{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\n3\n7\n5\n11 5\n5\nn\nn\nn\na\nn\nn\ndla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥.\nGranica tego ciągu jest równa\nA. 3\nB.\n1\n5\nC. 3\n5\nD.\n5\n11\nGranica lim_{x→+∞}(x^3+8/x^2-4 -x) jest równa A. -∞ B. +∞ C. 0 D. -2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n5. Ciągi. Zdający oblicza granice\nciągów, korzystając z granic ciągów\ntypu 1\nn\n,\n2\n1\nn\noraz z twierdzeń\no działaniach na granicach ciągów\n(R5.2).\nC","solution":"1. Zacznijmy od zapisu wzoru ciągu: $$ a_n = \\frac{3n^2 + 7n - 5}{11 - 5n + 5n^2}. $$\n\n2. Aby znaleźć granicę tego ciągu, obliczamy granicę przy $n$ dążącym do nieskończoności: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n. $$\n\n3. Rozważmy oba stopnie wielomianu w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy $3n^2 + 7n - 5$, a w mianowniku $11 - 5n + 5n^2$.\n\n4. Dla dużych wartości $n$, wyrazy o najwyższych stopniach dominują, więc uprościmy granicę do: $$ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n^2}{5n^2}. $$\n\n5. Upraszczamy wyrażenie: $$ \\frac{3n^2}{5n^2} = \\frac{3}{5}. $$\n\n6. Zatem: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{3}{5}. $$\n\n7. Na podstawie obliczeń, wybieramy odpowiednią odpowiedź.\n\n**Odpowiedź:** $\\frac{3}{5}$.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Ciąg (
)
na
jest określony wzorem
2
2
3
7
5
11 5
5
n
n
n
a
n
n
dla każdej liczby naturalnej
1
n ≥.
Granica tego ciągu jest równa
A. 3
B.
1
5
C. 3
5
D.
5
11
Granica lim_{x→+∞}(x^3+8/x^2-4 -x) jest równa A. -∞ B. +∞ C. 0 D. -2

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Ciągi. Zdający oblicza granice
\n

ciągów, korzystając z granic ciągów
typu 1
n
,
2
1
n
oraz z twierdzeń
o działaniach na granicach ciągów
(R5.2).
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zacznijmy od zapisu wzoru ciągu: $$ a_n = \\frac{3n^2 + 7n - 5}{11 - 5n + 5n^2}. $$
\n
  1. Aby znaleźć granicę tego ciągu, obliczamy granicę przy $n$ dążącym do nieskończoności: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n. $$
\n
  1. Rozważmy oba stopnie wielomianu w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy $3n^2 + 7n - 5$, a w mianowniku $11 - 5n + 5n^2$.
\n
  1. Dla dużych wartości $n$, wyrazy o najwyższych stopniach dominują, więc uprościmy granicę do: $$ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n^2}{5n^2}. $$
\n
  1. Upraszczamy wyrażenie: $$ \\frac{3n^2}{5n^2} = \\frac{3}{5}. $$
\n
  1. Zatem: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{3}{5}. $$
\n
  1. Na podstawie obliczeń, wybieramy odpowiednią odpowiedź.
\n

Odpowiedź: $\\frac{3}{5}$.

"}]}