{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (\n)\n(\n)\n3 1\n2 3\n1\n12\nx\nx\nx\n>\njest przedział\nA.\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nB.\n5\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n\n\n\n\n\n\n∞\n3\n5\n,\nRozwiązanie zadania. W trapezie prostokątnym ABCD są dane długości boków: |AB|=8, |BC|=5, |DC|=5, |AD|=4 (zobacz rysunek). Tangens kąta ostrego ABC w tym trapezie jest równy A. 4/3 B. 4/5 C. 3/4 D. 3/5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą (3.3).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne krok po kroku\n\n**Zaczynamy od rozwinięcia nawiasów** po obu stronach nierówności:\n\n\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]\n\n\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]\n\n**Upraszczamy prawą stronę** (łączymy wyrazy z \\(x\\)):\n\n\\[3 - 3x > -6x - 2\\]\n\n**Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę**, wyrazy wolne na prawą:\n\n\\[3 - 3x + 6x > -2\\]\n\n\\[3 + 3x > -2\\]\n\n\\[3x > -2 - 3\\]\n\n\\[3x > -5\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\(3 > 0\\)** - znak nierówności **nie zmienia się**:\n\n\\[x > -\\frac{5}{3}\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych\n\nZnaleźliśmy, że granicą jest \\(x_0 = -\\dfrac{5}{3}\\). Sprawdzamy:\n\n**Punkt graniczny** \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\) - powinien **nie** spełniać nierówności (ostrą):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3\\!\\left(1 - \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right)\\right) = 3 \\cdot \\tfrac{8}{3} = 8\\]\n\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2\\!\\left(3 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) - 1\\right) - 12 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) = 2(-5-1) + 20 = -12 + 20 = 8\\]\n\n\\(8 > 8\\) - **fałsz**, słusznie punkt graniczny nie należy do rozwiązania.\n\n**Sprawdzamy punkt z przedziału**, np. \\(x = 0\\):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-0) = 3\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(0-1) - 0 = -2\\]\n\n\\(3 > -2\\) - **prawda** ✓ Punkt \\(x=0\\) należy do \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).\n\n**Sprawdzamy punkt spoza przedziału**, np. \\(x = -2\\):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-(-2)) = 9\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(3\\cdot(-2)-1) - 12\\cdot(-2) = 2(-7) + 24 = 10\\]\n\n\\(9 > 10\\) - **fałsz** ✓ Punkt \\(x = -2\\) słusznie nie należy do rozwiązania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń dostaje \\(3x > -5\\), ale potem błędnie odwraca znak: zapisuje \\(x < \\dfrac{5}{3}\\) zamiast \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) |\n| **C** | Uczeń gubi minus przy obliczaniu granicy: zamiast \\(-\\dfrac{5}{3}\\) wpisuje \\(+\\dfrac{5}{3}\\) |\n| **D** | Połączenie obu błędów: odwrócony znak nierówności **i** zgubiony minus - wynik \\(x < -\\dfrac{5}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu prawej strony \\(6x - 2 - 12x\\) łatwo się pomylić w znakach. Zawsze zbieraj wyrazy z \\(x\\) osobno: \\(6x - 12x = -6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie obu stron przez liczbę **dodatnią** (tu: przez \\(3\\)) **nie zmienia kierunku** nierówności. Znak odwracamy **tylko** przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę **ujemną**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) to przedział **otwarty** - \\(-\\dfrac{5}{3}\\) nie należy do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku\n\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]\n\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]\n\\[3 - 3x > -6x - 2\\]\n\\[3x > -5\\]\n\\[x > -\\dfrac{5}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\n\\(x=0\\): \\(3(1) > 2(-1) - 0 \\iff 3 > -2\\) ✓ → 0 należy. Eliminuje D.\n\\(x=-2\\): \\(3(3) > 2(-7)+24 = 10 \\iff 9 > 10\\)? NIE. Eliminuje B.\nZostaje A lub C. \\(x=-1\\): \\(-1 > -\\tfrac{5}{3}\\), więc powinno spełniać: \\(3(2) > 2(-4)+12 = 4 \\iff 6 > 4\\) ✓. Pasuje A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Przeciwny znak nierówności.\n- **C.** Dobry punkt graniczny, ale przeciwny kierunek.\n- **D.** Zły kierunek i zły znak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności krok po kroku\n1. **Rozwiń lewą stronę nierówności:**\n3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x\n3 - 3x > 6x - 2 - 12x\n3 - 3x > -6x - 2\n\n2. **Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:**\n3 + 6x > -2 + 3x\n3 + 6x - 3x > -2\n3 + 3x > -2\n\n3. **Przenieś liczby na prawą stronę:**\n3x > -2 - 3\n3x > -5\n\n4. **Podziel obie strony przez 3:**\nx > -5/3\n\n5. **Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:**\nx ∈ (-5/3, +∞)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15\n\n### Sposób 2: Uproszczenie nierówności i rozwiązanie\n1. **Rozwijamy i upraszczamy lewą stronę:**\n3 - 3x > 6x - 2 - 12x\n3 - 3x > -6x - 2\n\n2. **Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:**\n3 + 6x > -6x - 2 + 3x\n3 + 6x > -3x - 2\n\n3. **Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:**\n3 + 6x + 3x > -2\n3 + 9x > -2\n\n4. **Przenosimy termy bez x na jedną stronę, a termy z x na drugą:**\n9x > -2 - 3\n9x > -5\n\n5. **Dzielimy obie strony przez 9:**\nx > -5/9\n\nTo jest błąd! W kroku 3 i 4 popełniono błąd. Poprawione rozwiązanie powinno wyglądać tak:\n3. **Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:**\n3 + 6x > -2 + 3x\n6x - 3x > -2 - 3\n3x > -5\n\n4. **Podziel obie strony przez 3:**\nx > -5/3\n\n5. **Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:**\nx ∈ (-5/3, +∞)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** (-∞, -5/3) - Jest to przedział, w którym x jest mniejsze niż -5/3, co nie jest prawidłowe, ponieważ 3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x dla x > -5/3.\n* **C:** (-5/3, +∞) - To jest prawidłowe rozwiązanie, które otrzymaliśmy.\n* **D:** (-∞, -5/3) - Jest to przedział, w którym x jest mniejsze niż -5/3, co nie jest prawidłowe, ponieważ 3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x dla x > -5/3.\n\n**Podsumowanie:** Prawidłowe rozwiązanie nierówności to przedział (-5/3, +∞), ponieważ x musi być większe niż -5/3, aby lewa strona nierówności była większa od prawej.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (
)
(
)
3 1
2 3
1
12
x
x
x

\n
\n

jest przedział
A.
5 ,
3

\n\n





B.
5
, 3


-∞




C.
5 ,
3

\n\n





D.






∞
3
5
,
Rozwiązanie zadania. W trapezie prostokątnym ABCD są dane długości boków: |AB|=8, |BC|=5, |DC|=5, |AD|=4 (zobacz rysunek). Tangens kąta ostrego ABC w tym trapezie jest równy A. 4/3 B. 4/5 C. 3/4 D. 3/5.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje nierówności pierwszego
stopnia z jedną niewiadomą (3.3).
Wersja X
Wersja Y
A
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Zbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).

\n

Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne krok po kroku

\n

Zaczynamy od rozwinięcia nawiasów po obu stronach nierówności:

\n

\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]

\n

\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]

\n

Upraszczamy prawą stronę (łączymy wyrazy z \\(x\\)):

\n

\\[3 - 3x > -6x - 2\\]

\n

Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, wyrazy wolne na prawą:

\n

\\[3 - 3x + 6x > -2\\]

\n

\\[3 + 3x > -2\\]

\n

\\[3x > -2 - 3\\]

\n

\\[3x > -5\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(3 > 0\\) - znak nierówności nie zmienia się:

\n

\\[x > -\\frac{5}{3}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\) ✓

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych

\n

Znaleźliśmy, że granicą jest \\(x_0 = -\\dfrac{5}{3}\\). Sprawdzamy:

\n

Punkt graniczny \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\) - powinien nie spełniać nierówności (ostrą):

\n

\\[\\text{Lewa:} \\quad 3\\!\\left(1 - \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right)\\right) = 3 \\cdot \\tfrac{8}{3} = 8\\]

\n

\\[\\text{Prawa:} \\quad 2\\!\\left(3 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) - 1\\right) - 12 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) = 2(-5-1) + 20 = -12 + 20 = 8\\]

\n

\\(8 > 8\\) - fałsz, słusznie punkt graniczny nie należy do rozwiązania.

\n

Sprawdzamy punkt z przedziału, np. \\(x = 0\\):

\n

\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-0) = 3\\]
\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(0-1) - 0 = -2\\]

\n

\\(3 > -2\\) - prawda ✓ Punkt \\(x=0\\) należy do \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).

\n

Sprawdzamy punkt spoza przedziału, np. \\(x = -2\\):

\n

\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-(-2)) = 9\\]
\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(3\\cdot(-2)-1) - 12\\cdot(-2) = 2(-7) + 24 = 10\\]

\n

\\(9 > 10\\) - fałsz ✓ Punkt \\(x = -2\\) słusznie nie należy do rozwiązania.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń dostaje \\(3x > -5\\), ale potem błędnie odwraca znak: zapisuje \\(x < \\dfrac{5}{3}\\) zamiast \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) |
| C | Uczeń gubi minus przy obliczaniu granicy: zamiast \\(-\\dfrac{5}{3}\\) wpisuje \\(+\\dfrac{5}{3}\\) |
| D | Połączenie obu błędów: odwrócony znak nierówności i zgubiony minus - wynik \\(x < -\\dfrac{5}{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu prawej strony \\(6x - 2 - 12x\\) łatwo się pomylić w znakach. Zawsze zbieraj wyrazy z \\(x\\) osobno: \\(6x - 12x = -6x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Dzielenie obu stron przez liczbę dodatnią (tu: przez \\(3\\)) nie zmienia kierunku nierówności. Znak odwracamy tylko przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną!
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) to przedział otwarty - \\(-\\dfrac{5}{3}\\) nie należy do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku
\n

\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]
\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]
\\[3 - 3x > -6x - 2\\]
\\[3x > -5\\]
\\[x > -\\dfrac{5}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie punktem
\n

\\(x=0\\): \\(3(1) > 2(-1) - 0 \\iff 3 > -2\\) ✓ → 0 należy. Eliminuje D.
\\(x=-2\\): \\(3(3) > 2(-7)+24 = 10 \\iff 9 > 10\\)? NIE. Eliminuje B.
Zostaje A lub C. \\(x=-1\\): \\(-1 > -\\tfrac{5}{3}\\), więc powinno spełniać: \\(3(2) > 2(-4)+12 = 4 \\iff 6 > 4\\) ✓. Pasuje A.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Rozwiązanie nierówności krok po kroku
\n
  1. Rozwiń lewą stronę nierówności:
\n

3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x
3 - 3x > 6x - 2 - 12x
3 - 3x > -6x - 2

\n
  1. Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:
\n

3 + 6x > -2 + 3x
3 + 6x - 3x > -2
3 + 3x > -2

\n
  1. Przenieś liczby na prawą stronę:
\n

3x > -2 - 3
3x > -5

\n
  1. Podziel obie strony przez 3:
\n

x > -5/3

\n
  1. Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:
\n

x ∈ (-5/3, +∞)

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15

\n
Sposób 2: Uproszczenie nierówności i rozwiązanie
\n
  1. Rozwijamy i upraszczamy lewą stronę:
\n

3 - 3x > 6x - 2 - 12x
3 - 3x > -6x - 2

\n
  1. Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:
\n

3 + 6x > -6x - 2 + 3x
3 + 6x > -3x - 2

\n
  1. Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:
\n

3 + 6x + 3x > -2
3 + 9x > -2

\n
  1. Przenosimy termy bez x na jedną stronę, a termy z x na drugą:
\n

9x > -2 - 3
9x > -5

\n
  1. Dzielimy obie strony przez 9:
\n

x > -5/9

\n

To jest błąd! W kroku 3 i 4 popełniono błąd. Poprawione rozwiązanie powinno wyglądać tak:

\n
  1. Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:
\n

3 + 6x > -2 + 3x
6x - 3x > -2 - 3
3x > -5

\n
  1. Podziel obie strony przez 3:
\n

x > -5/3

\n
  1. Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:
\n

x ∈ (-5/3, +∞)

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Prawidłowe rozwiązanie nierówności to przedział (-5/3, +∞), ponieważ x musi być większe niż -5/3, aby lewa strona nierówności była większa od prawej.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby znaleźć rozwiązanie nierówności $3(1-x) > 2(3x-1) - 12x$, musimy ją rozwiązać:
$ \\displaystyle 3 - 3x > 6x - 2 -12x $
$ \\displaystyle 3- 3x> - 6x - 2\\ \\ \\ {\\mid}+ 6x $
$ \\displaystyle 3x + 3> - 2\\ \\ \\ {\\mid}-3 $
$ \\displaystyle 3x > -5\\ \\ \\ {\\mid}:3 $
$ \\displaystyle x >-\\frac{{5}}{{3}} $

"}]}