Zadanie 15. (0-7)
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego
ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu
od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek - ekran zaznaczono
kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60
. Wyznacz takie wymiary ekranu
smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
2
cm
0,5 cm
0,3 cm
0,5 cm
0,3 cm
brzeg
obramowanie
ekran
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Zadanie 15. (0-7)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
pochodne do rozwiązywania zagadnień
optymalizacyjnych (R11.6).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
przyjęcia jednego z wymiarów ekranu (długość, szerokość) za zmienną x i obliczenie
drugiego wymiaru y:
6000
y
x
wyrażenia pola powierzchni całego ekranu z obramowaniem jako funkcji jednej
zmiennej x:
( )
60000
6
6060
P x
x
x
wyznaczenia dziedziny funkcji P: (
)
2 1501
2,
+∞.
Za poprawne wykonanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie
kroki też były wykonane poprawnie.
A
B
E
C
D
h
Drugi etap składa się z trzech części:
wyznaczenie pochodnej funkcji P lub funkcji
( )
60000
6
f x
x
x
określonej np. dla
0
x >
:
( )
(
)
2
2
2
2
2
6
10000
60000
6
60000
6
x
x
f
x
x
x
x
′
obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f :
100
x =
zbadanie znaku pochodnej funkcji f : jeśli0
100
x
<
<
, to
( )
0
f
x
′
<
oraz jeśli
100
x >
,
to
( )
0
f
x
′
i uzasadnienie, że dla
100
x =
funkcja P przyjmuje wartość najmniejszą,
na przykład: w przedziale (2 1501
2,100
funkcja P jest malejąca, w przedziale
)
100,+∞ funkcja P jest rosnąca, więc najmniejszą wartość funkcja P przyjmuje
dla
100
x =
Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie
kroki też były wykonane poprawnie.
Trzeci etap polega na obliczeniu obu wymiarów ekranu:
100
x =
oraz
60
y =
Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Ten sposób rozwiązania składa się z następujących czterech kroków:
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1p.
Jeżeli zdający przyjmie oznaczenia (na przykład x i y) na długość i szerokość ekranu, zapisze
pole powierzchni całego ekranu z obramowaniem
(
)(
)
10
6
P
x
y
Uwaga
Zdający, gdy przyjmie oznaczenia (na przykład x i y) na długość i szerokość ekranu, zapisze
równość
6060
6
10
P
x
y
to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.
Zdający zapisze nierówność między średnimi:
6
10
6
10
2
x
y
x
y
≥
⋅
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze, że x i y są liczbami dodatnimi, a więc wolno skorzystać z nierówności
między średnimi i zapisze nierówność między średnimi:
6
10
6
10
2
x
y
x
y
≥
⋅
, to otrzymuje 4 punkty.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 5 p.
Zdający wykaże nierówność
7260
P ≥
Rozwiązanie prawie pełne 6 p.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający znajdzie wartości
100
x =
mm,
60
y =
mm.
Rozwiązanie pełne 7 p.
Zdający wyciągnie wniosek, że dla x= 100 i y=60 smartfon ma najmniejszą powierzchnię.
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
przyjęcia jednego z wymiarów całego smartfona (długość, szerokość) za zmienną x
i obliczenie drugiego wymiaru całego smarfona y:
6000
6
10
y
x
wyrażenia pola powierzchni całego ekranu z obramowaniem jako funkcji jednej
zmiennej x:
( )
6000
6000
6
6
10
10
x
P x
x
x
x
x
wyznaczenia dziedziny funkcji P: (
)
2 1501
8,
+∞.
Za poprawne wykonanie każdego z tych etapów zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie
kroki też były wykonane poprawnie.
Drugi etap składa się z trzech części:
wyznaczenie pochodnej funkcji P lub funkcji
( )
6000
6
10
x
f x
x
x
określonej np. dla
0
x >
:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
6
10
10000
6000
10
6000
6
110
90
6
10
10
10
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
′
obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f :
110
x =
zbadanie znaku pochodnej funkcji f : jeśli0
110
x
<
<
, to
( )
0
f
x
′
<
oraz jeśli
110
x >
,
to
( )
0
f
x
′
i uzasadnienie, że dla
110
x =
funkcja P przyjmuje wartość najmniejszą,
na przykład: w przedziale (2 1501
8, 110
funkcja P jest malejąca, w przedziale
)
110,+∞ funkcja P jest rosnąca, więc najmniejszą wartość funkcja P przyjmuje
dla
110
x =
Za poprawne wykonanie każdego z tych etapów zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie
kroki też były wykonane poprawnie.
Trzeci etap polega na obliczeniu obu wymiarów ekranu:
100
x =
oraz
60
y =
Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi
1.
Jeżeli zdający rozpatruje funkcję P przy założeniu, że
10
6
0
x
y
\n
, obliczy wymiary
ekranu 100 mm i 60 mm oraz obliczy wymiary smartfona 110 mm i 66 mm, i sprawdzi,
że wymiary ekranu spełniają założenie
10
6
x
y
, to może otrzymać 7 punktów za
całe rozwiązanie.
2.
Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji P, ale z rozwiązania wynika, że rozważa
funkcję P na zbiorze, w którym co najmniej jeden z wymiarów ekranu przyjmuje wartości
ujemne, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów.
3.
Jeżeli zdający przyjmuje błędnie, że powierzchnia smartfona jest równa
2
60 cm
i bada powierzchnię ekranu smartfona jako funkcję jednej zmiennej, to nie otrzymuje
1 punktu za 1. część I etapu rozwiązania, a w konsekwencji może otrzymać co najwyżej
6 punktów za całe rozwiązanie.
4.
Jeżeli zdający nie ujednolici jednostek, ale przeprowadzi pełne rozumowanie, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (3 punkty wyłącznie za II etap
rozwiązania).
5.
Jeżeli zdający popełni błąd w zamianie 60 cmଶ zapisując 600 mmଶ i rozwiąże zadanie
do końca, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.
6.
Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres
funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.
7.
Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą
dla wyznaczonej wartości x, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy
zdający:
a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji P;
lub
b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości x funkcja P ma minimum lokalne i jest to
jednocześnie jej najmniejsza wartość.
Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.
)
0,+∞, to może otrzymać
1 punkt za 3. część II etapu, o ile otrzymane miejsce zerowe pochodnej należy
do właściwej dziedziny funkcji P.
zadania może otrzymać co najwyżej 1 punkt za 1. część I etapu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczmy długości boków ekranu smartfona literami x i y (x>y) tak jak na rysunku:
Wtedy powierzchnia ekranu jest równa (w
2
mm ):
6000,
xy =
skąd wynika, że
6000.
y
x
Powierzchnia całego smartfona (tj. ekranu z obramowaniem) jest równa
(
)(
)
60000
10
6
6
10
60
6000
6
10
60
6
6060.
P
x
y
xy
x
y
x
y
x
x
Ponieważ
10
6
0
x
y
\n
, to
6000
4
x
x
. Stąd otrzymujemy kolejno:
2
4
6000
x
x
,
2
4
4
6004
x
x
,
(
)
2
2
6004
x +
,
2
2 1501
x +
,
2 1501
2
x >
Otrzymaliśmy funkcję P zmiennej x określoną wzorem
( )
60000
6
6060
P x
x
x
dla
(
)
2 1501
2,
x∈
+∞.
Obliczamy pochodną funkcji P:
( )
(
)
2
2
2
6
10000
60000
6
x
P x
x
x
′
dla
(
)
2 1501
2,
x∈
+∞.
5 mm
5 mm
3 mm
3 mm
x
x
y
y
Miejscem zerowym pochodnej funkcji P jest
100
x =
, gdyż
2 1501
2
2 1521
2
2 39
2
76
100
<
⋅
<
Ponadto
( )
0
P x
′
<
dla
(
)
2 1501
2,100
x∈
oraz
( )
0
P x
′
dla
(
)
100,
x∈
Zatem w przedziale (2 1501
2,100
funkcja P jest malejąca, a w przedziale
)
100,+∞
funkcja P jest rosnąca.
Stąd wynika, że funkcja P dla
100
x =
przyjmuje najmniejszą wartość. Wtedy
60
y =
Poszukiwanymi wymiarami ekranu smartfona są:
100
x =
mm,
60
y =
mm.
II sposób
Tak jak w sposobie pierwszym obliczamy w milimetrach kwadratowych powierzchnię ekranu:
6060
6
10 .
P
x
y
Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną:
2
6
10
6
10
60
60 6000
6 10000
6 100
600.
2
x
y
x
y
xy
≥
⋅
⋅
⋅
= ⋅
Stąd wynika, że
6060
6
10
6060 1200
7260.
P
x
y
≥
W nierówności między średnimi równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby
występujące w tych średnich są równe.
Niech 6
10 ,
x
y
czyli
6000
6
10
x
x
⋅
Stąd otrzymujemy równanie:
2
10000
x =
Jedynym dodatnim rozwiązaniem tego równania jest
100
x =
Wtedy
60
y =
. Ponieważ
7260
P ≥
oraz dla
100
x =
i
60
y =
mamy
110 66
7260,
P =
⋅
więc ekran z obramowaniem ma najmniejszą powierzchnię dla
100
x =
i
60
y =
Poszukiwanymi wymiarami ekranu są:
100
x =
mm,
60
y =
mm.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
III sposób
Oznaczmy długości boków całego smartfona przez x i y (x>y) tak jak na rysunku:
Wtedy powierzchnia ekranu jest równa (w
2
mm ):
(
)(
)
10
6
6000
x
y
skąd wynika, że
6000
6
10
y
x
Powierzchnia całego smartfona (tj. ekranu z obramowaniem) jest równa
6000
6000
6
6
10
10
x
P
x
x
x
x
Ponieważ
6
x
y
\n
i
10
x >
, to
6000
6
10
x
x
. Stąd otrzymujemy kolejno:
2
10
6000
6
60
x
x
x
,
2
16
64
6004
x
x
,
(
)
2
8
6004
x -
,
8
2 1501
x -
,
2 1501
8
x >
Otrzymaliśmy funkcję P zmiennej x określoną wzorem
( )
6000
6
10
x
P x
x
x
dla
(
)
2 1501
8,
x∈
+∞.
Obliczamy pochodną funkcji P:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
6
10
10000
6000
10
6000
6
110
90
6
10
10
10
x
x
x
x
x
P
x
x
x
x
′
dla
(
)
2 1501
8,
x∈
+∞.
Miejscem zerowym pochodnej funkcji P jest
110
x =
, bo
2 1501
8
2 1521
8
2 39
8
86
110
<
⋅
<
Ponadto
( )
0
P x
′
<
dla
(
)
2 1501
8,110
x∈
oraz
( )
0
P x
′
dla
(
)
110,
x∈
+∞.
Zatem w przedziale (2 1501
8,110
funkcja P jest malejąca, a w przedziale
)
110,+∞
funkcja P jest rosnąca.
Stąd wynika, że funkcja P dla
110
x =
przyjmuje najmniejszą wartość.
Wtedy
6000
110 10
6
66
y
Poszukiwanymi wymiarami ekranu smartfona są:
100
x =
mm,
60
y =
mm.
$x = 100$ mm, $y = 60$ mm
"}]}