Zadanie 12. (0-5)
Prosta o równaniu
10
0
x
y
przecina okrąg o równaniu
2
2
8
6
8
0
x
y
x
y
w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu
w jednokładności o środku S i skali
3
k = -.
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
Punkt A=(-2,6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego rombu zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
Zadanie 12. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
figur geometrycznych w jednokładności (odcinka,
trójkąta, czworokąta itp.) (R7.3).
Zdający posługuje się równaniem okręgu
(
)
(
)
2
2
2
x
a
y
b
r oraz opisuje koła za pomocą
nierówności (R8.5).
Zasady oceniania I, II, III, IV i V sposobu rozwiązania
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap polega na wyznaczeniu współrzędnych środka danego okręgu. Za poprawne
rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Drugi etap polega na wyznaczeniu równania/układu równań prowadzących do wyznaczenia
współrzędnych środka jednokładności oraz współrzędnych środka obrazu danego okręgu
w tej jednokładności.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt, gdy
zapisze współrzędne środka:
(
)
4,3
P =
lub
zapisze równanie okręgu
2
2
8
6
8
0
x
y
x
y
w postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Podział punktów za drugi etap rozwiązania
Zdający otrzymuje
1 punkt, gdy
obliczy i zapisze współrzędne punktów K i L :
(
)
3,7
K =
i
(
)
8,2
L =
albo
obliczy odległość punktu P od prostej o równaniu
10
0
x
y
:
3 2
2
d
SP
albo
zapisze równanie prostej przechodzącej przez punkt
(
)
4,3
P =
prostopadłej
do prostej
10
0
x
y
:
1
0
x
y
albo
poda tylko promień obrazu okręgu:
3 17
R =
,
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje
2 punkty, gdy
zapisze współrzędne środka jednokładności:
11 9
,
2 2
S
=
Zasady oceniania rozwiązań zadań
albo
zapisze
(
)
,
1
P
x x
′ =
i zapisze
9 2
3
2
SP
SP
′ = ⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje
3 punkty, gdy
zapisze równanie, wynikające z równości
3
SP
SP
→
→
′ = -⋅
, prowadzące do wyznaczenia
współrzędnych środka
(
)
,
P
a b
′ =
okręgu, będącego obrazem punktu
(
)
4,3
P =
w jednokładności:
11
9
11
9
,
3
4
,3
2
2
2
2
a
b
= -⋅
albo
wykona poprawne podstawienie do odpowiedniego wzoru w zestawie Wybranych
wzorów matematycznych i zapisze:
(
)
(
) 11
3 4
1
3
2
a = -⋅+
⋅
oraz
(
)
(
) 9
3 3
1
3
2
b = -⋅+
⋅
albo
zapisze równanie, wynikające z równości
4
PP
SP
→
→
′ = -⋅
, prowadzące do wyznaczenia
współrzędnych środka
(
)
,
P
a b
′ =
okręgu, będącego obrazem punktu
(
)
4,3
P =
w tej
jednokładności:
[
]
11
9
4,
3
4
4
,3
2
2
a
b
= -⋅
albo
zapisze równanie (
)
(
)
2
2
4
1 3
6 2
a
a
albo
zapisze równanie
1 10
9 2
2
2
a
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje
4 punkty, gdy zapisze równanie szukanego okręgu
(
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
Uwagi:
w rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to za takie rozwiązanie otrzymuje co najwyżej
4 punkty.
to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za drugą część rozwiązania.
\npolegający na zamianie współrzędnych i konsekwentnie do tego błędu rozwiąże
zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.
3
SP
SP
→
→
′
= -⋅
i konsekwentnie do tego błędu
rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za drugą część
rozwiązania.
i w rozwiązaniu stosuje tę własność, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za drugą
część rozwiązania.
a następnie wyznaczy graficznie obraz środka P′danego okręgu w jednokładności
o środku S i skali
3
k = - oraz zapisze równanie tego otrzymanego okręgu, to może
otrzymać 4 punkty za drugą część rozwiązania.
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,
doprowadzając równanie okręgu do postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Stąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt
(
)
4,3
P =
, a promień okręgu jest równy
17
r =
Obliczamy współrzędne punktów K i L rozwiązując układ równań:
2
2
8
6
8
0
10
x
y
x
y
y
x
(
)
(
)
2
2
10
8
6 10
8
0
10
x
x
x
x
y
x
2
11
24
0
10
x
x
y
x
3
7
x
y
=
lub
8
2
x
y
=
Zatem
(
)
3,7
K =
i
(
)
8,2
L =
. Środek cięciwy KL , który jest środkiem jednokładności to punkt
11 9
,
2 2
S
=
Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali
3
k = - jest okrąg o promieniu
3 17
R =
oraz środku
(
)
,
P
a b
′ =
takim, że
3
SP
SP
→
→
′ = -⋅
. Otrzymujemy równość:
11
9
11
9
,
3
4
,3
2
2
2
2
a
b
= -⋅
Zatem
11
9
9 9
,
,
2
2
2 2
a
b
,
a stąd
10
a =
i
9
b =
Szukany okrąg ma równanie (
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
Uwaga.
Zdający może z równania prostej wyznaczyć
10
x
y
i wtedy otrzyma
2
2
18
28
0
10
y
y
x
y
=
Zasady oceniania rozwiązań zadań
II sposób
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,
doprowadzając równanie okręgu do postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Stąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt
(
)
4,3
P =
, a promień okręgu jest równy
17
r =
Obliczamy współrzędne punktów K i L rozwiązując układ równań:
2
2
8
6
8
0
10
x
y
x
y
y
x
(
)
(
)
2
2
10
8
6 10
8
0
10
x
x
x
x
y
x
2
11
24
0
10
x
x
y
x
3
7
x
y
=
lub
8
2
x
y
=
Zatem
(
)
3,7
K =
i
(
)
8,2
L =
. Środek cięciwy KL , który jest środkiem jednokładności to punkt
11 9
,
2 2
S
=
Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali
3
k = - jest okrąg o promieniu
3 17
R =
oraz środku
(
)
,
P
a b
′ =
takim, że
4
PP
SP
→
→
′ = -⋅
. Otrzymujemy zatem równość:
[
]
11
9
4,
3
4
4
,3
2
2
a
b
= -⋅
Zatem
[
] [
]
4,
3
6,6
a
b
,
a stąd
10
a =
i
9
b =
Szukany okrąg ma równanie (
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
III sposób
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,
doprowadzając równanie okręgu do postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Stąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt
(
)
4,3
P =
, a promień okręgu jest równy
17
r =
Wyznaczamy równanie prostej l przechodzącej przez punkt
(
)
4,3
P =
i prostopadłej do danej
prostej
10
0
x
y
. Prosta l ma zatem równanie
1
0
x
y
. Środek jednokładności S jest
punktem wspólnym obu tych prostych, więc jego współrzędne obliczamy rozwiązując układ
równań.
10
0
1
0
x
y
x
y
-
Stąd
11 9
,
2 2
S
=
Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali
3
k = - jest okrąg o promieniu
3 17
R =
oraz środku
(
)
,
P
a b
′ =
takim, że
3
SP
SP
→
→
′ = -⋅
. Otrzymujemy zatem równość:
11
9
11
9
,
3
4
,3
2
2
2
2
a
b
= -⋅
Zatem
11
9
9 9
,
,
2
2
2 2
a
b
,
a stąd
10
a =
i
9
b =
Szukany okrąg ma równanie (
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
IV sposób
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,
doprowadzając równanie okręgu do postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Stąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt
(
)
4,3
P =
, a promień okręgu jest równy
17
r =
Obliczamy odległość d punktu P od danej prostej o równaniu
10
0
x
y
2
2
14 13 10
3 2
2
1
1
d
⋅+ ⋅-
Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali
3
k = - jest okrąg o promieniu
3 17
R =
oraz środku
(
)
,
P
a b
′ =
Zauważamy, że
4
PP
d
′ =
⋅
, zatem
6 2
PP′ =
. Wyznaczamy równanie prostej l
przechodzącej przez punkt
(
)
4,3
P =
i prostopadłej do danej prostej
10
0
x
y
. Prosta l
ma zatem równanie 𝑥-𝑦-1 = 0. Ponieważ punkt
(
)
,
P
a b
′ =
leży na tej prostej prostopadłej,
więc
(
)
,
1
P
a a
′ =
. Stąd otrzymujemy kolejno
(
)
(
)
2
2
4
1 3
6 2
a
a
(
)
(
)
2
2
4
4
36 2
a
a
⋅
(
)(
)
10
2
0
a
a
,
skąd
10
a =
lub
2
a = -.
Ponieważ skala jednokładności
3
k = -, więc jednokładność jest odwrotna. Zatem
2
a = - nie
spełnia warunków zadania. Stąd
(
)
10,9
P′ =
Szukany okrąg ma równanie (
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
V sposób
Wyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,
doprowadzając równanie okręgu do postaci (
)
(
)
2
2
4
3
17
x
y
Stąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt
(
)
4,3
P =
, a promień okręgu jest równy
17
r =
Obliczamy odległość d punktu P od danej prostej o równaniu
10
0
x
y
:
2
2
14 13 10
3 2
2
1
1
d
⋅+ ⋅-
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali
3
k = -jest okrąg o promieniu
3 17
R =
oraz środku
(
)
,
P
a b
′ =
Wyznaczamy równanie prostej l przechodzącej przez punkt
(
)
4,3
P =
i prostopadłej do danej
prostej
10
0
x
y
. Prosta l ma zatem równanie
1
0
x
y
. Ponieważ punkt
(
)
,
P
a b
′ =
leży na tej prostej prostopadłej, więc
(
)
,
1
P
a a
′ =
Skala jednokładności
3
k = -, więc
3
3
SP
d
d
′ = -⋅
= ⋅
, zatem
9 2
2
SP′ =
Obliczamy odległość punktu
(
)
,
1
P
a a
′ =
od danej prostej o równaniu
10
0
x
y
2
2
1 10
2
11
2
11
2
2
2
1
1
a
a
a
a
SP
′ =
Otrzymujemy równanie
2
11
2
9 2
2
2
a -
2
11
9
a -
Jednokładność jest odwrotna, zatem
10
a =
. Stąd
(
)
10,9
P′ =
Szukany okrąg ma równanie: (
)
(
)
2
2
10
9
153
x
y
$(x - 10)^2 + (y - 9)^2 = 153$
"}]}