{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\ny\nm\nx\noraz\n3\n7\n4\ny\nx\nsą równoległe. Wtedy\nA.\n5\n4\nm = -\nB.\n2\n3\nm =\nC.\n11\n4\nm =\nD.\n10\n3\nm =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający bada\nrównoległość i prostopadłość prostych\nna podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja X\nWersja Y\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)\n\n## Sposób 1 - warunek równoległości i podstawienie punktu\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy danej prostej.**\n\nProsta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 2: Zastosuj warunek równoległości.**\n\nDwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **ten sam współczynnik kierunkowy**.\n\nZatem prosta \\(l\\) ma postać:\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + b\\]\ngdzie \\(b\\) jest nieznanym wyrazem wolnym.\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(b\\) z warunku, że punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na prostej \\(l\\).**\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 7\\):\n\\[7 = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + b\\]\n\\[7 = b\\]\n\n**Wynik: \\(l\\colon \\quad y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)**\n\n## Sposób 2 - obserwacja: punkt leży na osi OY\n\nPunkt \\(P = (0, 7)\\) ma \\(x = 0\\), czyli leży **na osi OY**. Oznacza to, że jest to wprost punkt przecięcia prostej \\(l\\) z osią OY - czyli wyraz wolny to **od razu** \\(b = 7\\).\n\nNie trzeba nawet liczyć - wystarczy zauważyć, że dla prostej \\(y = ax + b\\):\n\\[b = f(0)\\]\nSkoro \\(f(0) = 7\\), to \\(b = 7\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy, jak w Sposobie 1, musi być \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\) (warunek równoległości).\n\nStąd natychmiast: \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\noraz warunek równoległości prostych:\n\\[a_1 = a_2\\]\nUżyliśmy tego, żeby ustalić, że prosta równoległa do \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) musi mieć ten sam współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto współczynnik \\(a = 2\\) - czyli **odwrotność** współczynnika danej prostej zamiast tę samą wartość. Dodatkowo \\(b = 0\\), co nie pasuje do punktu \\((0,7)\\). |\n| B | Poprawnie podstawiono punkt \\(P = (0,7)\\) i odczytano \\(b = 7\\), ale błędnie przyjęto \\(a = 2\\) (odwrotność ze zmienionym znakiem). |\n| C | Poprawnie wzięto \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zapomniano wyznaczyć \\(b\\) z warunku punktu - przyjęto \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 7\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste prostopadłe mają współczynniki \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a równoległe - **te same** współczynniki. Łatwo pomylić te dwa warunki i wziąć \\(a = 2\\) (odwrotność z przeciwnym znakiem) zamiast \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na osi OY - wartość \\(y = 7\\) to od razu wyraz wolny. Nie trzeba rozwiązywać równania, ale warto to świadomie zauważyć, żeby nie zrobić błędu rachunkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x\\) (odp. C) też ma dobry współczynnik kierunkowy, ale przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), a nie przez \\((0,7)\\) - nigdy nie wolno zakładać \\(b = 0\\) bez sprawdzenia!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własności prostych równoległych\nProste równoległe mają **ten sam** współczynnik kierunkowy. Dla prostej \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2\\) jest to \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Więc \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + b\\).\nPunkt \\(P = (0, 7)\\) leży na \\(l\\): \\(7 = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + b \\Rightarrow b = 7\\).\nZatem \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + 7\\).\n\n### Sposób 2 - Punkt \\(P\\) na osi \\(y\\)\n\\(P = (0,7)\\) to punkt przecięcia prostej z osią \\(y\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 7\\). Współczynnik kierunkowy zachowany: \\(-\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - współczynnik \\(2\\) odpowiada prostej **prostopadłej** (bo \\(-\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = -1\\)), a nie równoległej.\n- **C.** Poprawny współczynnik, ale \\(b = 0\\), a punkt \\((0, 7)\\) nie leży na \\(y = -\\tfrac{1}{2}x\\).\n\n**Klucz:** proste równoległe - ten sam \\(a\\); prostopadłe - \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Proste o równaniach<br>(<br>)<br>2<br>y<br>m<br>x<br>oraz<br>3<br>7<br>4<br>y<br>x<br>są równoległe. Wtedy<br>A.<br>5<br>4<br>m = -<br>B.<br>2<br>3<br>m =<br>C.<br>11<br>4<br>m =<br>D.<br>10<br>3<br>m =<br>x<br>y<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>0<br>-1<br>-2<br>1<br>2<br>3<br>4<br>-3<br>-4</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie</li></ol>\n<p>kartezjańskiej. Zdający bada<br>równoległość i prostopadłość prostych<br>na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.c).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - warunek równoległości i podstawienie punktu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy danej prostej.</strong></p>\n<p>Prosta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj warunek równoległości.</strong></p>\n<p>Dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają <strong>ten sam współczynnik kierunkowy</strong>.</p>\n<p>Zatem prosta \\(l\\) ma postać:<br>\\[y = -\\frac{1}{2}x + b\\]<br>gdzie \\(b\\) jest nieznanym wyrazem wolnym.</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz \\(b\\) z warunku, że punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na prostej \\(l\\).</strong></p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 7\\):<br>\\[7 = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + b\\]<br>\\[7 = b\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(l\\colon \\quad y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - obserwacja: punkt leży na osi OY</h4>\n<p>Punkt \\(P = (0, 7)\\) ma \\(x = 0\\), czyli leży <strong>na osi OY</strong>. Oznacza to, że jest to wprost punkt przecięcia prostej \\(l\\) z osią OY - czyli wyraz wolny to <strong>od razu</strong> \\(b = 7\\).</p>\n<p>Nie trzeba nawet liczyć - wystarczy zauważyć, że dla prostej \\(y = ax + b\\):<br>\\[b = f(0)\\]<br>Skoro \\(f(0) = 7\\), to \\(b = 7\\).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy, jak w Sposobie 1, musi być \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\) (warunek równoległości).</p>\n<p>Stąd natychmiast: \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>oraz warunek równoległości prostych:<br>\\[a_1 = a_2\\]<br>Użyliśmy tego, żeby ustalić, że prosta równoległa do \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) musi mieć ten sam współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Wzięto współczynnik \\(a = 2\\) - czyli <strong>odwrotność</strong> współczynnika danej prostej zamiast tę samą wartość. Dodatkowo \\(b = 0\\), co nie pasuje do punktu \\((0,7)\\). |<br>| B | Poprawnie podstawiono punkt \\(P = (0,7)\\) i odczytano \\(b = 7\\), ale błędnie przyjęto \\(a = 2\\) (odwrotność ze zmienionym znakiem). |<br>| C | Poprawnie wzięto \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zapomniano wyznaczyć \\(b\\) z warunku punktu - przyjęto \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 7\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proste prostopadłe mają współczynniki \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a równoległe - <strong>te same</strong> współczynniki. Łatwo pomylić te dwa warunki i wziąć \\(a = 2\\) (odwrotność z przeciwnym znakiem) zamiast \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na osi OY - wartość \\(y = 7\\) to od razu wyraz wolny. Nie trzeba rozwiązywać równania, ale warto to świadomie zauważyć, żeby nie zrobić błędu rachunkowego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x\\) (odp. C) też ma dobry współczynnik kierunkowy, ale przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), a nie przez \\((0,7)\\) - nigdy nie wolno zakładać \\(b = 0\\) bez sprawdzenia!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własności prostych równoległych</h5>\n<p>Proste równoległe mają <strong>ten sam</strong> współczynnik kierunkowy. Dla prostej \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2\\) jest to \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Więc \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + b\\).<br>Punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na \\(l\\): \\(7 = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + b \\Rightarrow b = 7\\).<br>Zatem \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + 7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Punkt \\(P\\) na osi \\(y\\)</h5>\n<p>\\(P = (0,7)\\) to punkt przecięcia prostej z osią \\(y\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 7\\). Współczynnik kierunkowy zachowany: \\(-\\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B</strong> - współczynnik \\(2\\) odpowiada prostej <strong>prostopadłej</strong> (bo \\(-\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = -1\\)), a nie równoległej.</li><li><strong>C.</strong> Poprawny współczynnik, ale \\(b = 0\\), a punkt \\((0, 7)\\) nie leży na \\(y = -\\tfrac{1}{2}x\\).</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> proste równoległe - ten sam \\(a\\); prostopadłe - \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).</p>"}]}