Zadanie 8. (0-3)
Liczby dodatnie a i b spełniają równość
2
2
2
4
4
a
a
b
b
. Wykaż, że
2
a
b
MMA_1R
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n^5-3n^4-n+3 jest podzielne przez 16.
Zadanie 8. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
skróconego mnożenia (
)
±
2
a
b
oraz
2
2
a
b (2.1).
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający zapisze równanie
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający zapisze wniosek
(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
Zasady oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający zapisze równanie
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
2
2
)1
2
(
)1
(
b
a
b
a
2
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
b
a
b
a
b
a
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający zapisze wniosek
(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
Zasady oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1p.
Zdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
4
4
a
a
b
b
np. zmiennej a,
(
)
2
4
2
b
Δ =
i zapisze, że jest on nieujemny dla każdej wartości b albo, że jest on dodatni
dla każdej wartości
0
b >
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.
Zdający obliczy pierwiastki trójmianu
2
2
2
4
4
a
a
b
b
:
2
2
a
b
lub
2
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3p.
Zdający zapisze pełne uzasadnienie.
Uwaga
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość równania jedynie dla wybranych wartości a i b,
to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zapisujemy równanie równoważne równaniu z założenia:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy to równanie w postaci
. Oba wyrażenia w nawiasach są dodatnie, zatem równość kwadratów jest
równoważna równości tych wyrażeń, stąd
i dalej,
To kończy dowód.
II sposób
Przekształcamy założenie równoważnie:
Liczby a i b są dodatnie, zatem
. Stąd
, czyli
To kończy dowód.
b
a
2
1
4
4
1
2
2
2
b
b
a
a
2
2
)1
2
(
)1
(
b
a
1
2
1
b
a
b
a
2
a
b
b
a
2
4
4
2
2
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
b
a
b
a
b
a
0
)
2
2
)(
2
(
b
a
b
a
0
2
2
≠
a
0
2 =
-b
a
b
a
2
III sposób
Wyrażenie
2
2
2
4
4
a
a
b
b
traktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
2
2
4
4
a
a
b
b
jest równy:
(
)
2
4
2
b
Δ =
Ten wyróżnik jest nieujemny dla każdej rzeczywistej wartości b.
Obliczamy pierwiastki tego trójmianu
2
2
a
b
lub
2
a
b
Ponieważ
0
b >
, więc liczba 2
2
0
b
<
, co jest sprzeczne z założeniem, że
0
a >
Zatem
2
a
b
To kończy dowód.
Dowód.
"}]}