac{100}{2} = 50}\\]
Skoro \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych, wyznaczymy wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\), a potem sprawdzimy bok kwadratu.
\nWyznacz \\(B\\) i \\(D\\) leżące na \\(y = \\dfrac{4}{3}x\\), symetryczne względem \\(S=(1, \\frac{4}{3})\\):
\nKierunek prostej \\(BD\\): wektor \\(\\left(\\frac{3}{5},\\, \\frac{4}{5}\\right)\\) (znormalizowany z kierunku \\((3, 4)\\), bo \\(|(3,4)|=5\\)).
\nKażdy wierzchołek leży w odległości \\(|AS| = 5\\) od \\(S\\):
\\[B = \\left(1 + 5 \\cdot \\frac{3}{5},\\; \\frac{4}{3} + 5 \\cdot \\frac{4}{5}\\right) = \\left(4,\\; \\frac{16}{3}\\right)\\]
\\[D = \\left(1 - 3,\\; \\frac{4}{3} - 4\\right) = \\left(-2,\\; -\\frac{8}{3}\\right)\\]
Oblicz długość boku \\(|AB|\\):
\\[\\vec{AB} = (4-5,\\; \\tfrac{16}{3} - (-\\tfrac{5}{3})) = (-1,\\; 7)\\]
\\[|AB| = \\sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50}\\]
Pole kwadratu:
\\[P = |AB|^2 = 50 \\checkmark\\]
Weryfikacja prostopadłości boków:
\\[\\vec{BC} = (-3 - 4,\\; \\tfrac{13}{3} - \\tfrac{16}{3}) = (-7, -1)\\]
\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{BC} = (-1)(-7) + (7)(-1) = 7 - 7 = 0 \\checkmark\\]
Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu kierunku przekątnej \\(AC\\) prostopadłej do \\(BD\\).
\\[|AS| = \\sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia połowy przekątnej.
\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]
Użyliśmy do wyznaczenia równania prostej \\(AC\\).
⚠️ Uwaga: Warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) dla prostych prostopadłych - pamiętaj, że dotyczy wyłącznie prostych niepoziomych i niepionowych. Tu prosta \\(BD\\) ma slope \\(\\frac{4}{3} \\neq 0\\), więc wzór działa.\n
⚠️ Uwaga: Pole kwadratu przez przekątną to \\(P = \\dfrac{d^2}{2}\\) - łatwo pomylić z prostokątem (\\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\)), ale w kwadracie \\(d_1 = d_2 = d\\).\n
⚠️ Uwaga: Obliczając \\(|AS|\\), uważaj na arytmetykę z ułamkami: \\(-\\dfrac{5}{3} - \\dfrac{4}{3} = -\\dfrac{9}{3} = -3\\), a nie \\(-\\dfrac{9}{6}\\). Warto sprowadzić do wspólnego mianownika przed odejmowaniem.\n
Odpowiedź: \\(S = \\left(1, \\dfrac{4}{3}\\right)\\); pole \\(= 50\\)
\nKrok 1 - prosta \\(AC\\). Przekątne kwadratu są prostopadłe. Współczynnik \\(BD\\) = \\(\\tfrac{4}{3}\\), więc \\(AC\\) ma współczynnik \\(-\\tfrac{3}{4}\\).
Prosta \\(AC\\) przechodzi przez \\(A = (5, -\\tfrac{5}{3})\\):
\\[y + \\tfrac{5}{3} = -\\tfrac{3}{4}(x - 5)\\]
\\[y = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{15}{4} - \\tfrac{5}{3} = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{45-20}{12} = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{12}.\\]
Krok 2 - punkt \\(S\\) (przecięcie \\(AC\\) i \\(BD\\)):
\\[\\tfrac{4}{3}x = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{12}\\]
Mnożymy przez 12:
\\[16x = -9x + 25 \\Rightarrow 25x = 25 \\Rightarrow x = 1.\\]
\\(y = \\tfrac{4}{3}\\cdot 1 = \\tfrac{4}{3}\\). Zatem \\(S = \\left(1, \\tfrac{4}{3}\\right)\\).
Krok 3 - pole kwadratu.
\\(|AS|^2 = (5-1)^2 + \\left(-\\tfrac{5}{3}-\\tfrac{4}{3}\\right)^2 = 16 + 9 = 25\\), \\(|AS| = 5\\).
Przekątna \\(|AC| = 2|AS| = 10\\).
Pole kwadratu = \\(\\tfrac{d^2}{2} = \\tfrac{100}{2} = 50\\).
Środek kwadratu (przecięcie przekątnych) to środek odcinka \\(AC\\). Długość \\(|AS|\\) - połowa przekątnej. Pole = \\(2|AS|^2\\):
\\[P = 2\\cdot 25 = 50.\\]
Odpowiedź: \\(S = (1, \\tfrac{4}{3})\\), pole \\(= 50\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"50
"}]}