{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\nna\nn\ndla\n1\nn ≥. Różnica\n5\n4\na\na\njest równa\nA. 4\nB. 20\nC. 36\nD. 18","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy\nciągu określonego wzorem ogólnym\n(5.a).\nWersja X\nWersja Y\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\n**Co wiemy:**\n- \\(S = (4, 8)\\) - środek odcinka \\(PQ\\)\n- \\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), więc \\(P = (0, y_P)\\) (współrzędna \\(x\\) wynosi 0)\n- \\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc \\(Q = (x_Q, 0)\\) (współrzędna \\(y\\) wynosi 0)\n\n**Stosujemy wzór na środek odcinka:**\n\n\\[x_S = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x_Q\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[4 = \\frac{0 + x_Q}{2} \\implies x_Q = 8\\]\n\n**Wyznaczamy \\(y_P\\) z drugiego równania:**\n\n\\[8 = \\frac{y_P + 0}{2} \\implies y_P = 16\\]\n\n**Zatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).**\n\n## Sposób 2 - Symetria środka (geometryczny)\n\nŚrodek \\(S\\) dzieli odcinek \\(PQ\\) na dwie **równe połówki**. Oznacza to, że \\(S\\) jest w połowie drogi między \\(P\\) a \\(Q\\).\n\nJeśli \\(P = (0, y_P)\\), to żeby dostać się z \\(P\\) do \\(S = (4, 8)\\), przesuwamy się o wektor \\([4, 8 - y_P]\\).\n\nTaki sam wektor prowadzi z \\(S\\) do \\(Q\\):\n\n\\[Q = S + [4,\\; 8 - y_P] = (4 + 4,\\; 8 + 8 - y_P) = (8,\\; 16 - y_P)\\]\n\nAle \\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc jego współrzędna \\(y\\) wynosi 0:\n\n\\[16 - y_P = 0 \\implies y_P = 16\\]\n\nStąd \\(P = (0, 16)\\), \\(Q = (8, 0)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - wzór na współrzędne środka odcinka:\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia obu brakujących współrzędnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Podane punkty | Środek tych punktów | Błąd |\n| B | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(16,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+16}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (8, 4)\\) | Zamieniono współrzędne środka miejscami - wzięto \\(x=8, y=4\\) zamiast \\(x=4, y=8\\) |\n| C | \\(P=(0,4)\\), \\(Q=(4,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+4}{2}, \\frac{4+0}{2}\\right) = (2, 2)\\) | Wzięto połowę współrzędnych środka jako współrzędne punktów, zamiast je podwoić |\n| D | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(8,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+8}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (4, 4)\\) | Przepisano współrzędne środka bezpośrednio na punkty \\(P\\) i \\(Q\\) - bez podwajania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), to \\(x_P = 0\\), a nie \\(y_P = 0\\). Łatwo pomylić, która współrzędna jest zerem na której osi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia** współrzędnych, więc żeby z \\(x_S = 4\\) wyznaczyć brakującą współrzędną, trzeba **pomnożyć przez 2** (odwrócić dzielenie przez 2), a nie brać 4 jako gotową odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D kusi - bo zawiera dokładnie liczby ze środka \\(S = (4,8)\\) w pewnym sensie, ale to pułapka: środek \\((0,8)\\) i \\((8,0)\\) daje \\((4,4)\\), a nie \\((4,8)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzory na środek odcinka\nJeśli \\(P = (0, y_P)\\) (na osi \\(Oy\\)) i \\(Q = (x_Q, 0)\\) (na osi \\(Ox\\)), to środek:\n\\[S = \\left(\\dfrac{0 + x_Q}{2}, \\dfrac{y_P + 0}{2}\\right) = (4, 8).\\]\nStąd:\n\\[\\dfrac{x_Q}{2} = 4 \\Rightarrow x_Q = 8, \\quad \\dfrac{y_P}{2} = 8 \\Rightarrow y_P = 16.\\]\nZatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Podwojenie współrzędnych\nZ \\(S\\) na osi: każda współrzędna \\(S\\) to połowa odpowiedniej, niezerowej współrzędnej końców. Więc współrzędne punktów: \\(P_y = 2\\cdot 8 = 16\\), \\(Q_x = 2\\cdot 4 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(P=(0,8), Q=(16,0)\\)** - zamieniono miejscami: \\(P\\) i \\(Q\\) poszły na złe osie (\\(y_P\\) i \\(x_Q\\) zostały podmienione).\n- **C. \\(P=(0,4), Q=(4,0)\\)** - wzięto współrzędne \\(S\\) zamiast ich podwojenia.\n- **D. \\(P=(0,8), Q=(8,0)\\)** - nie podwojono.\n\n**Klucz:** środek odcinka ma współrzędne **średnie** końców - aby je odzyskać, pomnóż przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Ciąg (<br>)<br>na<br>jest określony wzorem<br>2<br>2<br>na<br>n<br>dla<br>1<br>n ≥. Różnica<br>5<br>4<br>a<br>a<br>jest równa<br>A. 4<br>B. 20<br>C. 36<br>D. 18</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy</li></ol>\n<p>ciągu określonego wzorem ogólnym<br>(5.a).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong></p>\n<ul><li>\\(S = (4, 8)\\) - środek odcinka \\(PQ\\)</li><li>\\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), więc \\(P = (0, y_P)\\) (współrzędna \\(x\\) wynosi 0)</li><li>\\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc \\(Q = (x_Q, 0)\\) (współrzędna \\(y\\) wynosi 0)</li></ul>\n<p><strong>Stosujemy wzór na środek odcinka:</strong></p>\n<p>\\[x_S = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(x_Q\\) z pierwszego równania:</strong></p>\n<p>\\[4 = \\frac{0 + x_Q}{2} \\implies x_Q = 8\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(y_P\\) z drugiego równania:</strong></p>\n<p>\\[8 = \\frac{y_P + 0}{2} \\implies y_P = 16\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Symetria środka (geometryczny)</h4>\n<p>Środek \\(S\\) dzieli odcinek \\(PQ\\) na dwie <strong>równe połówki</strong>. Oznacza to, że \\(S\\) jest w połowie drogi między \\(P\\) a \\(Q\\).</p>\n<p>Jeśli \\(P = (0, y_P)\\), to żeby dostać się z \\(P\\) do \\(S = (4, 8)\\), przesuwamy się o wektor \\([4, 8 - y_P]\\).</p>\n<p>Taki sam wektor prowadzi z \\(S\\) do \\(Q\\):</p>\n<p>\\[Q = S + [4,\\; 8 - y_P] = (4 + 4,\\; 8 + 8 - y_P) = (8,\\; 16 - y_P)\\]</p>\n<p>Ale \\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc jego współrzędna \\(y\\) wynosi 0:</p>\n<p>\\[16 - y_P = 0 \\implies y_P = 16\\]</p>\n<p>Stąd \\(P = (0, 16)\\), \\(Q = (8, 0)\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)</strong> - wzór na współrzędne środka odcinka:</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia obu brakujących współrzędnych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Podane punkty | Środek tych punktów | Błąd |<br>| B | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(16,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+16}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (8, 4)\\) | Zamieniono współrzędne środka miejscami - wzięto \\(x=8, y=4\\) zamiast \\(x=4, y=8\\) |<br>| C | \\(P=(0,4)\\), \\(Q=(4,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+4}{2}, \\frac{4+0}{2}\\right) = (2, 2)\\) | Wzięto połowę współrzędnych środka jako współrzędne punktów, zamiast je podwoić |<br>| D | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(8,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+8}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (4, 4)\\) | Przepisano współrzędne środka bezpośrednio na punkty \\(P\\) i \\(Q\\) - bez podwajania |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli \\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), to \\(x_P = 0\\), a nie \\(y_P = 0\\). Łatwo pomylić, która współrzędna jest zerem na której osi!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na środek to <strong>średnia</strong> współrzędnych, więc żeby z \\(x_S = 4\\) wyznaczyć brakującą współrzędną, trzeba <strong>pomnożyć przez 2</strong> (odwrócić dzielenie przez 2), a nie brać 4 jako gotową odpowiedź.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D kusi - bo zawiera dokładnie liczby ze środka \\(S = (4,8)\\) w pewnym sensie, ale to pułapka: środek \\((0,8)\\) i \\((8,0)\\) daje \\((4,4)\\), a nie \\((4,8)\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzory na środek odcinka</h5>\n<p>Jeśli \\(P = (0, y_P)\\) (na osi \\(Oy\\)) i \\(Q = (x_Q, 0)\\) (na osi \\(Ox\\)), to środek:<br>\\[S = \\left(\\dfrac{0 + x_Q}{2}, \\dfrac{y_P + 0}{2}\\right) = (4, 8).\\]<br>Stąd:<br>\\[\\dfrac{x_Q}{2} = 4 \\Rightarrow x_Q = 8, \\quad \\dfrac{y_P}{2} = 8 \\Rightarrow y_P = 16.\\]<br>Zatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Podwojenie współrzędnych</h5>\n<p>Z \\(S\\) na osi: każda współrzędna \\(S\\) to połowa odpowiedniej, niezerowej współrzędnej końców. Więc współrzędne punktów: \\(P_y = 2\\cdot 8 = 16\\), \\(Q_x = 2\\cdot 4 = 8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(P=(0,8), Q=(16,0)\\)</strong> - zamieniono miejscami: \\(P\\) i \\(Q\\) poszły na złe osie (\\(y_P\\) i \\(x_Q\\) zostały podmienione).</li><li><strong>C. \\(P=(0,4), Q=(4,0)\\)</strong> - wzięto współrzędne \\(S\\) zamiast ich podwojenia.</li><li><strong>D. \\(P=(0,8), Q=(8,0)\\)</strong> - nie podwojono.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> środek odcinka ma współrzędne <strong>średnie</strong> końców - aby je odzyskać, pomnóż przez \\(2\\).</p>"}]}