{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica\ntego ciągu jest równa 5. Suma\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\njest równa\nA.\n42\nB.\n36\nC.\n18\nD. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty\nwyraz i na sumę n-początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego\ni ciągu geometrycznego, również\numieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**Przyprostokątna \\(BC = 3\\)**\n\n## Sposób 1 - przez podział podstawy i wzory na środkową proporcjonalną\n\n**Kąt prosty trójkąta ABC jest przy wierzchołku C**, a wysokość \\(CD\\) opada na przeciwprostokątną \\(AB\\), dzieląc ją na odcinki \\(AD\\) i \\(DB\\).\n\n**Krok 1: Związek pól z podstawami.**\n\nTrójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) mają wspólną **wysokość** \\(CD\\) (opuszczoną do \\(AB\\)). Zatem stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw:\n\n\\[\\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot AD \\cdot CD}{\\frac{1}{2} \\cdot DB \\cdot CD} = \\frac{AD}{DB} = 4\\]\n\nStąd \\(AD = 4 \\cdot DB\\). Oznaczmy \\(DB = t\\), więc \\(AD = 4t\\) i \\(AB = 5t\\).\n\n**Krok 2: Wzór na środkową proporcjonalną (właściwość wysokości w trójkącie prostokątnym).**\n\nW trójkącie prostokątnym z wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną zachodzi:\n\\[AC^2 = AD \\cdot AB\\]\n\nPodstawiamy \\(AC = 6\\), \\(AD = 4t\\), \\(AB = 5t\\):\n\\[36 = 4t \\cdot 5t = 20t^2\\]\n\\[t^2 = \\frac{36}{20} = \\frac{9}{5}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy \\(BC\\).**\n\nAnalogicznie:\n\\[BC^2 = DB \\cdot AB = t \\cdot 5t = 5t^2 = 5 \\cdot \\frac{9}{5} = 9\\]\n\\[\\boxed{BC = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wzory na rzuty w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1:** Oznaczmy \\(BC = x\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C:\n\\[AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{36 + x^2}\\]\n\n**Krok 2:** Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną wynoszą:\n\\[AD = \\frac{AC^2}{AB} = \\frac{36}{\\sqrt{36 + x^2}}, \\qquad DB = \\frac{BC^2}{AB} = \\frac{x^2}{\\sqrt{36 + x^2}}\\]\n\n**Krok 3:** Warunek z treści zadania:\n\\[\\frac{AD}{DB} = 4 \\implies \\frac{36}{x^2} = 4\\]\n\\[x^2 = \\frac{36}{4} = 9\\]\n\\[\\boxed{BC = x = 3}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(AB = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a stosunek pól:\n\\[\\frac{AD}{DB} = \\frac{36/3\\sqrt{5}}{9/3\\sqrt{5}} = \\frac{36}{9} = 4 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17 - trójkąt prostokątny)**\n\nWzory na rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną (wynikają z podobieństwa trójkątów):\n\\[AC^2 = AD \\cdot AB, \\qquad BC^2 = DB \\cdot AB, \\qquad CD^2 = AD \\cdot DB\\]\n\nUżyliśmy ich w obu sposobach do wyznaczenia \\(BC\\). Są bezpośrednią konsekwencją podobieństwa trójkątów \\(ACD \\sim ACB \\sim CDB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(1{,}5\\)) | Pomylenie stosunku pól: przyjęcie \\(AD/DB = \\frac{1}{4}\\) zamiast \\(4\\), czyli odwrócenie warunków zadania |\n| **B** (\\(2\\)) | Błędna interpretacja: przyjęcie \\(P_{ADC}/P_{CDB} = 4\\) jako \\(AC/BC = 4\\), czyli \\(BC = 6/4 = 1{,}5\\) - pomieszanie z proporcją boków trójkąta |\n| **C** (\\(2{,}5\\)) | Pomylenie równości \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) z \\(AC = AD \\cdot AB\\) (brak kwadratu) lub błąd arytmetyczny przy wyciąganiu pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek **pól** trójkątów o wspólnej wysokości równa się stosunkowi ich **podstaw** - nie trzeba liczyć pola przez \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). To skrót, który warto zapamiętać!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) oraz \\(BC^2 = DB \\cdot AB\\) działają **tylko** gdy kąt przy C jest prosty. Nie stosuj ich do dowolnego trójkąta!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu łatwo odwrócić, który trójkąt jest większy - pilnuj, że \\(AD > DB\\), bo \\(AC = 6\\) jest dłuższą przyprostokątną niż \\(BC = 3\\). Pole \\(ADC\\) jest cztery razy **większe**, nie mniejsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo i stosunek pól\nTrójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) są **podobne** (oba prostokątne, wspólny kąt ostry z pierwotnym trójkątem). Stosunek pól podobnych figur = kwadrat skali podobieństwa:\n\\[\\dfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = k^2 = 4 \\Rightarrow k = 2.\\]\nOdpowiadające boki: \\(AC\\) w \\(ADC\\) odpowiada \\(CB\\) w \\(CDB\\) (przeciwprostokątne). Skala: \\(\\dfrac{AC}{CB} = 2\\).\n\\[\\dfrac{6}{CB} = 2 \\Rightarrow CB = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Zależność z wysokością\nW trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną: \\(|AD|\\cdot|DB| = |CD|^2\\), \\(|AC|^2 = |AD|\\cdot|AB|\\), \\(|BC|^2 = |DB|\\cdot|AB|\\). Stąd \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = \\tfrac{AD}{DB}\\). Pola: \\(\\tfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\tfrac{AD}{DB} = 4\\). Więc \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = 4\\), \\(\\tfrac{6^2}{BC^2} = 4\\), \\(BC^2 = 9\\), \\(BC = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1{,}5\\)** - ktoś wziął \\(k = 4\\) zamiast \\(k = 2\\).\n- **B. \\(2\\)** - błędny stosunek.\n- **C. \\(2{,}5\\)** - nieprawidłowe obliczenie.\n\n**Klucz:** stosunek pól = \\(k^2\\), skala liniowa \\(k = \\sqrt{\\text{stosunek pól}}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>W ciągu arytmetycznym (<br>)<br>na<br>, określonym dla<br>, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica<br>tego ciągu jest równa 5. Suma<br>1<br>2<br>3<br>4<br>a<br>a<br>a<br>a<br>jest równa<br>A.<br>42<br>B.<br>36<br>C.<br>18<br>D. 6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty</li></ol>\n<p>wyraz i na sumę n-początkowych<br>wyrazów ciągu arytmetycznego<br>i ciągu geometrycznego, również<br>umieszczone w kontekście<br>praktycznym (5.c).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p><strong>Przyprostokątna \\(BC = 3\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - przez podział podstawy i wzory na środkową proporcjonalną</h4>\n<p><strong>Kąt prosty trójkąta ABC jest przy wierzchołku C</strong>, a wysokość \\(CD\\) opada na przeciwprostokątną \\(AB\\), dzieląc ją na odcinki \\(AD\\) i \\(DB\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Związek pól z podstawami.</strong></p>\n<p>Trójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) mają wspólną <strong>wysokość</strong> \\(CD\\) (opuszczoną do \\(AB\\)). Zatem stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw:</p>\n<p>\\[\\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot AD \\cdot CD}{\\frac{1}{2} \\cdot DB \\cdot CD} = \\frac{AD}{DB} = 4\\]</p>\n<p>Stąd \\(AD = 4 \\cdot DB\\). Oznaczmy \\(DB = t\\), więc \\(AD = 4t\\) i \\(AB = 5t\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wzór na środkową proporcjonalną (właściwość wysokości w trójkącie prostokątnym).</strong></p>\n<p>W trójkącie prostokątnym z wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną zachodzi:<br>\\[AC^2 = AD \\cdot AB\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(AC = 6\\), \\(AD = 4t\\), \\(AB = 5t\\):<br>\\[36 = 4t \\cdot 5t = 20t^2\\]<br>\\[t^2 = \\frac{36}{20} = \\frac{9}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy \\(BC\\).</strong></p>\n<p>Analogicznie:<br>\\[BC^2 = DB \\cdot AB = t \\cdot 5t = 5t^2 = 5 \\cdot \\frac{9}{5} = 9\\]<br>\\[\\boxed{BC = 3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - przez wzory na rzuty w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Oznaczmy \\(BC = x\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C:<br>\\[AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{36 + x^2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną wynoszą:<br>\\[AD = \\frac{AC^2}{AB} = \\frac{36}{\\sqrt{36 + x^2}}, \\qquad DB = \\frac{BC^2}{AB} = \\frac{x^2}{\\sqrt{36 + x^2}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Warunek z treści zadania:<br>\\[\\frac{AD}{DB} = 4 \\implies \\frac{36}{x^2} = 4\\]<br>\\[x^2 = \\frac{36}{4} = 9\\]<br>\\[\\boxed{BC = x = 3}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(AB = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a stosunek pól:<br>\\[\\frac{AD}{DB} = \\frac{36/3\\sqrt{5}}{9/3\\sqrt{5}} = \\frac{36}{9} = 4 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 17 - trójkąt prostokątny)</strong></p>\n<p>Wzory na rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną (wynikają z podobieństwa trójkątów):<br>\\[AC^2 = AD \\cdot AB, \\qquad BC^2 = DB \\cdot AB, \\qquad CD^2 = AD \\cdot DB\\]</p>\n<p>Użyliśmy ich w obu sposobach do wyznaczenia \\(BC\\). Są bezpośrednią konsekwencją podobieństwa trójkątów \\(ACD \\sim ACB \\sim CDB\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> (\\(1{,}5\\)) | Pomylenie stosunku pól: przyjęcie \\(AD/DB = \\frac{1}{4}\\) zamiast \\(4\\), czyli odwrócenie warunków zadania |<br>| <strong>B</strong> (\\(2\\)) | Błędna interpretacja: przyjęcie \\(P_{ADC}/P_{CDB} = 4\\) jako \\(AC/BC = 4\\), czyli \\(BC = 6/4 = 1{,}5\\) - pomieszanie z proporcją boków trójkąta |<br>| <strong>C</strong> (\\(2{,}5\\)) | Pomylenie równości \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) z \\(AC = AD \\cdot AB\\) (brak kwadratu) lub błąd arytmetyczny przy wyciąganiu pierwiastka |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek <strong>pól</strong> trójkątów o wspólnej wysokości równa się stosunkowi ich <strong>podstaw</strong> - nie trzeba liczyć pola przez \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). To skrót, który warto zapamiętać!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzory \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) oraz \\(BC^2 = DB \\cdot AB\\) działają <strong>tylko</strong> gdy kąt przy C jest prosty. Nie stosuj ich do dowolnego trójkąta!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniu łatwo odwrócić, który trójkąt jest większy - pilnuj, że \\(AD &gt; DB\\), bo \\(AC = 6\\) jest dłuższą przyprostokątną niż \\(BC = 3\\). Pole \\(ADC\\) jest cztery razy <strong>większe</strong>, nie mniejsze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podobieństwo i stosunek pól</h5>\n<p>Trójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) są <strong>podobne</strong> (oba prostokątne, wspólny kąt ostry z pierwotnym trójkątem). Stosunek pól podobnych figur = kwadrat skali podobieństwa:<br>\\[\\dfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = k^2 = 4 \\Rightarrow k = 2.\\]<br>Odpowiadające boki: \\(AC\\) w \\(ADC\\) odpowiada \\(CB\\) w \\(CDB\\) (przeciwprostokątne). Skala: \\(\\dfrac{AC}{CB} = 2\\).<br>\\[\\dfrac{6}{CB} = 2 \\Rightarrow CB = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Zależność z wysokością</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną: \\(|AD|\\cdot|DB| = |CD|^2\\), \\(|AC|^2 = |AD|\\cdot|AB|\\), \\(|BC|^2 = |DB|\\cdot|AB|\\). Stąd \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = \\tfrac{AD}{DB}\\). Pola: \\(\\tfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\tfrac{AD}{DB} = 4\\). Więc \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = 4\\), \\(\\tfrac{6^2}{BC^2} = 4\\), \\(BC^2 = 9\\), \\(BC = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(1{,}5\\)</strong> - ktoś wziął \\(k = 4\\) zamiast \\(k = 2\\).</li><li><strong>B. \\(2\\)</strong> - błędny stosunek.</li><li><strong>C. \\(2{,}5\\)</strong> - nieprawidłowe obliczenie.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> stosunek pól = \\(k^2\\), skala liniowa \\(k = \\sqrt{\\text{stosunek pól}}\\).</p>"}]}