{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nWspółczynnik a we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC.\n2\nD.\n1\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(1,-2) i C=(0,5) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Obwód tego kwadratu jest równy A. 12 B. 20 C. 28 D. 48","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we\nwzorze funkcji kwadratowej w postaci\nkanonicznej, w postaci ogólnej\ni w postaci iloczynowej (o ile istnieją)\n(4.10).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka do wzoru\n\nWiemy, że wierzchołek paraboli \\(W = (2, 1)\\) leży **na wykresie** funkcji, czyli \\(f(2) = 1\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru:\n\\[f(2) = a(2-1)(2-3)\\]\n\\[f(2) = a \\cdot 1 \\cdot (-1)\\]\n\\[f(2) = -a\\]\n\nSkoro \\(f(2) = 1\\):\n\\[-a = 1\\]\n\\[\\boxed{a = -1}\\]\n\n## Sposób 2 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nPostać iloczynowa \\(f(x) = a(x-1)(x-3)\\) mówi nam, że miejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1+3}{2} = 2\\]\n\nTo zgadza się z wierzchołkiem \\(W = (2, 1)\\) - jesteśmy na dobrej drodze.\n\nTeraz korzystamy ze wzoru na rzędną wierzchołka \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), ale prościej: w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x-2)^2 + q\\]\n\nRozwijamy postać iloczynową, żeby porównać:\n\\[a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = a\\left[(x-2)^2 - 1\\right]\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = a(x-2)^2 - a\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (2,\\, -a)\\). Skoro \\(W = (2, 1)\\):\n\\[-a = 1 \\implies a = -1\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\, q)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - rozwinęliśmy postać iloczynową do kanonicznej, żeby odczytać rzędną wierzchołka \\(q = -a\\).\n\n**Dział 7 (s. 8)** - wzór na odciętą wierzchołka:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\n(wniosek z wzorów Viète'a: gdy znamy miejsca zerowe, oś symetrii jest w ich środku)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(a = 1\\) | Uczeń liczy \\(f(2) = 1 \\cdot 1 \\cdot (-1) = -1\\), ale zamiast przyrównać do \\(1\\), uznaje \\(a=1\\) „bo w wyniku wyszło \\(-1\\)\" - gubi minus. |\n| B. \\(a = 2\\) | Uczeń podstawia \\(x = 1\\) (miejsce zerowe!) zamiast \\(x = 2\\) (wierzchołek) i próbuje wymusić wartość \\(1\\), co daje błędne równanie. |\n| C. \\(a = -2\\) | Uczeń myli rzędną wierzchołka - liczy np. \\(f(1) = 1\\) (zamiast \\(f(2) = 1\\)) i dostaje \\(a(-1)(1-3) = 1 \\Rightarrow 2a = 1\\), a potem błędnie \\(a = -2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(W = (2,1)\\) to **punkt na wykresie**, więc \\(f(2) = 1\\) - nie mylić \\(x\\)-owej i \\(y\\)-owej współrzędnej wierzchołka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wyrażeniu \\((2-1)(2-3) = 1 \\cdot (-1) = -1\\) bardzo łatwo zgubić ten minus i napisać \\(-a = 1 \\Rightarrow a = 1\\). Zawsze sprawdzaj znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe \\(x=1\\) i \\(x=3\\) to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\) - **nie** ma tam wartości \\(1\\). Nigdy nie podstawiaj miejsca zerowego, gdy szukasz wartości wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka\n\\(f(2) = 1\\):\n\\[a(2-1)(2-3) = a\\cdot 1\\cdot(-1) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza wykresu\nZ rysunku widać, że parabola ma ramiona **w dół** (\\(a < 0\\)). Ponadto \\(f(2) = 1\\) (wartość w wierzchołku dodatnia). To eliminuje A, B i sugeruje \\(a \\in \\{-1, -2\\}\\).\n\\(f(2) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** (dodatnie) - parabola miałaby ramiona w górę, co nie pasuje do wierzchołka jako maksimum.\n- **C. \\(-2\\)** - dałoby \\(f(2) = 2 \\ne 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na wyróżnik delty równania kwadratowego\n\nWzór na pierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\nW tym przypadku mamy funkcję f, której współczynnik a jest szukany. Równanie kwadratowe, którego współczynniki są zdefiniowane w zadaniu, to:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]\nWzór na wyróżnik delty (Δ) to:\n\\[Δ = b^2 - 4ac\\]\nPierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\nZatem współczynnik 'a' występuje w mianowniku, a więc odpowiedź D jest prawidłowa.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 17\n\n### Sposób 2: Interpretacja wzoru funkcji kwadratowej\n\nFunkcja kwadratowa ma ogólny wzór:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]\ngdzie 'a' jest współczynnikiem kierunkowym paraboli. Wzór ten definiuje, jak funkcja zmienia się w zależności od wartości 'x'. Ponieważ 'a' jest współczynnikiem *w* wzorze funkcji, to musi być on współczynnikiem w funkcji kwadratowej.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 17\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** To prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n* **B. (na zdjęciu):** Podobnie jak A, to prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n* **C. (na zdjęciu):** To również prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ współczynnik 'a' w funkcji kwadratowej musi być liczbą, a nie jakąś inną strukturą matematyczną.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy
A. 1
B. 2
C.
2
D.
1
Rozwiązanie zadania. Punkty A=(1,-2) i C=(0,5) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Obwód tego kwadratu jest równy A. 12 B. 20 C. 28 D. 48

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający interpretuje
\n

współczynniki występujące we
wzorze funkcji kwadratowej w postaci
kanonicznej, w postaci ogólnej
i w postaci iloczynowej (o ile istnieją)
(4.10).
Wersja X
Wersja Y
D
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -1\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka do wzoru

\n

Wiemy, że wierzchołek paraboli \\(W = (2, 1)\\) leży na wykresie funkcji, czyli \\(f(2) = 1\\).

\n

Podstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru:
\\[f(2) = a(2-1)(2-3)\\]
\\[f(2) = a \\cdot 1 \\cdot (-1)\\]
\\[f(2) = -a\\]

\n

Skoro \\(f(2) = 1\\):
\\[-a = 1\\]
\\[\\boxed{a = -1}\\]

\n

Sposób 2 - Odczyt z postaci kanonicznej

\n

Postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-1)(x-3)\\) mówi nam, że miejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\).

\n

Kluczowe spostrzeżenie: oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1+3}{2} = 2\\]

\n

To zgadza się z wierzchołkiem \\(W = (2, 1)\\) - jesteśmy na dobrej drodze.

\n

Teraz korzystamy ze wzoru na rzędną wierzchołka \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), ale prościej: w postaci kanonicznej:
\\[f(x) = a(x-2)^2 + q\\]

\n

Rozwijamy postać iloczynową, żeby porównać:
\\[a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = a\\left[(x-2)^2 - 1\\right]\\]

\n

Zatem:
\\[f(x) = a(x-2)^2 - a\\]

\n

Wierzchołek to \\(W = (2,\\, -a)\\). Skoro \\(W = (2, 1)\\):
\\[-a = 1 \\implies a = -1\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\, q)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - rozwinęliśmy postać iloczynową do kanonicznej, żeby odczytać rzędną wierzchołka \\(q = -a\\).

\n

Dział 7 (s. 8) - wzór na odciętą wierzchołka:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]
(wniosek z wzorów Viète'a: gdy znamy miejsca zerowe, oś symetrii jest w ich środku)

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(a = 1\\) | Uczeń liczy \\(f(2) = 1 \\cdot 1 \\cdot (-1) = -1\\), ale zamiast przyrównać do \\(1\\), uznaje \\(a=1\\) „bo w wyniku wyszło \\(-1\\)" - gubi minus. |
| B. \\(a = 2\\) | Uczeń podstawia \\(x = 1\\) (miejsce zerowe!) zamiast \\(x = 2\\) (wierzchołek) i próbuje wymusić wartość \\(1\\), co daje błędne równanie. |
| C. \\(a = -2\\) | Uczeń myli rzędną wierzchołka - liczy np. \\(f(1) = 1\\) (zamiast \\(f(2) = 1\\)) i dostaje \\(a(-1)(1-3) = 1 \\Rightarrow 2a = 1\\), a potem błędnie \\(a = -2\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołek \\(W = (2,1)\\) to punkt na wykresie, więc \\(f(2) = 1\\) - nie mylić \\(x\\)-owej i \\(y\\)-owej współrzędnej wierzchołka!
\n
⚠️ Uwaga: W wyrażeniu \\((2-1)(2-3) = 1 \\cdot (-1) = -1\\) bardzo łatwo zgubić ten minus i napisać \\(-a = 1 \\Rightarrow a = 1\\). Zawsze sprawdzaj znak!
\n
⚠️ Uwaga: Miejsca zerowe \\(x=1\\) i \\(x=3\\) to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\) - nie ma tam wartości \\(1\\). Nigdy nie podstawiaj miejsca zerowego, gdy szukasz wartości wierzchołka.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka
\n

\\(f(2) = 1\\):
\\[a(2-1)(2-3) = a\\cdot 1\\cdot(-1) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1.\\]

\n
Sposób 2 - Analiza wykresu
\n

Z rysunku widać, że parabola ma ramiona w dół (\\(a < 0\\)). Ponadto \\(f(2) = 1\\) (wartość w wierzchołku dodatnia). To eliminuje A, B i sugeruje \\(a \\in \\{-1, -2\\}\\).
\\(f(2) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na wyróżnik delty równania kwadratowego
\n

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to:
\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]
W tym przypadku mamy funkcję f, której współczynnik a jest szukany. Równanie kwadratowe, którego współczynniki są zdefiniowane w zadaniu, to:
\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]
Wzór na wyróżnik delty (Δ) to:
\\[Δ = b^2 - 4ac\\]
Pierwiastki równania kwadratowego to:
\\[x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]
\\[x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]
Zatem współczynnik 'a' występuje w mianowniku, a więc odpowiedź D jest prawidłowa.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 17

\n
Sposób 2: Interpretacja wzoru funkcji kwadratowej
\n

Funkcja kwadratowa ma ogólny wzór:
\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]
gdzie 'a' jest współczynnikiem kierunkowym paraboli. Wzór ten definiuje, jak funkcja zmienia się w zależności od wartości 'x'. Ponieważ 'a' jest współczynnikiem w wzorze funkcji, to musi być on współczynnikiem w funkcji kwadratowej.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 17

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ współczynnik 'a' w funkcji kwadratowej musi być liczbą, a nie jakąś inną strukturą matematyczną.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawne, ponieważ jeśli do danego wzoru funkcji podstawimy współrzędne wierzchołka, to dostaniemy równanie $1=a(2-1)(2-3)$, którego rozwiązaniem jest liczba $a=-1$.

"}]}