{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt\n(\n)\n,\n1\n1\n3\nA =\nnależy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n3\nf x\nx\nb\nWynika stąd, że\nA.\n2\nb =\nB.\n1\nb =\nC.\n1\nb = -\nD.\n2\nb = -","answer":"D","answer_text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji liniowej (4.f).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-\\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Nachylenie prostej jako iloraz różnicowy\n\nProsta przechodzi przez punkty \\(O = (0, 0)\\) i \\(P = (-3, 4)\\).\n\n**Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\)** (oznaczamy \\(\\alpha\\)) spełnia:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy prostej.\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_P - y_O}{x_P - x_O} = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Dlaczego wynik jest ujemny?** Punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Prosta idzie „w górę na lewo\" - kąt \\(\\alpha\\) jest rozwarty (między \\(90°\\) a \\(180°\\)), więc tangens jest ujemny.\n\n## Sposób 2 - Definicja trygonometryczna dla dowolnego kąta\n\nKąt \\(\\alpha\\) jest kątem przy wierzchołku \\(O = (0,0)\\), a punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży na ramieniu tego kąta.\n\nObliczamy odległość \\(|OP|\\):\n\\[r = |OP| = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nZe wzoru na funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (punkt \\((x, y)\\), odległość \\(r\\)):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{4}{5}}{\\dfrac{-3}{5}} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]\n\n**Ten sam wynik** - odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}, \\quad \\text{gdzie punkt } M(x, y) \\text{ leży na ramieniu kąta}\\]\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - nachylenie prostej \\(a\\) jest równe tangensowi kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\(-\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem: \\(\\frac{x}{y} = \\frac{-3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{y}{x}\\) |\n| **C** | \\(\\dfrac{4}{3}\\) - pominięto znak minusa; uczeń obliczył \\(\\frac{|y|}{|x|} = \\frac{4}{3}\\), zapominając że \\(x = -3 < 0\\) |\n| **D** | \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono \\(x\\) z \\(y\\) ORAZ pominięto znak: podwójny błąd |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest ZAWSZE w przedziale \\(\\langle 0°, 180°)\\). Nie mylić z kątem między prostą a osią mierzonym jako kąt ostry - to dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy prostej. W Sposobie 1 wystarczy policzyć \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - ale koniecznie z właściwymi znakami: \\(\\frac{4}{-3}\\), nie \\(\\frac{4}{3}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych \\(O(0,0)\\) i punkt \\(P(x_0, y_0)\\), współczynnik kierunkowy to po prostu \\(a = \\dfrac{y_0}{x_0}\\). Nie komplikuj - to tylko jeden ułamek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Tangens ze współczynnika kierunkowego\nTangens kąta nachylenia prostej = współczynnik kierunkowy \\(a\\). Prosta przechodzi przez \\(O=(0,0)\\) i \\(P=(-3, 4)\\):\n\\[a = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{4-0}{-3-0} = -\\dfrac{4}{3}.\\]\nZatem \\(\\tan\\alpha = -\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza rysunku (kąt rozwarty)\nProsta opada od \\(P = (-3,4)\\) przez \\(O\\) i idzie dalej w IV ćwiartkę. Kąt \\(\\alpha\\) mierzony od osi \\(Ox\\) (dodatnie ramię) do prostej jest rozwarty, więc tangens ujemny. Stosunek |współrzędnych|: \\(\\tfrac{4}{3}\\). Z minusem: \\(-\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{3}{4}\\)** - odwrócono licznik i mianownik.\n- **C. \\(\\tfrac{4}{3}\\)** - zapomniano o znaku.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - oba błędy: odwrócenie i znak.\n\n**Klucz:** \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak zależy od ćwiartki.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Punkt<br>(<br>)<br>,<br>1<br>1<br>3<br>A =<br>należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem<br>( )<br>3<br>f x<br>x<br>b<br>Wynika stąd, że<br>A.<br>2<br>b =<br>B.<br>1<br>b =<br>C.<br>1<br>b = -<br>D.<br>2<br>b = -</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wzór</li></ol>\n<p>funkcji liniowej (4.f).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(-\\dfrac{4}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Nachylenie prostej jako iloraz różnicowy</h4>\n<p>Prosta przechodzi przez punkty \\(O = (0, 0)\\) i \\(P = (-3, 4)\\).</p>\n<p><strong>Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\)</strong> (oznaczamy \\(\\alpha\\)) spełnia:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a\\]<br>gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy prostej.</p>\n<p>Obliczamy współczynnik kierunkowy:<br>\\[a = \\frac{y_P - y_O}{x_P - x_O} = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{4}{3}}\\]</p>\n<p><strong>Dlaczego wynik jest ujemny?</strong> Punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Prosta idzie „w górę na lewo&quot; - kąt \\(\\alpha\\) jest rozwarty (między \\(90°\\) a \\(180°\\)), więc tangens jest ujemny.</p>\n<h4>Sposób 2 - Definicja trygonometryczna dla dowolnego kąta</h4>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) jest kątem przy wierzchołku \\(O = (0,0)\\), a punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży na ramieniu tego kąta.</p>\n<p>Obliczamy odległość \\(|OP|\\):<br>\\[r = |OP| = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]</p>\n<p>Ze wzoru na funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (punkt \\((x, y)\\), odległość \\(r\\)):<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-3}{5}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{4}{5}}{\\dfrac{-3}{5}} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]</p>\n<p><strong>Ten sam wynik</strong> - odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - definicja funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}, \\quad \\text{gdzie punkt } M(x, y) \\text{ leży na ramieniu kąta}\\]</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 - nachylenie prostej \\(a\\) jest równe tangensowi kąta nachylenia.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | \\(-\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem: \\(\\frac{x}{y} = \\frac{-3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{y}{x}\\) |<br>| <strong>C</strong> | \\(\\dfrac{4}{3}\\) - pominięto znak minusa; uczeń obliczył \\(\\frac{|y|}{|x|} = \\frac{4}{3}\\), zapominając że \\(x = -3 &lt; 0\\) |<br>| <strong>D</strong> | \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono \\(x\\) z \\(y\\) ORAZ pominięto znak: podwójny błąd |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest ZAWSZE w przedziale \\(\\langle 0°, 180°)\\). Nie mylić z kątem między prostą a osią mierzonym jako kąt ostry - to dwie różne rzeczy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy prostej. W Sposobie 1 wystarczy policzyć \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - ale koniecznie z właściwymi znakami: \\(\\frac{4}{-3}\\), nie \\(\\frac{4}{3}\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych \\(O(0,0)\\) i punkt \\(P(x_0, y_0)\\), współczynnik kierunkowy to po prostu \\(a = \\dfrac{y_0}{x_0}\\). Nie komplikuj - to tylko jeden ułamek.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Tangens ze współczynnika kierunkowego</h5>\n<p>Tangens kąta nachylenia prostej = współczynnik kierunkowy \\(a\\). Prosta przechodzi przez \\(O=(0,0)\\) i \\(P=(-3, 4)\\):<br>\\[a = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{4-0}{-3-0} = -\\dfrac{4}{3}.\\]<br>Zatem \\(\\tan\\alpha = -\\tfrac{4}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza rysunku (kąt rozwarty)</h5>\n<p>Prosta opada od \\(P = (-3,4)\\) przez \\(O\\) i idzie dalej w IV ćwiartkę. Kąt \\(\\alpha\\) mierzony od osi \\(Ox\\) (dodatnie ramię) do prostej jest rozwarty, więc tangens ujemny. Stosunek |współrzędnych|: \\(\\tfrac{4}{3}\\). Z minusem: \\(-\\tfrac{4}{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-\\tfrac{3}{4}\\)</strong> - odwrócono licznik i mianownik.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{4}{3}\\)</strong> - zapomniano o znaku.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)</strong> - oba błędy: odwrócenie i znak.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak zależy od ćwiartki.</p>"}]}