Zadanie 6. (0-1)
Suma wszystkich rozwiązań równania (
)(
)
3
2
0
x x
x
jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Informacja do zadań 7.-9.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
( )
(
)(
)
1
3
f
x
a x
x
. Na rysunku
przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest
punkt
(2,1)
W =
Rozwiązanie zadania. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=-x^2+6x+4 jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,q). Liczba q jest równa A. 4 B. 7 C. 9 D. 13
Zadanie 6. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
korzysta z własności iloczynu przy
rozwiązywaniu równań typu
(
)(
)
1
7
0
x x
x
(3.7).
Wersja X
Wersja Y
B
C
Mamy równanie:
\\[x(x-3)(x+2) = 0\\]
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.
\nZatem rozwiązujemy trzy równania:
\n\\[x = 0\\]
\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]
\\[x + 2 = 0 \\implies x = -2\\]
Mamy trzy rozwiązania: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 3\\), \\(x_3 = -2\\).
\nSuma rozwiązań:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = 0 + 3 + (-2) = 1\\]
Odpowiedź: B - suma wynosi \\(1\\).
\nRozwijamy iloczyn:
\\[x(x-3)(x+2) = x \\cdot \\bigl[(x-3)(x+2)\\bigr]\\]
Najpierw:
\\[(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6\\]
Następnie:
\\[x(x^2 - x - 6) = x^3 - x^2 - 6x\\]
Równanie przyjmuje postać:
\\[x^3 - x^2 - 6x = 0\\]
Dla wielomianu stopnia 3: \\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\\) suma wszystkich pierwiastków równa się \\(-p\\) (uogólnione wzory Viète'a).
\nTutaj współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(-1\\), więc:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -(-1) = 1\\]
Wynik zgodny z metodą 1: suma = \\(1\\).
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu zerowego i podstawowe działania algebraiczne.
\nPomocniczo możemy wskazać:
\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Sposób 2 używa analogicznego uogólnienia tych wzorów na wielomian stopnia 3 (poza podstawą programową, ale warto znać jako ciekawostkę).
| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(0\\)) | Uczeń widzi czynnik \\(x\\) i myśli, że suma musi wynosić \\(0\\), bo "jedno z rozwiązań to zero". Zapomina dodać pozostałe pierwiastki. |
| C (\\(2\\)) | Uczeń liczy \\(3 + (-2) = 1\\), ale następnie dodaje jeszcze raz \\(x=0\\) jako "jedynkę" (błąd: \\(0 \\equiv 1\\) w myśleniu) - lub po prostu myli znaki: \\(3 - 2 = 1\\), ale gdzie zaginął czynnik \\(x\\)? Albo liczy \\(-2 + (-3) = -5\\) i się myli w znaku: \\(3 + (-2) + ? = 2\\). |
| D (\\(3\\)) | Uczeń sumuje tylko pierwiastki \\(x=3\\) i \\(x=-2\\), ale zapomina o \\(x=0\\) jako trzecim rozwiązaniu - \\(3 + (-2) + \\mathbf{0}\\). Lub bierze samo \\(x=3\\) za "jedyną odpowiedź". |
⚠️ Uwaga: \\(x = 0\\) jest pełnoprawnym rozwiązaniem! Wielu uczniów "zapomina" o zerze, bo wydaje im się trywialne - a to trzeba wliczyć do sumy.\n
⚠️ Uwaga: Znak! Czynnik \\((x+2) = 0\\) daje \\(x = -2\\), nie \\(x = +2\\). To najczęstsza pomyłka w tym typie zadań.\n
⚠️ Uwaga: Suma dotyczy wszystkich rozwiązań - nie wystarczy podać jednego lub dwóch, musisz znaleźć je wszystkie i zsumować.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nIloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0:
\\(x = 0\\), \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\), \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).
Suma: \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).
Pamiętaj: w \\((x-a)\\) pierwiastek to \\(a\\); w \\((x+a)\\) to \\(-a\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nRozwiązujemy równanie \\(x(x-3)(x+2) = 0\\). Zgodnie z własnością iloczynu, równanie jest spełnione, gdy któryś z czynników równa się zero. Oznacza to:
\nZatem, rozwiązania to \\(x = 0, x = 3, x = -2\\). Suma tych rozwiązań to \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).
\n\\[x(x-3)(x+2) = 0\\]
📖 Karta wzorów: s.7, strona 7
Rozwińmy wyrażenie \\(x(x-3)(x+2)\\):
\\[x(x^2 - x - 6) = x^3 - x^2 - 6x\\]
Równanie staje się:
\\[x^3 - x^2 - 6x = 0\\]
Wyciągamy \\(x\\) przed nawias:
\\[x(x^2 - x - 6) = 0\\]
Teraz, aby równanie było równe zero, jeden z czynników musi być równy zero:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe \\(x^2 - x - 6 = 0\\). Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1 + 24}}{2} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{25}}{2} = \\frac{1 \\pm 5}{2}\\]
Zatem, \\(x_1 = \\frac{1 + 5}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\) oraz \\(x_2 = \\frac{1 - 5}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\)
Wszystkie rozwiązania to \\(x = 0, x = 3, x = -2\\). Suma tych rozwiązań to \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).
\n\\[x^2 - x - 6 = 0\\]
📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b))
Równanie \\(x(x-3)(x+2) = 0\\) to równanie trzeciego stopnia, więc ma trzy pierwiastki. W tym przypadku pierwiastki to -2, 0 i 3. Suma pierwiastków to -2 + 0 + 3 = 1.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Rozwiązanie krok po kroku:
\n$$x(x-3)(x+2)=0$$
\n$$x = 0$$
\n$$x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3$$
\n$$x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2$$
\n$$0 + 3 + (-2)$$
\n$$0 + 3 = 3$$
\n$$3 + (-2) = 3 - 2 = 1$$
\nOdpowiedź: 1
"}]}