{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n6\n9\nx\nx\ndla\n3\n3\nx =\n+ jest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 1 2 3\nD. 1\n2 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający\nposługuje się wzorami skróconego\nmnożenia: (\n)\n±\n2\na\nb\n, (\n)\n±\n3\na\nb\n,\n2\n2\na\nb ,\n±\n3\n3\na\nb (2.a).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(17 + 4\\sqrt{15}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\nMamy wyrażenie \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:\n\\[a = \\sqrt{5}, \\quad b = 2\\sqrt{3}\\]\n\nLiczymy każdy składnik:\n\\[a^2 = \\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\]\n\\[2ab = 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\]\n\\[b^2 = \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4\\sqrt{15} + 12 = \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpisanie \"na piechotę\" (bez wzoru)\n\nMnożymy \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\) jak zwykłe dwumiany:\n\\[= \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} + \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{5} + 2\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]\n\\[= 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4 \\cdot 3\\]\n\\[= 5 + 4\\sqrt{15} + 12\\]\n\\[= \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobra weryfikacja!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 jako główne narzędzie.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]\nUżyliśmy przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\) oraz \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(11\\) | Policzono \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 + \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4 = 9\\) albo po prostu \\(5 + 6 = 11\\), zapominając o potędze przy \\(2\\sqrt{3}\\) i o członie mieszanym |\n| B - \\(17\\) | Policzono \\(5 + 12 = 17\\), ale **zapomniano o członie \\(2ab = 4\\sqrt{15}\\)** - to najczęstszy błąd! |\n| D - \\(17 + 2\\sqrt{15}\\) | Policzono \\(2ab\\) jako \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = 2\\sqrt{15}\\), zapominając o współczynniku \\(2\\) przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Powinno być \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie członu mieszanego \\(2ab\\) - uczniowie liczą tylko \\(a^2 + b^2\\), co daje odpowiedź B. Pamiętaj: kwadrat sumy to **trzy** składniki, nie dwa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\) pamiętaj, że \\(b^2 = (2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a **nie** \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Cała cyfra \\(2\\) też się podnosi do kwadratu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\), a nie \\(\\sqrt{8}\\) ani \\(\\sqrt{2}\\). Pierwiastki mnoży się pod jednym znakiem tylko przy mnożeniu, nigdy przy dodawaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\\[(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2\\cdot\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2.\\]\nObliczmy każdy człon:\n- \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\),\n- \\(2\\cdot\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\),\n- \\((2\\sqrt{3})^2 = 4\\cdot 3 = 12\\).\n\nSuma: \\(5 + 12 + 4\\sqrt{15} = 17 + 4\\sqrt{15}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie przez mnożenie bezpośrednie\n\\((\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}) = 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4\\cdot 3 = 17 + 4\\sqrt{15}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(11\\)** - ktoś pominął środkowy składnik i źle dodał.\n- **B. \\(17\\)** - prawidłowa część wymierna, ale brak członu \\(4\\sqrt{15}\\) (klasyczny błąd: \\((a+b)^2 \\ne a^2+b^2\\)).\n- **D. \\(17 + 2\\sqrt{15}\\)** - zapomniano o podwojeniu iloczynu środkowego.\n\n**Klucz:** we wzorze \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) środek to \\(2ab\\), nie \\(ab\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
2
6
9
x
x
dla
3
3
x =

\n\n

A. 1
B. 3
C. 1 2 3
D. 1
2 3

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający
\n

posługuje się wzorami skróconego
mnożenia: (
)
±
2
a
b
, (
)
±
3
a
b
,
2
2
a
b ,
±
3
3
a
b (2.a).
Wersja X
Wersja Y
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(17 + 4\\sqrt{15}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)

\n

Mamy wyrażenie \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:
\\[a = \\sqrt{5}, \\quad b = 2\\sqrt{3}\\]

\n

Liczymy każdy składnik:
\\[a^2 = \\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\]
\\[2ab = 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\]
\\[b^2 = \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\]

\n

Składamy razem:
\\[\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4\\sqrt{15} + 12 = \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]

\n

Sposób 2 - Rozpisanie "na piechotę" (bez wzoru)

\n

Mnożymy \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\) jak zwykłe dwumiany:
\\[= \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} + \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{5} + 2\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]
\\[= 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4 \\cdot 3\\]
\\[= 5 + 4\\sqrt{15} + 12\\]
\\[= \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobra weryfikacja!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 jako główne narzędzie.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]
Użyliśmy przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\) oraz \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(11\\) | Policzono \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 + \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4 = 9\\) albo po prostu \\(5 + 6 = 11\\), zapominając o potędze przy \\(2\\sqrt{3}\\) i o członie mieszanym |
| B - \\(17\\) | Policzono \\(5 + 12 = 17\\), ale zapomniano o członie \\(2ab = 4\\sqrt{15}\\) - to najczęstszy błąd! |
| D - \\(17 + 2\\sqrt{15}\\) | Policzono \\(2ab\\) jako \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = 2\\sqrt{15}\\), zapominając o współczynniku \\(2\\) przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Powinno być \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie członu mieszanego \\(2ab\\) - uczniowie liczą tylko \\(a^2 + b^2\\), co daje odpowiedź B. Pamiętaj: kwadrat sumy to trzy składniki, nie dwa!
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\) pamiętaj, że \\(b^2 = (2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a nie \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Cała cyfra \\(2\\) też się podnosi do kwadratu!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\), a nie \\(\\sqrt{8}\\) ani \\(\\sqrt{2}\\). Pierwiastki mnoży się pod jednym znakiem tylko przy mnożeniu, nigdy przy dodawaniu!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)
\n

\\[(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2\\cdot\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2.\\]
Obliczmy każdy człon:

\n\n

Suma: \\(5 + 12 + 4\\sqrt{15} = 17 + 4\\sqrt{15}\\).

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie przez mnożenie bezpośrednie
\n

\\((\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}) = 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4\\cdot 3 = 17 + 4\\sqrt{15}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Klucz: we wzorze \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) środek to \\(2ab\\), nie \\(ab\\).

"}]}