{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem ( )\n4\n1\nx\nf x\n+ dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba\n1\n2\nf \n\n\n\n\n\njest równa\nA. 1\n2\nB. 3\n2\nC. 3\nD. 17","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza\nwykresy funkcji wykładniczych dla\nróżnych podstaw i rozwiązuje zadania\numieszczone w kontekście\npraktycznym (4.n).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie promienia ze wzoru na odległość punktów\n\nPunkt \\(P = (1, 3)\\) leży na okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\), więc odległość \\(|SP|\\) jest **promieniem** tego okręgu.\n\nKrok 1: Oblicz promień \\(r = |SP|\\):\n\\[r = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\]\n\nKrok 2: Oblicz długość (obwód) okręgu:\n\\[L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez równanie okręgu\n\nKrok 1: Zapisz równanie okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\) i promieniu \\(r = \\sqrt{2}\\):\n\\[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\\]\n\nKrok 2: Sprawdź, czy punkt \\(P = (1, 3)\\) leży na tym okręgu - podstaw \\(x = 1\\), \\(y = 3\\):\n\\[(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(P\\) rzeczywiście należy do okręgu, więc \\(r = \\sqrt{2}\\) jest poprawne, a długość okręgu to \\(2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - obwód koła:\n\\[L = 2\\pi r\\]\nUżyliśmy go do obliczenia długości okręgu z wyznaczonego promienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Przyjęto \\(r = 2\\sqrt{2}\\) - np. policzono \\(2 \\cdot |SP|\\) zamiast \\(|SP|\\), czyli podwojono promień |\n| B | Przyjęto \\(r = \\frac{3\\sqrt{2}}{2}\\) - błędne obliczenie odległości, np. sumowano współrzędne zamiast ich kwadratów |\n| D | Przyjęto \\(r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. wzięto \\(\\sqrt{\\frac{1+1}{4}}\\), błąd przy wyciąganiu pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt należący do okręgu to punkt leżący **na** okręgu, więc odległość od środka = promień. Nie mylić z punktem wewnątrz koła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na odległość zawiera **różnice współrzędnych pod kwadratem** - uważaj na znaki: \\((-1)^2 = 1\\), nie \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **długość okręgu** (obwód), czyli \\(L = 2\\pi r\\), a nie o pole koła (\\(P = \\pi r^2\\)). To częsty błąd - przy \\(r = \\sqrt{2}\\) pole wynosiłoby \\(2\\pi\\), czyli wynik bez pierwiastka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Promień = odległość \\(SP\\)\n\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-1)^2 + (4-3)^2} = \\sqrt{1+1} = \\sqrt{2}.\\]\nDługość okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja wzorem na kwadrat promienia\n\\((2-1)^2 + (4-3)^2 = 1 + 1 = 2\\). Więc \\(r^2 = 2\\), stąd \\(r = \\sqrt{2}\\). \\(L = 2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\pi\\sqrt{2}\\)** - podwojono promień (wzięto średnicę zamiast promienia).\n- **B. \\(3\\pi\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił wzór na długość okręgu.\n- **D. \\(\\pi\\sqrt{2}\\)** - zapomniano o czynniku \\(2\\) we wzorze \\(L = 2\\pi r\\).\n\n**Klucz:** \\(L = 2\\pi r\\), \\(r\\) = odległość środka od dowolnego punktu na okręgu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Funkcja f jest określona wzorem ( )<br>4<br>1<br>x<br>f x</p>\n<ul><li>dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba</li></ul>\n<p>1<br>2<br>f <br><br><br><br><br><br>jest równa<br>A. 1<br>2<br>B. 3<br>2<br>C. 3<br>D. 17</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający sporządza</li></ol>\n<p>wykresy funkcji wykładniczych dla<br>różnych podstaw i rozwiązuje zadania<br>umieszczone w kontekście<br>praktycznym (4.n).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - obliczenie promienia ze wzoru na odległość punktów</h4>\n<p>Punkt \\(P = (1, 3)\\) leży na okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\), więc odległość \\(|SP|\\) jest <strong>promieniem</strong> tego okręgu.</p>\n<p>Krok 1: Oblicz promień \\(r = |SP|\\):<br>\\[r = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]<br>\\[r = \\sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2}\\]<br>\\[r = \\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}\\]<br>\\[r = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Krok 2: Oblicz długość (obwód) okręgu:<br>\\[L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez równanie okręgu</h4>\n<p>Krok 1: Zapisz równanie okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\) i promieniu \\(r = \\sqrt{2}\\):<br>\\[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\\]</p>\n<p>Krok 2: Sprawdź, czy punkt \\(P = (1, 3)\\) leży na tym okręgu - podstaw \\(x = 1\\), \\(y = 3\\):<br>\\[(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Punkt \\(P\\) rzeczywiście należy do okręgu, więc \\(r = \\sqrt{2}\\) jest poprawne, a długość okręgu to \\(2\\pi\\sqrt{2}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 18)</strong> - obwód koła:<br>\\[L = 2\\pi r\\]<br>Użyliśmy go do obliczenia długości okręgu z wyznaczonego promienia.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Przyjęto \\(r = 2\\sqrt{2}\\) - np. policzono \\(2 \\cdot |SP|\\) zamiast \\(|SP|\\), czyli podwojono promień |<br>| B | Przyjęto \\(r = \\frac{3\\sqrt{2}}{2}\\) - błędne obliczenie odległości, np. sumowano współrzędne zamiast ich kwadratów |<br>| D | Przyjęto \\(r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. wzięto \\(\\sqrt{\\frac{1+1}{4}}\\), błąd przy wyciąganiu pierwiastka |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt należący do okręgu to punkt leżący <strong>na</strong> okręgu, więc odległość od środka = promień. Nie mylić z punktem wewnątrz koła!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na odległość zawiera <strong>różnice współrzędnych pod kwadratem</strong> - uważaj na znaki: \\((-1)^2 = 1\\), nie \\(-1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o <strong>długość okręgu</strong> (obwód), czyli \\(L = 2\\pi r\\), a nie o pole koła (\\(P = \\pi r^2\\)). To częsty błąd - przy \\(r = \\sqrt{2}\\) pole wynosiłoby \\(2\\pi\\), czyli wynik bez pierwiastka.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Promień = odległość \\(SP\\)</h5>\n<p>\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-1)^2 + (4-3)^2} = \\sqrt{1+1} = \\sqrt{2}.\\]<br>Długość okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja wzorem na kwadrat promienia</h5>\n<p>\\((2-1)^2 + (4-3)^2 = 1 + 1 = 2\\). Więc \\(r^2 = 2\\), stąd \\(r = \\sqrt{2}\\). \\(L = 2\\pi\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\pi\\sqrt{2}\\)</strong> - podwojono promień (wzięto średnicę zamiast promienia).</li><li><strong>B. \\(3\\pi\\sqrt{2}\\)</strong> - ktoś pomylił wzór na długość okręgu.</li><li><strong>D. \\(\\pi\\sqrt{2}\\)</strong> - zapomniano o czynniku \\(2\\) we wzorze \\(L = 2\\pi r\\).</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> \\(L = 2\\pi r\\), \\(r\\) = odległość środka od dowolnego punktu na okręgu.</p>"}]}