Zadanie 10. (1 pkt)
Równanie (
)
(
)
2
2
2
x x
x
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie:
2
x
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie:
0
x
D. ma dwa różne rozwiązania:
1
x
i
2
x
Zadanie 10. (1 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
rozwiązuje równania i nierówności
kwadratowe; zapisuje rozwiązanie
w postaci sumy przedziałów (3.a).
Wersja X
Wersja Y
B
B
\\[\\begin{cases} a > 0 \\\\ c > 0 \\end{cases}\\]
\nZ wykresu odczytujemy dwie niezależne informacje:
\nKrok 1: Wyznaczamy znak \\(a\\) - kierunek ramion paraboli.
\nRamiona paraboli są skierowane ku górze (parabola ma minimum).
\n\\[a > 0 \\iff \\text{ramiona skierowane ku górze}\\]
\nEliminujemy odpowiedzi A i B (oba mają \\(a < 0\\)).
\nKrok 2: Wyznaczamy znak \\(c\\) - punkt przecięcia wykresu z osią OY.
\nPodstawiamy \\(x = 0\\) do wzoru funkcji:
\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c\\]
Zatem \\(c\\) to po prostu wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\), czyli współrzędna y przecięcia paraboli z osią OY.
\nZ wykresu widać, że wykres przecina oś OY powyżej początku układu współrzędnych:
\\[f(0) > 0 \\implies c > 0\\]
Wniosek: \\(a > 0\\) i \\(c > 0\\), czyli odpowiedź D.
\nSkoro \\(a > 0\\), parabola ma minimum w wierzchołku \\(W = (p, q)\\).
\nZ wykresu wierzchołek leży poniżej osi OX (najniższy punkt paraboli jest pod osią), a przecięcie z osią OY leży powyżej osi OX.
\nZapis przez postać kanoniczną:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]
gdzie \\(q < 0\\) (wierzchołek poniżej OX) i \\(a > 0\\).
\nSprawdzamy \\(f(0)\\):
\\[f(0) = a(0 - p)^2 + q = ap^2 + q\\]
Ponieważ \\(a > 0\\), \\(p^2 > 0\\), więc człon \\(ap^2\\) jest odpowiednio duży, żeby \\(ap^2 + q > 0\\) - co zgadza się z odczytem \\(c > 0\\) z wykresu.
\nTo potwierdza odpowiedź D.
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać ogólna i wartość w punkcie \\(x = 0\\):
\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad f(0) = c\\]
Użyliśmy faktu, że wyraz wolny \\(c\\) to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli przecięcie z osią OY.
\nPoza tym kluczowa jest interpretacja geometryczna znaku \\(a\\):
\n| Odp. | Błąd |
| A | \\(a < 0\\) - zakłada ramiona skierowane w dół, ale wykres pokazuje parabolę otwartą ku górze |
| B | \\(a < 0\\) - ten sam błąd co w A; prawidłowo odczytano \\(c > 0\\), ale zły znak \\(a\\) |
| C | \\(c < 0\\) - zakłada, że przecięcie z osią OY jest poniżej osi OX, ale z wykresu widać je powyżej |
⚠️ Uwaga: Znak \\(a\\) to kierunek ramion, nie to, gdzie leży wierzchołek. Nawet jeśli minimum paraboli jest poniżej osi OX, ramiona mogą być skierowane ku górze (i wtedy \\(a > 0\\)).\n
⚠️ Uwaga: \\(c\\) to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt na osi OY - nie ma nic wspólnego z osią OX ani wierzchołkiem. Uczniowie mylą \\(c\\) ze współrzędną \\(q\\) wierzchołka!\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić znaku \\(c\\) ze znakiem \\(\\Delta\\) (wyróżnika). To dwie różne rzeczy - \\(\\Delta < 0\\) oznacza brak miejsc zerowych, ale \\(c\\) może mieć dowolny znak.\n
Poprawna odpowiedź: D
\nNa rysunku parabola ma ramiona skierowane w górę → współczynnik \\(a > 0\\).
Wykres przecina oś \\(y\\) (punkt \\(x = 0\\)) powyżej osi \\(x\\) - wartość \\(f(0) = c > 0\\).
\\(c\\) = punkt przecięcia z osią \\(y\\). Na rysunku ten punkt jest dodatni. Dodatkowo wierzchołek paraboli leży nad osią \\(x\\), a parabola skierowana jest w górę, więc cała parabola ma znak dodatni - stąd \\(c > 0\\).
\nKlucz: \\(a\\) = kierunek ramion (dodatnie → w górę); \\(c = f(0)\\) = punkt przecięcia z osią \\(y\\).
"}]}