Zadanie 7. (0-3)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym
6
AC
BC
, a punkt D jest środkiem
podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku
AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz
2
KC
LC
(zobacz rysunek).
Wykaż, że
4
5
AM
MC =
K
L
MMA_1R
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
","answer_text_html":"Zadanie 7. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
cechy podobieństwa trójkątów (7.3).
Zasady oceniania I i II sposobu
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający:
skorzysta z podobieństwa trójkątów i zapisze, np.:
3
AD
KP
lub
CP
x
i
2
DP
x
albo
skorzysta z twierdzenia o odcinkach stycznych i zapisze, np.: KM
KP
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający:
skorzysta z podobieństwa trójkątów CPK i CMD i zapisze poprawne równanie
pozwalające obliczyć długość odcinka PK:
2
2
3
PK
x
x
albo
skorzysta z podobieństwa trójkątów ADM i ACD i zapisze poprawne równanie z jedną
niewiadomą, np. 4
3
3
6
t
t
t
, gdzie t
KM
KP
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający rozwiąże powyższe równanie i uzasadni, że
:
4 : 5
AM
MC =
Zasady oceniania rozwiązań zadań
A
B
C
M
D
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Najpierw uzupełnimy rysunek.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy
do odcinka AB.
Oznaczmy środek odcinka KL przez P i niech CP
x
Trójkąty CKP i CAD są podobne (cecha KKK) w skali 1:3. Wtedy
2
PD
x
i
2
MD
x
Trójkąty CPK i CMD są podobne (cecha KKK). Stąd PK
MD
CK
CD
, czyli
2
2
3
PK
x
x
Stąd
4
3
PK =
, więc
8
3
AM =
oraz
8
10
3
3
6
MC =
Zatem
8
3
10
3
4
5
AM
MC =
To kończy dowód.
II sposób
Najpierw uzupełnimy rysunek.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy
do odcinka AB .
Niech punkt P będzie środkiem odcinka KL.
Zauważamy, że KM
KP
, z twierdzenia o równości odcinków stycznych, łączących punkt
leżący poza okręgiem z punktami styczności.
A
B
C
M
D
K
L
P
K
L
P
x
Niech KM
KP
t
= . Wtedy
3
AD
t
i
4
AM
t
-. Trójkąt ADM jest podobny do trójkąta
ACD , na mocy cechy (kąt, kąt, kąt); są to trójkąty prostokątne, a kąt MAD jest wspólny dla
obu trójkątów.
Możemy zatem zapisać równość: AM
AD
AD
AC
, czyli 4
3
3
6
t
t
t
, skąd otrzymujemy równanie
2
9
6
24
0
t
t
Równanie to ma dwa rozwiązania:
2
t = -,
4
3
t =
. Odrzucamy ujemne rozwiązanie tego
równania.
Zatem
4
3
t =
. Ostatecznie
4
8
4
4
3
3
4
10
5
2
3
3
AM
MC
To kończy dowód.
Dowód.
"}]}