{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową\ncenę y należy podnieść o\nA. 25%\nB. 20%\nC. 15%\nD. 12%","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający\nwykonuje obliczenia procentowe,\noblicza podatki, zysk z lokat (1.9).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(25\\%\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby\n\nWybieramy wygodną cenę startową, np. \\(x = 100\\) zł.\n\n**Krok 1: Oblicz cenę \\(y\\) po obniżce o \\(20\\%\\)**\n\n\\[y = x \\cdot (1 - 0{,}20) = 100 \\cdot 0{,}80 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Ile procent \\(p\\) musimy podnieść \\(y\\), żeby wrócić do \\(x = 100\\)?**\n\nSzukamy \\(p\\) takiego, że:\n\\[y \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = x\\]\n\\[80 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = 100\\]\n\\[1 + \\frac{p}{100} = \\frac{100}{80} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\]\n\\[\\frac{p}{100} = 0{,}25\\]\n\\[\\mathbf{p = 25\\%}\\]\n\n**Odpowiedź: A - nową cenę \\(y\\) należy podnieść o \\(25\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - wzór ogólny (algebra)\n\n**Krok 1: Wyraź \\(y\\) przez \\(x\\)**\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza:\n\\[y = x \\cdot 0{,}8\\]\n\n**Krok 2: Wyraź \\(x\\) przez \\(y\\)**\n\n\\[x = \\frac{y}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{1}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{5}{4}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz o ile procent \\(y\\) wzrosło do \\(x\\)**\n\n\\[x = y \\cdot \\frac{5}{4} = y \\cdot 1{,}25\\]\n\nMnożnik \\(1{,}25\\) odpowiada wzrostowi o \\(0{,}25 = \\mathbf{25\\%}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach. Schemat procentowy to:\n\n\\[\\text{nowa wartość} = \\text{stara wartość} \\cdot \\left(1 \\pm \\frac{p}{100}\\right)\\]\n\nJest to elementarna własność obliczania procentów, niepotrzebująca odwołania do żadnego działu karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(20\\%\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń myśli: „obniżono o \\(20\\%\\), to i podwyżka to \\(20\\%\\)\". To nieprawda - procent liczymy od **innej** podstawy: obniżkę od \\(x\\), a podwyżkę od \\(y < x\\). |\n| C - \\(15\\%\\) | Brak związku z zadaniem - typowy wynik błędnego „uśredniania\" lub zgadywania. |\n| D - \\(12\\%\\) | Podobnie - błędna intuicja, czasem wynik błędnego działania \\(20\\% - 20\\% \\cdot 20\\% = 16\\%\\) albo innego przekształcenia. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(20\\%\\) to **NIE są działania odwrotne**! Obniżamy od ceny \\(x\\), a podwyższamy od niższej ceny \\(y\\) - inne podstawy, inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(25\\%\\) to mnożenie przez \\(\\frac{5}{4}\\), bo \\(\\frac{1}{0{,}8} = \\frac{10}{8} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Warto zapamiętać: **obniżka o \\(20\\%\\) ↔ podwyżka o \\(25\\%\\)** to klasyczna para maturalna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy zadanie jest ogólne (nie podaje konkretnych liczb), zawsze możesz **podstawić wygodną liczbę** (np. \\(100\\)) - to nie błąd, to sprytna strategia!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ułamki\n\\(y = 0{,}8x\\). Aby z \\(y\\) wrócić do \\(x\\), mnożymy przez współczynnik \\(k\\):\n\\[y\\cdot k = x \\Rightarrow 0{,}8x\\cdot k = x \\Rightarrow k = \\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25.\\]\nZwiększenie o \\(25\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Liczba konkretna\nNiech \\(x = 100\\). Po obniżce: \\(y = 80\\). Podwyżka o \\(25\\%\\) z \\(80\\): \\(80 + 20 = 100 = x\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(20\\%\\)** - klasyczna pułapka: podwyżka \\(20\\%\\) z \\(80\\) daje \\(96 \\ne 100\\).\n- **C, D** - wartości mniejsze, jeszcze bardziej niewystarczające.\n\n**Zasada:** obniżka i podwyżka o ten sam procent **nie są** symetryczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie procentów i równania\nTen sposób polega na zrozumieniu, że obniżka ceny o 20% oznacza, że cena y stanowi 80% ceny początkowej x. Aby wrócić do ceny x, musimy podnieść cenę y o procent, który przywróci oryginalną wartość.\n\nKroki:\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Obniżka o 20% daje cenę y, co oznacza, że y = x - 0.20x = 0.80x.\n2. **Przekształcenie równania:** Chcemy znaleźć procent, który należy dodać do y, aby otrzymać x. Oznaczmy ten procent jako p. Wtedy: y + p*y = x\n3. **Rozwiązanie równania:** y(1 + p) = x => 1 + p = x/y => p = x/y - 1\n4. **Podstawienie wartości:** x/y - 1 = x/y - 1 = 1 - 1/y = 1 - 0.8 = 0.2 = 20%\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie użyty bezpośrednio, ale koncepcja proporcjonalności jest kluczowa)\n\n### Sposób 2: Użycie proporcji\nTen sposób opiera się na bezpośrednim zastosowaniu proporcji.\n\nKroki:\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** Obniżka o 20% daje cenę y. Oznacza to, że 100% (cena x) odpowiada 100%. Cena y odpowiada 80% ceny x. Aby wrócić do ceny x, musimy znaleźć procent, który, dodany do ceny y, da cenę x.\n2. **Ustawienie proporcji:** \\[\\frac{y}{x} = \\frac{80}{100}\\]\n3. **Rozwiązanie proporcji:** y * 100 = 80 * x => y = (80/100) * x = 0.8x\n4. **Obliczenie procentu do podniesienia:** Aby podnieść y do x, musimy znaleźć p taki, że y * (1 + p) = x. Zatem (0.8x) * (1 + p) = x. Dzielimy obie strony przez x: 0.8 * (1 + p) = 1 => 1 + p = 1 / 0.8 = 1.25 => p = 1.25 - 1 = 0.25 = 25%\n\n📖 Karta wzorów: s.10: Ciągi, Procent składany, strona 10 (użyto koncepcji procentu składanego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 20%:** Jeśli podnieść y o 20%, to otrzymamy 1.2y, co nie jest równe x.\n* **C. 15%:** Podniesienie y o 15% da 1.15y, co również nie jest równe x.\n* **D. 12%:** Podniesienie y o 12% da 1.12y, co nie jest równe x.\n\nPodsumowując, obniżka o 20% to zmniejszenie ceny o 20%, a podniesienie o 25% to przywrócenie ceny do pierwotnego poziomu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową<br>cenę y należy podnieść o<br>A. 25%<br>B. 20%<br>C. 15%<br>D. 12%</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający</li></ol>\n<p>wykonuje obliczenia procentowe,<br>oblicza podatki, zysk z lokat (1.9).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(25\\%\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby</h4>\n<p>Wybieramy wygodną cenę startową, np. \\(x = 100\\) zł.</p>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz cenę \\(y\\) po obniżce o \\(20\\%\\)</strong></p>\n<p>\\[y = x \\cdot (1 - 0{,}20) = 100 \\cdot 0{,}80 = 80 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Ile procent \\(p\\) musimy podnieść \\(y\\), żeby wrócić do \\(x = 100\\)?</strong></p>\n<p>Szukamy \\(p\\) takiego, że:<br>\\[y \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = x\\]<br>\\[80 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = 100\\]<br>\\[1 + \\frac{p}{100} = \\frac{100}{80} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\]<br>\\[\\frac{p}{100} = 0{,}25\\]<br>\\[\\mathbf{p = 25\\%}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: A - nową cenę \\(y\\) należy podnieść o \\(25\\%\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wzór ogólny (algebra)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyraź \\(y\\) przez \\(x\\)</strong></p>\n<p>Obniżka o \\(20\\%\\) oznacza:<br>\\[y = x \\cdot 0{,}8\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyraź \\(x\\) przez \\(y\\)</strong></p>\n<p>\\[x = \\frac{y}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{1}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{5}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz o ile procent \\(y\\) wzrosło do \\(x\\)</strong></p>\n<p>\\[x = y \\cdot \\frac{5}{4} = y \\cdot 1{,}25\\]</p>\n<p>Mnożnik \\(1{,}25\\) odpowiada wzrostowi o \\(0{,}25 = \\mathbf{25\\%}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach. Schemat procentowy to:</p>\n<p>\\[\\text{nowa wartość} = \\text{stara wartość} \\cdot \\left(1 \\pm \\frac{p}{100}\\right)\\]</p>\n<p>Jest to elementarna własność obliczania procentów, niepotrzebująca odwołania do żadnego działu karty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(20\\%\\) | <strong>Najczęstszy błąd!</strong> Uczeń myśli: „obniżono o \\(20\\%\\), to i podwyżka to \\(20\\%\\)&quot;. To nieprawda - procent liczymy od <strong>innej</strong> podstawy: obniżkę od \\(x\\), a podwyżkę od \\(y &lt; x\\). |<br>| C - \\(15\\%\\) | Brak związku z zadaniem - typowy wynik błędnego „uśredniania&quot; lub zgadywania. |<br>| D - \\(12\\%\\) | Podobnie - błędna intuicja, czasem wynik błędnego działania \\(20\\% - 20\\% \\cdot 20\\% = 16\\%\\) albo innego przekształcenia. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(20\\%\\) to <strong>NIE są działania odwrotne</strong>! Obniżamy od ceny \\(x\\), a podwyższamy od niższej ceny \\(y\\) - inne podstawy, inny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzrost o \\(25\\%\\) to mnożenie przez \\(\\frac{5}{4}\\), bo \\(\\frac{1}{0{,}8} = \\frac{10}{8} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Warto zapamiętać: <strong>obniżka o \\(20\\%\\) ↔ podwyżka o \\(25\\%\\)</strong> to klasyczna para maturalna.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy zadanie jest ogólne (nie podaje konkretnych liczb), zawsze możesz <strong>podstawić wygodną liczbę</strong> (np. \\(100\\)) - to nie błąd, to sprytna strategia!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Ułamki</h5>\n<p>\\(y = 0{,}8x\\). Aby z \\(y\\) wrócić do \\(x\\), mnożymy przez współczynnik \\(k\\):<br>\\[y\\cdot k = x \\Rightarrow 0{,}8x\\cdot k = x \\Rightarrow k = \\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25.\\]<br>Zwiększenie o \\(25\\%\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Liczba konkretna</h5>\n<p>Niech \\(x = 100\\). Po obniżce: \\(y = 80\\). Podwyżka o \\(25\\%\\) z \\(80\\): \\(80 + 20 = 100 = x\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(20\\%\\)</strong> - klasyczna pułapka: podwyżka \\(20\\%\\) z \\(80\\) daje \\(96 \\ne 100\\).</li><li><strong>C, D</strong> - wartości mniejsze, jeszcze bardziej niewystarczające.</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> obniżka i podwyżka o ten sam procent <strong>nie są</strong> symetryczne.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie procentów i równania</h5>\n<p>Ten sposób polega na zrozumieniu, że obniżka ceny o 20% oznacza, że cena y stanowi 80% ceny początkowej x. Aby wrócić do ceny x, musimy podnieść cenę y o procent, który przywróci oryginalną wartość.</p>\n<p>Kroki:</p>\n<ol><li><strong>Zrozumienie relacji:</strong> Obniżka o 20% daje cenę y, co oznacza, że y = x - 0.20x = 0.80x.</li><li><strong>Przekształcenie równania:</strong> Chcemy znaleźć procent, który należy dodać do y, aby otrzymać x. Oznaczmy ten procent jako p. Wtedy: y + p*y = x</li><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong> y(1 + p) = x =&gt; 1 + p = x/y =&gt; p = x/y - 1</li><li><strong>Podstawienie wartości:</strong> x/y - 1 = x/y - 1 = 1 - 1/y = 1 - 0.8 = 0.2 = 20%</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie użyty bezpośrednio, ale koncepcja proporcjonalności jest kluczowa)</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie proporcji</h5>\n<p>Ten sposób opiera się na bezpośrednim zastosowaniu proporcji.</p>\n<p>Kroki:</p>\n<ol><li><strong>Zrozumienie proporcji:</strong> Obniżka o 20% daje cenę y. Oznacza to, że 100% (cena x) odpowiada 100%. Cena y odpowiada 80% ceny x. Aby wrócić do ceny x, musimy znaleźć procent, który, dodany do ceny y, da cenę x.</li><li><strong>Ustawienie proporcji:</strong> \\[\\frac{y}{x} = \\frac{80}{100}\\]</li><li><strong>Rozwiązanie proporcji:</strong> y * 100 = 80 * x =&gt; y = (80/100) * x = 0.8x</li><li><strong>Obliczenie procentu do podniesienia:</strong> Aby podnieść y do x, musimy znaleźć p taki, że y * (1 + p) = x. Zatem (0.8x) * (1 + p) = x. Dzielimy obie strony przez x: 0.8 * (1 + p) = 1 =&gt; 1 + p = 1 / 0.8 = 1.25 =&gt; p = 1.25 - 1 = 0.25 = 25%</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.10: Ciągi, Procent składany, strona 10 (użyto koncepcji procentu składanego)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. 20%:</strong> Jeśli podnieść y o 20%, to otrzymamy 1.2y, co nie jest równe x.</li><li><strong>C. 15%:</strong> Podniesienie y o 15% da 1.15y, co również nie jest równe x.</li><li><strong>D. 12%:</strong> Podniesienie y o 12% da 1.12y, co nie jest równe x.</li></ul>\n<p>Podsumowując, obniżka o 20% to zmniejszenie ceny o 20%, a podniesienie o 25% to przywrócenie ceny do pierwotnego poziomu.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obniżenie ceny o $20\\%$ oznacza, że cena $y$ wynosi $80\\%$ ceny $x$, czyli $y = 0{,}8x$. Aby przywrócić cenę $x$, trzeba podnieść $y$ o $0{,}2x$, co stanowi $\\frac{0{,}2x}{0{,}8x} = 0{,}25$, co daje $25\\%$.</p>"}]}