Zadanie 33. (0-4)
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (
)
na
, określonego dla
1
n ≥, są dodatnie. Wyrazy tego
ciągu spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału
2 2, 3 2 .
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Dane są liczby a=3log_2 27 i b=(√6-√7)(3√6+3√7). Wartością a-b jest liczba całkowitą. Oblicz tę liczbę.
Zadanie 33. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze
oraz
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość
1
2
3
6
5
0
a
a
a
w postaci
2
1
1
1
6
5
0
a
a
q
a
q
⋅
⋅
lub
(
)
2
1
5
6
0
a
q
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
2
5
6
0
q
q
:
2
q =
lub
3
q =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego
należący do przedziału 2 2, 3 2 :
3
q =
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający przy oznaczeniach
wykorzysta własność ciągu geometrycznego
i zapisze równość
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość
i z równości 6
5
0
a
b
c
wyznaczy jedną niewiadomą
w zależności od dwóch pozostałych, np.:
5
6
c
b
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
2
2
5
6
0
b
ab
a
z niewiadomą, np. b:
2
1
a
a q
⋅
2
3
1
a
a
q
⋅
(
)
n
a
1
2
3
,
,
a
a a
b a
c
2
b
ac
2
b
ac
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1
2
b
a
lub
2
3
b
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający poda iloraz q ciągu geometrycznego
:
3
q =
Uwagi do I i II sposobu oceniania
2
1
1
1
6
5
0
⋅+
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu
konkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu na
iloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje
4 punkty.
rozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 3 punkty.
2
1
1
1
6
5
0
⋅+
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu
konkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q
oraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia
bądź nie tych rozwiązań do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
2
1
1
1
6
5
0
⋅+
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz
ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda
3
q =
i zapisze, że ten iloraz należy do
przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
2
1
1
1
6
5
0
⋅+
a
a q
a q
i przyjmie jako pierwszy wyraz
ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda
2
q
i zapisze, że ten iloraz nie należy
do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.
\n3
q =
, np. (
)
1,3,9,
oraz
sprawdzi,
że
pierwszy,
drugi
i
trzeci
wyraz
tego
ciągu
spełniają
warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na
tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
2
q
,
np. (1,2,4, ) , drugi o ilorazie
3
q =
, np.(
)
1,3,9, oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci
wyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że
iloraz
2
q
nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , a iloraz
3
q =
należy do przedziału
2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
3
q =
i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na
tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
(
)
na
3
q =
oraz sprawdzi,
że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
3
q =
, np. (
)
1,3,9,
oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i na tym zakończy, to otrzymuje 1punkt.
2
q
, np. (
)
1,2,4,
oraz
sprawdzi,
że
pierwszy,
drugi
i
trzeci
wyraz
tego
ciągu
spełniają
warunek
1
2
3
6
5
0
a
a
a
i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2
i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
2
q
i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2
i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
\n3
q =
i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punków.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczamy przez q iloraz ciągu
. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu
geometrycznego i zapisujemy równość
2
1
1
1
6
5
0
a
a q
a q
⋅+
⋅
,
Wyłączamy wspólny czynnik
1a poza nawias (
)
2
1 6 5
0
a
q
q
-⋅+
Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc
1
0
a ≠
. Korzystamy z własności iloczynu równego
zero i otrzymujemy równanie
2
5
6
0
q
q
To równanie ma dwa rozwiązania
2
q =
lub
3
q =
. Ponieważ
2 2, 3 2
q∈
, więc
3
q =
II sposób
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego
oraz niech
Zatem równość
1
2
3
6
5
0
a
a
a
zapisujemy w postaci: 6
5
0
a
b
c
Stąd
5
6
c
b
a
. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (
)
, ,
a b c są dodatnie, więc ciąg ten jest
geometryczny, gdy spełniona jest równość
Podstawiamy do równania
za c i otrzymujemy:
(
)
2
5
6
b
a
b
a
,
2
2
5
6
0
b
ab
a
(
)
na
(
)
na
1
2
3
,
,
a
a a
b a
c
2
b
ac
2
b
ac
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązujemy to równanie przyjmując za niewiadomą, np. b.
Wtedy
2
a
Δ =
,
a
Δ =
, ponieważ
0
a >
Zatem rozwiązaniami równania są
1
5
2
2
a
a
b
a
lub
2
5
3
2
a
a
b
a
Obliczamy iloraz q ciągu
:
2
2
b
a
q
a
a
lub
3
3
b
a
q
a
a
Ponieważ
2 2, 3 2
q∈
, więc iloraz ciągu
jest równy:
3
q =
Od czego zaczynamy: W ciągu geometrycznym każdy wyraz to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), więc:
\\[a_1 = a_1, \\quad a_2 = a_1 q, \\quad a_3 = a_1 q^2\\]
Podstawiamy do warunku \\(6a_1 - 5a_2 + a_3 = 0\\):
\\[6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0\\]
Wyłączamy \\(a_1\\) przed nawias. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, mamy \\(a_1 > 0\\), więc możemy podzielić obie strony przez \\(a_1\\):
\\[q^2 - 5q + 6 = 0\\]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe - szukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(6\\), a suma to \\(5\\):
\\[\\Delta = 25 - 24 = 1\\]
\\[q_1 = \\frac{5 - 1}{2} = 2, \\qquad q_2 = \\frac{5 + 1}{2} = 3\\]
Sprawdzamy, który iloraz leży w przedziale \\(\\langle 2\\sqrt{2},\\, 3\\sqrt{2}\\rangle\\):
\\[2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83, \\qquad 3\\sqrt{2} \\approx 4{,}24\\]
Odpowiedź: \\[\\boxed{q = 3}\\]
\nSprawdzamy, że \\(q = 3\\) rzeczywiście spełnia warunek zadania. Przyjmijmy dla przykładu \\(a_1 = 1\\), czyli:
\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 3, \\quad a_3 = 9\\]
Podstawiamy do \\(6a_1 - 5a_2 + a_3\\):
\\[6 \\cdot 1 - 5 \\cdot 3 + 9 = 6 - 15 + 9 = 0 \\checkmark\\]
Dla \\(q = 2\\) sprawdzamy analogicznie (\\(a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4\\)):
\\[6 \\cdot 1 - 5 \\cdot 2 + 4 = 6 - 10 + 4 = 0 \\checkmark\\]
Oba spełniają warunek algebraiczny, ale tylko \\(q = 3\\) spełnia dodatkowy warunek z treści (przynależność do podanego przedziału).
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go, aby wyrazić \\(a_2\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło sprowadzić warunek do równania kwadratowego.
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad q_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy przy rozwiązywaniu równania \\(q^2 - 5q + 6 = 0\\).
⚠️ Uwaga: Zadanie daje dwa matematycznie poprawne ilorazy (\\(q = 2\\) i \\(q = 3\\)). Pominięcie warunku o przedziale i podanie tylko jednego rozwiązania to błąd - koniecznie sprawdź oba!\n
⚠️ Uwaga: Dzielenie przez \\(a_1\\) jest dozwolone tylko dlatego, że treść gwarantuje, że wszystkie wyrazy są dodatnie (więc \\(a_1 \\neq 0\\)). Gdyby tego nie było, musiałbyś rozważyć przypadek \\(a_1 = 0\\) osobno.\n
⚠️ Uwaga: \\(2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83\\), a nie \\(2\\). Łatwo przeoczyć, że \\(q = 2\\) nie należy do przedziału \\(\\langle 2\\sqrt{2}, 3\\sqrt{2}\\rangle\\) - warto zawsze obliczyć przybliżoną wartość granic przedziału!\n
Odpowiedź: \\(q = 3\\)
\n\\(a_2 = a_1 q\\), \\(a_3 = a_1 q^2\\). Podstawiamy:
\\[6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0\\]
\\[a_1(6 - 5q + q^2) = 0.\\]
Ponieważ \\(a_1 > 0\\):
\\[q^2 - 5q + 6 = 0.\\]
Delta i pierwiastki:
\\(\\Delta = 25-24 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1\\).
\\[q_{1,2} = \\dfrac{5\\pm 1}{2}, \\quad q_1 = 3, q_2 = 2.\\]
Sprawdzenie przedziału \\(\\langle 2\\sqrt{2}, 3\\sqrt{2}\\rangle\\):
\\(2\\sqrt{2}\\approx 2{,}83\\); \\(3\\sqrt{2}\\approx 4{,}24\\).
Dla \\(q = 3\\): ciąg np. \\(1, 3, 9\\). Sprawdzamy: \\(6\\cdot 1 - 5\\cdot 3 + 9 = 6 - 15 + 9 = 0\\) ✓.
\nOdpowiedź: \\(q = 3\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$3$
"}]}