Zadanie 10. (0-5)
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (
)
1
2
3
,
,
a a
a
spełniona jest równość
1
2
3
21
4
a
a
a
Wyrazy
1
2
3
,
,
a
a
a są - odpowiednio - czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego
ciągu arytmetycznego. Oblicz
1a .
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
Pierwszy wyraz ciągu (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_n=3⋅ a_{n+1}+n². Oblicz sumę a_1+a_2+a_3.
Zadanie 10. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
sumę n-początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (5.3). Zdający stosuje wzór na n-ty
wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego (5.4).
Zasady oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający
wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego lub własność ciągu
geometrycznego i zapisze np.:
2
1
a
a q
i
2
3
1
a
a q
lub
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
lub
2
2
1
3
a
a a
⋅
albo
wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własność ciągu
arytmetycznego i zapisze np.:
o
(
2
3
a
a
r
i
1
3
3
a
a
r
) lub (
2
3
b
a
r
i
4
3
3
b
a
r
) lub (
2
1
b
b
r
i
4
1
3
b
b
r
)
lub
o
(
)
1
2
2
3
2
a
a
a
a
lub
(
)
4
2
2
1
2
b
b
b
b
lub
o
4
2
3
2
b
b
b
i
1
3
2
2
b
b
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.
Zdający
zapisze układ równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np.:
o
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
i
(
)
2
2
1
1
1
1
3
a
a q
a q
a q
Zasady oceniania rozwiązań zadań
lub
o
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
i
2
1
1
1
1
2
2
a
a q
a q
a q
albo
zapisze równanie pozwalające wyznaczyć związek między
3
a i r , np.:
(
)
(
)
2
3
3
3
3
a
r
a
r
a
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.
Zdający
zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
2
2
3
1 0
q
q
albo
zapisze
3
r
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4p.
Zdający
rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np.
2
2
3
1 0
q
q
:
1
q = lub
1
2
q =
albo
obliczy trzeci wyraz ciągu geometrycznego (
)
na
:
3
3
4
a =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego
1
3
a =
Uwagi
2
2
3
1
0
q
q
:
1
q = lub
1
2
q =
oraz obliczy dwie wartości
1a :
1
3
a =
,
1
7
4
a =
i nie odrzuci
1
7
4
a =
, to otrzymuje
4 punkty.
w rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje maksymalnie 4 punkty.
\n3
3
1
a
a q
) lub ciągu arytmetycznego i korzysta z tego w rozwiązaniu, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
podstawie pierwszy wyraz tego ciągu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
\narytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
\n1
3
a =
, to otrzymuje 0 punktów.
równań przez
1a albo przez r , albo też przez
1
q - bez zapisania jakiegokolwiek
komentarza.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Sumując wyrazy ciągu geometrycznego otrzymujemy równość
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
(1)
Niech (
)
nb
będzie rosnącym ciągiem arytmetycznym.
Zatem
2
1
1
b
a q
,
2
1
b
a q
,
4
1
b
a
, więc różnica tego ciągu
2
1
1
r
a q
a q
oraz
4
1
3
b
b
r
,
czyli
(
)
2
2
1
1
1
1
3
a
a q
a q
a q
Stąd wynika, że
2
1
1
1
3
2
a
a q
a q
i
(
)
2
1 2
3
1
0
a
q
q
Ponieważ z równości (1) wynika, że
1
0
a ≠
, więc
2
2
3
1 0
q
q
. Zatem
1
q = lub
1
2
q =
Dla
1
q = ciąg (
)
n
a
jest stały. Stąd ciąg(
)
nb
też jest stały. Zatem tylko dla
1
2
q =
ciąg (
)
nb
może być ciągiem rosnącym. Otrzymujemy wtedy
1
1
4
r
a
. Z równości (1) otrzymujemy
1
1
1
1
1
21
2
4
4
a
a
a
, a stąd wynika, że
1
3
a =
II sposób
W ciągu arytmetycznym 1
3
b
a
, 2
3
b
a
r
,
4
3
3
b
a
r
, gdzie
0
r >
Ponieważ ciąg(
)
3
3
3
3 ,
,
a
r a
r a
jest ciągiem geometrycznym, więc zachodzi równość
(
)
(
)
2
3
3
3
3
a
r
a
r
a
⋅
,
skąd wynika, że
2
2
2
3
3
3
3
2
3
a
a r
r
a
a r
,
a zatem
2
3
r
a r
Ponieważ z założenia
0
r >
, więc
3
r
a
. Podana suma trzech wyrazów jest zatem równa
3
3
3
21
4
2
4
a
a
a
Otrzymujemy zatem
3
3
4
a =
. Wtedy
1
4
3
4
3
a
b
a
III sposób
Z danych w treści zadania wynikają równości:
2
1
1
b
a q
,
2
1
b
a q
,
4
1
b
a
Ponieważ (
)
nb
jest ciągiem arytmetycznym, więc możemy zapisać równości
4
2
1
1
3
2
2
b
b
a
a q
b
oraz
2
1
1
1
3
1
2
1
2
2
2
a
a q
a q
b
b
b
a q
Rozwiążemy równanie
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2
1
1
1
1
2
2
a
a q
a q
a q
Ponieważ
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
, więc możemy założyć, że
1
0
a ≠
. Powyższe równanie jest
zatem równoważne równaniu
2
1
2
2
q
q
q
, czyli równaniu
2
1
2
4
q
q
q
Równanie kwadratowe
2
2
3
1 0
q
q
ma dwa rozwiązania:
1
q = oraz
1
2
q =
Jeśli
1
q = , to obydwa ciągi są ciągami stałymi. Zatem tylko dla
1
2
q =
ciąg (
)
nb
może być
ciągiem rosnącym.
Z równości
2
1
1
1
21
4
a
a q
a q
otrzymujemy równanie
1
7
21
4
4
a =
, czyli
1
3
a =
$a_1 = 3$
"}]}