{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\nf x\nax\nb\nWspółczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność\nA.\n0\na\nb\n>\nB.\n0\na\nb\nC.\n0\na b\n⋅\n>\nD.\n0\na b\n⋅<","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we\nwzorze funkcji liniowej (4.g).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRozwiązaniem jest \\(x = 3\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = 0\\]\n\n**Krok 1: Kiedy ułamek równa się zero?**\n\nUłamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik \\(L = 0\\)** i jednocześnie **mianownik \\(M \\neq 0\\)**.\n\n**Krok 2: Wyłuczamy wspólny czynnik - licznik**\n\n\\[x^2 - 3x = x(x - 3) = 0\\]\n\nStąd: \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\).\n\n**Krok 3: Sprawdzamy mianownik - dziedzina równania**\n\n\\[x^2 + x = x(x + 1) = 0\\]\n\nMianownik zeruje się dla \\(x = 0\\) lub \\(x = -1\\). Obie te wartości **wypadają z dziedziny** (dzielenie przez zero jest niedozwolone).\n\n**Krok 4: Wybieramy rozwiązanie należące do dziedziny**\n\nZ kandydatów \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\):\n- \\(x = 0\\) - **wykluczone** (zeruje mianownik)\n- \\(x = 3\\) - **poprawne** (\\(x^2 + x = 9 + 3 = 12 \\neq 0\\))\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja\n\n**Krok 1: Wyłuczamy \\(x\\) w liczniku i mianowniku**\n\n\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = \\frac{x(x-3)}{x(x+1)}\\]\n\nDla \\(x \\neq 0\\) możemy skrócić przez \\(x\\):\n\n\\[\\frac{x-3}{x+1} = 0\\]\n\n**Krok 2: Rozwiązujemy uproszczone równanie**\n\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 3\\) należy do dziedziny: \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq -1\\) - tak, \\(3\\) jest poprawne.\n\n**Weryfikacja - podstawiamy \\(x = 3\\) do oryginalnego wyrażenia:**\n\n\\[\\frac{3^2 - 3 \\cdot 3}{3^2 + 3} = \\frac{9 - 9}{9 + 3} = \\frac{0}{12} = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebraiczne wyłączanie wspólnego czynnika i definicja dziedziny ułamka. Umiejętność rozkładu na czynniki (\\(x^2 - 3x = x(x-3)\\)) to podstawa szkolna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-3\\) | Mylenie zera mianownika z zerem licznika - \\(x = -1\\) zeruje mianownik, a uczeń \"wstecznie\" liczy \\(-1 - 2 = -3\\)? Brak logicznego uzasadnienia, po prostu zła liczba. |\n| B. \\(0\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń rozwiązuje \\(x(x-3) = 0\\) i wybiera \\(x = 0\\), nie zauważając, że \\(x = 0\\) zeruje też mianownik \\(x(x+1)\\) - czyli jest poza dziedziną. |\n| D. \\(9\\) | Możliwy błąd: uczeń podstawia \\(x = 3\\) i liczy \\(9 - 3 = 6\\)? Lub pomyla \\(x = 3\\) z \\(x^2 = 9\\) i podaje \\(9\\) jako odpowiedź. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(x = 0\\)) to klasyczna pułapka - \\(x = 0\\) zeruje licznik, ale **też mianownik**. Takie \\(x\\) jest poza dziedziną i NIE jest rozwiązaniem równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed rozwiązaniem zawsze wyznaczaj dziedzinę! Przy ułamkach algebraicznych wyklucz wszystkie \\(x\\), które zerują mianownik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skracanie ułamka przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\) - dlatego po skróceniu nadal musisz pamiętać o tym warunku i sprawdzić, czy \\(x = 0\\) nie było rozwiązaniem (tutaj nie było, bo zeruje mianownik).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Ułamek = 0 ⇔ licznik = 0 i mianownik ≠ 0\n**Licznik:** \\(x^2 - 3x = x(x-3) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 3\\).\n**Dziedzina (mianownik ≠ 0):** \\(x^2 + x = x(x+1) \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne 0\\) i \\(x \\ne -1\\).\n\nZ warunków: \\(x = 0\\) odpada (wpadło do dziedziny), pozostaje \\(x = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie ułamka\n\\[\\dfrac{x^2-3x}{x^2+x} = \\dfrac{x(x-3)}{x(x+1)} = \\dfrac{x-3}{x+1} \\quad (x\\ne 0, x\\ne -1).\\]\nRówna się zero, gdy \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - podstawiając: licznik \\(9+9 = 18 \\ne 0\\).\n- **B. \\(0\\)** - dzielenie przez zero! Mianownik = \\(0\\), wartość nieokreślona.\n- **D. \\(9\\)** - licznik: \\(81 - 27 = 54 \\ne 0\\).\n\n**Klucz:** pamiętaj o dziedzinie! \\(x = 0\\) zeruje także mianownik.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem
( )
f x
ax
b
Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność
A.
0
a
b

\n
\n

B.
0
a
b
C.
0
a b
⋅

\n
\n

D.
0
a b
⋅<

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający wykorzystuje
\n

interpretację współczynników we
wzorze funkcji liniowej (4.g).
Wersja X
Wersja Y
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Rozwiązaniem jest \\(x = 3\\).

\n

Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0

\n

Mamy równanie:
\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = 0\\]

\n

Krok 1: Kiedy ułamek równa się zero?

\n

Ułamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy licznik \\(L = 0\\) i jednocześnie mianownik \\(M \\neq 0\\).

\n

Krok 2: Wyłuczamy wspólny czynnik - licznik

\n

\\[x^2 - 3x = x(x - 3) = 0\\]

\n

Stąd: \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\).

\n

Krok 3: Sprawdzamy mianownik - dziedzina równania

\n

\\[x^2 + x = x(x + 1) = 0\\]

\n

Mianownik zeruje się dla \\(x = 0\\) lub \\(x = -1\\). Obie te wartości wypadają z dziedziny (dzielenie przez zero jest niedozwolone).

\n

Krok 4: Wybieramy rozwiązanie należące do dziedziny

\n

Z kandydatów \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\):

\n\n

Odpowiedź: \\(x = 3\\)

\n

Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja

\n

Krok 1: Wyłuczamy \\(x\\) w liczniku i mianowniku

\n

\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = \\frac{x(x-3)}{x(x+1)}\\]

\n

Dla \\(x \\neq 0\\) możemy skrócić przez \\(x\\):

\n

\\[\\frac{x-3}{x+1} = 0\\]

\n

Krok 2: Rozwiązujemy uproszczone równanie

\n

\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 3\\) należy do dziedziny: \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq -1\\) - tak, \\(3\\) jest poprawne.

\n

Weryfikacja - podstawiamy \\(x = 3\\) do oryginalnego wyrażenia:

\n

\\[\\frac{3^2 - 3 \\cdot 3}{3^2 + 3} = \\frac{9 - 9}{9 + 3} = \\frac{0}{12} = 0 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebraiczne wyłączanie wspólnego czynnika i definicja dziedziny ułamka. Umiejętność rozkładu na czynniki (\\(x^2 - 3x = x(x-3)\\)) to podstawa szkolna.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(-3\\) | Mylenie zera mianownika z zerem licznika - \\(x = -1\\) zeruje mianownik, a uczeń "wstecznie" liczy \\(-1 - 2 = -3\\)? Brak logicznego uzasadnienia, po prostu zła liczba. |
| B. \\(0\\) | Najczęstszy błąd! Uczeń rozwiązuje \\(x(x-3) = 0\\) i wybiera \\(x = 0\\), nie zauważając, że \\(x = 0\\) zeruje też mianownik \\(x(x+1)\\) - czyli jest poza dziedziną. |
| D. \\(9\\) | Możliwy błąd: uczeń podstawia \\(x = 3\\) i liczy \\(9 - 3 = 6\\)? Lub pomyla \\(x = 3\\) z \\(x^2 = 9\\) i podaje \\(9\\) jako odpowiedź. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B (\\(x = 0\\)) to klasyczna pułapka - \\(x = 0\\) zeruje licznik, ale też mianownik. Takie \\(x\\) jest poza dziedziną i NIE jest rozwiązaniem równania.
\n
⚠️ Uwaga: Przed rozwiązaniem zawsze wyznaczaj dziedzinę! Przy ułamkach algebraicznych wyklucz wszystkie \\(x\\), które zerują mianownik.
\n
⚠️ Uwaga: Skracanie ułamka przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\) - dlatego po skróceniu nadal musisz pamiętać o tym warunku i sprawdzić, czy \\(x = 0\\) nie było rozwiązaniem (tutaj nie było, bo zeruje mianownik).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Ułamek = 0 ⇔ licznik = 0 i mianownik ≠ 0
\n

Licznik: \\(x^2 - 3x = x(x-3) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 3\\).
Dziedzina (mianownik ≠ 0): \\(x^2 + x = x(x+1) \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne 0\\) i \\(x \\ne -1\\).

\n

Z warunków: \\(x = 0\\) odpada (wpadło do dziedziny), pozostaje \\(x = 3\\).

\n
Sposób 2 - Uproszczenie ułamka
\n

\\[\\dfrac{x^2-3x}{x^2+x} = \\dfrac{x(x-3)}{x(x+1)} = \\dfrac{x-3}{x+1} \\quad (x\\ne 0, x\\ne -1).\\]
Równa się zero, gdy \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Klucz: pamiętaj o dziedzinie! \\(x = 0\\) zeruje także mianownik.

"}]}