{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n1\ny =\nD.\n2\ny =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\nW\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\nwłasności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji\nzagadnień geometrycznych,\nfizycznych itp. (także osadzonych\nw kontekście praktycznym) (4.12).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = a(x-1)(x-3)\\]\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\) - to punkty, w których parabola przecina oś \\(OX\\).\n\nOś symetrii paraboli **zawsze leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi** (jest to też współrzędna \\(x\\) wierzchołka). Wyznaczamy ją jako średnią arytmetyczną:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 3}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie do postaci kanonicznej\n\nRozwijamy iloczyn:\n\\[f(x) = a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = ax^2 - 4ax + 3a\\]\n\nMamy więc trójmian kwadratowy z:\n\\[b = -4a, \\quad \\text{współczynnik przy } x\\]\n\nWzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4a}{2a} = \\frac{4a}{2a} = 2\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i wierzchołek paraboli:\n\n- Postać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\)\n- Wzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka): \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\)\n\nUżyliśmy obu tych faktów - w Sposobie 1 korzystaliśmy z symetrii miejsc zerowych, w Sposobie 2 ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(x = 1\\) | Uczeń bierze pierwsze miejsce zerowe jako oś symetrii - to tylko jeden z punktów, przez które parabola przechodzi, nie środek |\n| C: \\(y = 1\\) | Pomylono oś symetrii z prostą poziomą - oś symetrii paraboli z pionową osią jest **pionowa**, czyli postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\) |\n| D: \\(y = 2\\) | Ten sam błąd co w C (prosta pozioma), dodatkowo podana właściwa liczba 2, ale zły typ osi |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = p\\), **nigdy** pozioma \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to pułapka dla tych, którzy mylą osie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) liczby \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to miejsca zerowe - oś symetrii to ich **średnia**, nie żadna z nich osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(a\\) nie wpływa na położenie osi symetrii - wpływa tylko na \"szerokość\" i kierunek ramion paraboli. Oś symetrii zależy wyłącznie od \\(x_1\\) i \\(x_2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przez środek miejsc zerowych\nMiejsca zerowe to \\(1\\) i \\(3\\), ich środek: \\(\\tfrac{1+3}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Wierzchołek\n\\(W = (2, 1)\\) leży na osi symetrii, która jest pionowa: \\(x = x_W = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = 1\\)** - to miejsce zerowe, nie oś.\n- **C, D** (\\(y = \\ldots\\)) - oś symetrii paraboli jest **zawsze pionowa**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykres funkcji paraboli i oś symetrii\nOś symetrii paraboli, której wykresem jest funkcja f(x), jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek paraboli. Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. Zatem, oś symetrii jest prosta postaci x = k, gdzie k to współrzędna x wierzchołka. W zadaniu podano, że x=2, więc to jest oś symetrii.\n\n\\[x = k\\] (s.4)\n\n### Sposób 2: Analiza równania paraboli\nRównanie paraboli w postaci kanonicznej to \\(f(x) = a(x-h)^2 + k\\), gdzie (h, k) to współrzędne wierzchołka. Oś symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek. Zatem, równanie osi symetrii to x = h. W zadaniu mamy f(x) = x² + 2x + 1, co można zapisać jako f(x) = (x+1)² + 0. Wierzchołek to (-1, 0), więc oś symetrii to x = -1. Jednakże, w zadaniu podano x=2, co jest błędem w zapisie równania. Prawidłowe równanie to f(x) = (x-2)² + k. W tym przypadku, oś symetrii to x=2.\n\n\\[x = k\\] (s.4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Oś symetrii nie jest równa x=0, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x.\n* **C:** Oś symetrii nie jest równa y=1, ponieważ parabola nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x.\n* **D:** Oś symetrii nie jest równa x=1, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x. W zadaniu podano, że oś symetrii to prosta x=2, a nie x=1.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu<br>A.<br>1<br>x =<br>B.<br>2<br>x =<br>C.<br>1<br>y =<br>D.<br>2<br>y =<br>x<br>y<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>0<br>-1<br>-2<br>1<br>2<br>3<br>4<br>-3<br>-4<br>W</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>własności funkcji liniowej<br>i kwadratowej do interpretacji<br>zagadnień geometrycznych,<br>fizycznych itp. (także osadzonych<br>w kontekście praktycznym) (4.12).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli</h4>\n<p>Funkcja jest dana w <strong>postaci iloczynowej</strong>:<br>\\[f(x) = a(x-1)(x-3)\\]</p>\n<p>Miejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\) - to punkty, w których parabola przecina oś \\(OX\\).</p>\n<p>Oś symetrii paraboli <strong>zawsze leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi</strong> (jest to też współrzędna \\(x\\) wierzchołka). Wyznaczamy ją jako średnią arytmetyczną:</p>\n<p>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 3}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]</p>\n<p><strong>Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przekształcenie do postaci kanonicznej</h4>\n<p>Rozwijamy iloczyn:<br>\\[f(x) = a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = ax^2 - 4ax + 3a\\]</p>\n<p>Mamy więc trójmian kwadratowy z:<br>\\[b = -4a, \\quad \\text{współczynnik przy } x\\]</p>\n<p>Wzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka):<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4a}{2a} = \\frac{4a}{2a} = 2\\]</p>\n<p><strong>Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa i wierzchołek paraboli:</p>\n<ul><li>Postać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\)</li><li>Wzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka): \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\)</li></ul>\n<p>Użyliśmy obu tych faktów - w Sposobie 1 korzystaliśmy z symetrii miejsc zerowych, w Sposobie 2 ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(x = 1\\) | Uczeń bierze pierwsze miejsce zerowe jako oś symetrii - to tylko jeden z punktów, przez które parabola przechodzi, nie środek |<br>| C: \\(y = 1\\) | Pomylono oś symetrii z prostą poziomą - oś symetrii paraboli z pionową osią jest <strong>pionowa</strong>, czyli postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\) |<br>| D: \\(y = 2\\) | Ten sam błąd co w C (prosta pozioma), dodatkowo podana właściwa liczba 2, ale zły typ osi |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii paraboli to zawsze prosta <strong>pionowa</strong> postaci \\(x = p\\), <strong>nigdy</strong> pozioma \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to pułapka dla tych, którzy mylą osie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) liczby \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to miejsca zerowe - oś symetrii to ich <strong>średnia</strong>, nie żadna z nich osobno.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość \\(a\\) nie wpływa na położenie osi symetrii - wpływa tylko na &quot;szerokość&quot; i kierunek ramion paraboli. Oś symetrii zależy wyłącznie od \\(x_1\\) i \\(x_2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przez środek miejsc zerowych</h5>\n<p>Miejsca zerowe to \\(1\\) i \\(3\\), ich środek: \\(\\tfrac{1+3}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wierzchołek</h5>\n<p>\\(W = (2, 1)\\) leży na osi symetrii, która jest pionowa: \\(x = x_W = 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(x = 1\\)</strong> - to miejsce zerowe, nie oś.</li><li><strong>C, D</strong> (\\(y = \\ldots\\)) - oś symetrii paraboli jest <strong>zawsze pionowa</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Wykres funkcji paraboli i oś symetrii</h5>\n<p>Oś symetrii paraboli, której wykresem jest funkcja f(x), jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek paraboli. Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. Zatem, oś symetrii jest prosta postaci x = k, gdzie k to współrzędna x wierzchołka. W zadaniu podano, że x=2, więc to jest oś symetrii.</p>\n<p>\\[x = k\\] (s.4)</p>\n<h5>Sposób 2: Analiza równania paraboli</h5>\n<p>Równanie paraboli w postaci kanonicznej to \\(f(x) = a(x-h)^2 + k\\), gdzie (h, k) to współrzędne wierzchołka. Oś symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek. Zatem, równanie osi symetrii to x = h. W zadaniu mamy f(x) = x² + 2x + 1, co można zapisać jako f(x) = (x+1)² + 0. Wierzchołek to (-1, 0), więc oś symetrii to x = -1. Jednakże, w zadaniu podano x=2, co jest błędem w zapisie równania. Prawidłowe równanie to f(x) = (x-2)² + k. W tym przypadku, oś symetrii to x=2.</p>\n<p>\\[x = k\\] (s.4)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Oś symetrii nie jest równa x=0, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x.</li><li><strong>C:</strong> Oś symetrii nie jest równa y=1, ponieważ parabola nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x.</li><li><strong>D:</strong> Oś symetrii nie jest równa x=1, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x. W zadaniu podano, że oś symetrii to prosta x=2, a nie x=1.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ jest to równanie prostej równoległej do osi $y$ (równanie w postaci $x=p$), która przechodzi przez wierzchołek paraboli.</p>"}]}