{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta ABC jest równa\nA. 59°\nB. 48°\nC. 62°\nD. 31°","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze\nzwiązków między kątem środkowym,\nkątem wpisanym i kątem między\nstyczną a cięciwą okręgu (7.a).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31°\\)\n\n## Sposób 1 - kąt środkowy i twierdzenie o kącie wpisanym\n\n**Kluczowe spostrzeżenie z rysunku:** Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą w jednej linii - \\(DA\\) jest **średnicą** okręgu (środek \\(O\\) leży na odcinku \\(DA\\)).\n\n**Krok 1 - łuk \\(DC\\):**\n\nKąt środkowy \\(DOC = 118°\\), a kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza:\n\\[\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\]\n\n**Krok 2 - łuk \\(DA\\):**\n\nPonieważ \\(DA\\) jest średnicą:\n\\[\\overset{\\frown}{DA} = 180°\\]\n\n**Krok 3 - łuk \\(CA\\):**\n\nPunkt \\(C\\) leży na łuku \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc:\n\\[\\overset{\\frown}{CA} = \\overset{\\frown}{DA} - \\overset{\\frown}{DC} = 180° - 118° = 62°\\]\n\n**Krok 4 - kąt wpisany \\(ABC\\):**\n\nKąt wpisany \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym \\(B\\)) o mierze \\(62°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AC} = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = \\boxed{31°}\\]\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)\n\nSkoro \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\), to kąt środkowy oparty na tym samym łuku wynosi:\n\\[\\angle AOC = 62°\\]\n\nKąt wpisany \\(ABC\\) i kąt środkowy \\(AOC\\) opierają się na tym samym łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\), więc:\n\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = 31°\\]\n\n**Weryfikacja zgodności:** \\(31° \\cdot 2 = 62°\\), a \\(62° + 118° = 180°\\) ✓ (łuki \\(CA\\) i \\(CD\\) dopełniają się do półokręgu \\(DA\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19):**\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: łuk \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\) → kąt wpisany \\(ABC = 31°\\).\n\n> Kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza (w stopniach).\n\nUżyliśmy przy odczycie: \\(\\angle DOC = 118°\\) → \\(\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(59°\\) | Wzięto połowę kąta \\(DOC\\): \\(\\frac{118°}{2} = 59°\\). To byłby kąt wpisany \\(DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118°\\), **nie** kąt \\(ABC\\). |\n| **B** \\(48°\\) | Wynik spoza logiki zadania - brak prostego błędu rachunkowego prowadzącego do tej wartości; wynik losowego zgadywania. |\n| **C** \\(62°\\) | Obliczono łuk \\(\\overset{\\frown}{CA} = 62°\\), ale zapomniano podzielić przez 2. To **łuk**, nie kąt wpisany. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Koniecznie sprawdź na rysunku, czy \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe (czy \\(DA\\) jest średnicą). Bez tego spostrzeżenia zadanie jest nierozwiązywalne - to kluczowa informacja ukryta w rysunku, nie w treści tekstowej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany = **połowa** kąta środkowego. Najczęstszy błąd: wzięcie kąta środkowego \\(DOC = 118°\\) lub jego połowy \\(59°\\) bez uwzględnienia, że kąt \\(ABC\\) opiera się na **innym łuku** niż \\(\\overset{\\frown}{DC}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić łuku (wielkość w stopniach) z kątem wpisanym - łuk \\(62°\\) to jeszcze nie odpowiedź! Trzeba podzielić przez 2.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - kąt wpisany i środkowy\nKarta X: kąt wpisany ma miarę połowy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\nNa rysunku: BD jest średnicą (przechodzi przez O), więc kąt \\(DBC\\) = \\(ABC\\). Kąt środkowy \\(DOC = 118^{\\circ}\\) to suma kątów \\(DOA\\) i \\(AOC\\)? Nie - kąt \\(ABC\\) jest wpisany oparty na łuku \\(AC\\). Obliczamy łuk \\(AC\\): kąt \\(DOC=118^{\\circ}\\), kąt \\(DOA=180^{\\circ}\\) (bo BD - średnica, a AD to cięciwa). Odczytujemy: kąt \\(ABC\\) oparty na łuku \\(AC\\) nie zawierającym B, a łuk ten (idąc od \\(A\\) przez \\(D\\) do \\(C\\)) ma miarę Z rysunku: kąty wpisany \\(ABC\\) jest połową kąta środkowego \\(AOC\\) po tej samej stronie.\nPrawidłowy rachunek: cięciwy \\(BD\\) i \\(AC\\) przecinają się w O, więc BD jest średnicą, wtedy kąt \\(BAD=90^\\circ\\). Kąt \\(DOC=118^\\circ\\) ⇒ kąt wpisany \\(DBC = \\tfrac{118^\\circ}{2}=59^\\circ\\). Z trójkąta \\(OBC\\) równoramiennego (\\(OB=OC=r\\)): kąt \\(OBC=\\tfrac{180^\\circ-62^\\circ}{2}=59^\\circ\\)… analiza zależna od konfiguracji. Sumarycznie: kąt \\(ABC = 31^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - szybki\nKąt środkowy \\(AOC\\), oparty na tym samym łuku AC co kąt wpisany \\(ABC\\), ma miarę \\(180^{\\circ}-118^{\\circ}=62^{\\circ}\\) (bo BD jest średnicą przechodzącą przez O, dopełnienie do 180°).\nZatem \\(\\angle ABC = \\tfrac{62^{\\circ}}{2} = 31^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- **A.** \\(59^{\\circ}=\\tfrac{118^\\circ}{2}\\) ale dla złego łuku.\n- **B.** \\(48^{\\circ}\\) bez związku.\n- **C.** \\(62^{\\circ}\\) to kąt środkowy, nie wpisany.\n\n**Trik:** wpisany = ½ środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°
(zobacz rysunek).
Miara kąta ABC jest równa
A. 59°
B. 48°
C. 62°
D. 31°

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający korzysta ze
\n

związków między kątem środkowym,
kątem wpisanym i kątem między
styczną a cięciwą okręgu (7.a).
Wersja X
Wersja Y
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(31°\\)

\n

Sposób 1 - kąt środkowy i twierdzenie o kącie wpisanym

\n

Kluczowe spostrzeżenie z rysunku: Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą w jednej linii - \\(DA\\) jest średnicą okręgu (środek \\(O\\) leży na odcinku \\(DA\\)).

\n

Krok 1 - łuk \\(DC\\):

\n

Kąt środkowy \\(DOC = 118°\\), a kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza:
\\[\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\]

\n

Krok 2 - łuk \\(DA\\):

\n

Ponieważ \\(DA\\) jest średnicą:
\\[\\overset{\\frown}{DA} = 180°\\]

\n

Krok 3 - łuk \\(CA\\):

\n

Punkt \\(C\\) leży na łuku \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc:
\\[\\overset{\\frown}{CA} = \\overset{\\frown}{DA} - \\overset{\\frown}{DC} = 180° - 118° = 62°\\]

\n

Krok 4 - kąt wpisany \\(ABC\\):

\n

Kąt wpisany \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym \\(B\\)) o mierze \\(62°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:
\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AC} = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = \\boxed{31°}\\]

\n

Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)

\n

Skoro \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\), to kąt środkowy oparty na tym samym łuku wynosi:
\\[\\angle AOC = 62°\\]

\n

Kąt wpisany \\(ABC\\) i kąt środkowy \\(AOC\\) opierają się na tym samym łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\), więc:
\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = 31°\\]

\n

Weryfikacja zgodności: \\(31° \\cdot 2 = 62°\\), a \\(62° + 118° = 180°\\) ✓ (łuki \\(CA\\) i \\(CD\\) dopełniają się do półokręgu \\(DA\\)).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19):

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]
\n

Użyliśmy tego w obu sposobach: łuk \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\) → kąt wpisany \\(ABC = 31°\\).

\n
Kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza (w stopniach).
\n

Użyliśmy przy odczycie: \\(\\angle DOC = 118°\\) → \\(\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(59°\\) | Wzięto połowę kąta \\(DOC\\): \\(\\frac{118°}{2} = 59°\\). To byłby kąt wpisany \\(DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118°\\), nie kąt \\(ABC\\). |
| B \\(48°\\) | Wynik spoza logiki zadania - brak prostego błędu rachunkowego prowadzącego do tej wartości; wynik losowego zgadywania. |
| C \\(62°\\) | Obliczono łuk \\(\\overset{\\frown}{CA} = 62°\\), ale zapomniano podzielić przez 2. To łuk, nie kąt wpisany. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Koniecznie sprawdź na rysunku, czy \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe (czy \\(DA\\) jest średnicą). Bez tego spostrzeżenia zadanie jest nierozwiązywalne - to kluczowa informacja ukryta w rysunku, nie w treści tekstowej!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany = połowa kąta środkowego. Najczęstszy błąd: wzięcie kąta środkowego \\(DOC = 118°\\) lub jego połowy \\(59°\\) bez uwzględnienia, że kąt \\(ABC\\) opiera się na innym łuku niż \\(\\overset{\\frown}{DC}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić łuku (wielkość w stopniach) z kątem wpisanym - łuk \\(62°\\) to jeszcze nie odpowiedź! Trzeba podzielić przez 2.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - kąt wpisany i środkowy
\n

Karta X: kąt wpisany ma miarę połowy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Na rysunku: BD jest średnicą (przechodzi przez O), więc kąt \\(DBC\\) = \\(ABC\\). Kąt środkowy \\(DOC = 118^{\\circ}\\) to suma kątów \\(DOA\\) i \\(AOC\\)? Nie - kąt \\(ABC\\) jest wpisany oparty na łuku \\(AC\\). Obliczamy łuk \\(AC\\): kąt \\(DOC=118^{\\circ}\\), kąt \\(DOA=180^{\\circ}\\) (bo BD - średnica, a AD to cięciwa). Odczytujemy: kąt \\(ABC\\) oparty na łuku \\(AC\\) nie zawierającym B, a łuk ten (idąc od \\(A\\) przez \\(D\\) do \\(C\\)) ma miarę Z rysunku: kąty wpisany \\(ABC\\) jest połową kąta środkowego \\(AOC\\) po tej samej stronie.
Prawidłowy rachunek: cięciwy \\(BD\\) i \\(AC\\) przecinają się w O, więc BD jest średnicą, wtedy kąt \\(BAD=90^\\circ\\). Kąt \\(DOC=118^\\circ\\) ⇒ kąt wpisany \\(DBC = \\tfrac{118^\\circ}{2}=59^\\circ\\). Z trójkąta \\(OBC\\) równoramiennego (\\(OB=OC=r\\)): kąt \\(OBC=\\tfrac{180^\\circ-62^\\circ}{2}=59^\\circ\\)… analiza zależna od konfiguracji. Sumarycznie: kąt \\(ABC = 31^{\\circ}\\).

\n
Sposób 2 - szybki
\n

Kąt środkowy \\(AOC\\), oparty na tym samym łuku AC co kąt wpisany \\(ABC\\), ma miarę \\(180^{\\circ}-118^{\\circ}=62^{\\circ}\\) (bo BD jest średnicą przechodzącą przez O, dopełnienie do 180°).
Zatem \\(\\angle ABC = \\tfrac{62^{\\circ}}{2} = 31^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne błędne
\n\n

Trik: wpisany = ½ środkowego opartego na tym samym łuku.

"}]}