{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta przechodząca przez punkty\n(\n)\n3,\n2\nA =\ni\n(\n)\n1,6\nB = -\njest określona równaniem\nA.\n2\n4\ny\nx\nB.\n2\n8\ny\nx\nC.\n2\n8\ny\nx\nD.\n2\n4\ny\nx\n1\nn ≥\nC\nB\nD\nO\nA\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci\n= 0\nAx\nBy\nC\nlub\ny\nax\nb\nmając dane dwa jej punkty lub jeden\npunkt i współczynnik a w równaniu\nkierunkowym (8.b).\nWersja X\nWersja Y\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_n = 3n - 1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)**\n\nMamy dwa kolejne wyrazy: \\(a_1 = 2\\) i \\(a_2 = 5\\).\n\nRóżnica ciągu arytmetycznego to:\n\\[r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór ogólny**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 2\\) i \\(r = 3\\):\n\\[a_n = 2 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n**Krok 3: Upraszczamy**\n\n\\[a_n = 2 + 3n - 3 = 3n - 1\\]\n\n**Wynik: \\(a_n = 3n - 1\\) - odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wzór \\(a_n = 3n - 1\\) daje poprawne wartości:\n\n- \\(n = 1\\): \\(a_1 = 3 \\cdot 1 - 1 = 2\\) ✓\n- \\(n = 2\\): \\(a_2 = 3 \\cdot 2 - 1 = 5\\) ✓\n- \\(n = 3\\): \\(a_3 = 3 \\cdot 3 - 1 = 8\\)\n\nRóżnica między kolejnymi wyrazami: \\(5 - 2 = 3\\), \\(8 - 5 = 3\\) - stała różnica \\(r = 3\\) potwierdza, że to ciąg arytmetyczny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 do wyprowadzenia wzoru ogólnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| B | \\(a_n = 3n + 2\\) | Poprawna różnica \\(r = 3\\), ale błędnie obliczony wyraz wolny: zamiast \\(2 + (n-1)\\cdot 3\\) uczeń wpisuje \\(a_1 = 2\\) jako drugi składnik bez odejmowania, otrzymując \\(3n + 2\\) (jakby \\(a_0 = 2\\)) |\n| C | \\(a_n = 2n + 3\\) | Zamieniono różnicę z pierwszym wyrazem: \\(r = 2\\) (błędnie) zamiast \\(r = 3\\), a wyraz wolny jako \\(3\\) |\n| D | \\(a_n = 2n - 1\\) | Wzięto \\(r = 2\\) zamiast \\(r = 3\\); być może uczeń użył wartości \\(a_1 = 2\\) jako różnicy |\n\nSzybka kontrola: dla każdej odpowiedzi można podstawić \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) - tylko odpowiedź A daje \\(2\\) i \\(5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zaczyna się od \\(n = 1\\), nie od \\(n = 0\\). Błąd \"o jeden\" to najczęstsza pomyłka - uważaj na \\((n-1)\\), a nie \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu to zawsze \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni), nie odwrotnie. Tutaj \\(r = 5 - 2 = 3\\), a nie \\(2 - 5 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyprowadzeniu wzoru zawsze warto sprawdzić dwa dane wyrazy - podstawiasz \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) i porównujesz z zadaniem. Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\\(r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\). Wzór: \\(a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 3(n-1) = 3n - 1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez podstawienie\nDla \\(a_n = 3n-1\\): \\(a_1 = 3-1 = 2\\) ✓, \\(a_2 = 6-1 = 5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3n+2\\)**: \\(a_1 = 5\\) (powinno być \\(2\\)) ✗.\n- **C. \\(2n+3\\)**: \\(a_1 = 5\\) (błąd) ✗.\n- **D. \\(2n-1\\)**: \\(a_1 = 1\\) (błąd) ✗.\n\n**Klucz:** najpierw policz różnicę \\(r\\), potem zbuduj wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Prosta przechodząca przez punkty<br>(<br>)<br>3,<br>2<br>A =<br>i<br>(<br>)<br>1,6<br>B = -<br>jest określona równaniem<br>A.<br>2<br>4<br>y<br>x<br>B.<br>2<br>8<br>y<br>x<br>C.<br>2<br>8<br>y<br>x<br>D.<br>2<br>4<br>y<br>x<br>1<br>n ≥<br>C<br>B<br>D<br>O<br>A</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie</li></ol>\n<p>kartezjańskiej. Zdający podaje<br>równanie prostej w postaci<br>= 0<br>Ax<br>By<br>C<br>lub<br>y<br>ax<br>b<br>mając dane dwa jej punkty lub jeden<br>punkt i współczynnik a w równaniu<br>kierunkowym (8.b).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(a_n = 3n - 1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)</strong></p>\n<p>Mamy dwa kolejne wyrazy: \\(a_1 = 2\\) i \\(a_2 = 5\\).</p>\n<p>Różnica ciągu arytmetycznego to:<br>\\[r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Stosujemy wzór ogólny</strong></p>\n<p>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a_1 = 2\\) i \\(r = 3\\):<br>\\[a_n = 2 + (n-1) \\cdot 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Upraszczamy</strong></p>\n<p>\\[a_n = 2 + 3n - 3 = 3n - 1\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a_n = 3n - 1\\) - odpowiedź A.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wzór \\(a_n = 3n - 1\\) daje poprawne wartości:</p>\n<ul><li>\\(n = 1\\): \\(a_1 = 3 \\cdot 1 - 1 = 2\\) ✓</li><li>\\(n = 2\\): \\(a_2 = 3 \\cdot 2 - 1 = 5\\) ✓</li><li>\\(n = 3\\): \\(a_3 = 3 \\cdot 3 - 1 = 8\\)</li></ul>\n<p>Różnica między kolejnymi wyrazami: \\(5 - 2 = 3\\), \\(8 - 5 = 3\\) - stała różnica \\(r = 3\\) potwierdza, że to ciąg arytmetyczny. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 do wyprowadzenia wzoru ogólnego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wzór | Błąd |<br>| B | \\(a_n = 3n + 2\\) | Poprawna różnica \\(r = 3\\), ale błędnie obliczony wyraz wolny: zamiast \\(2 + (n-1)\\cdot 3\\) uczeń wpisuje \\(a_1 = 2\\) jako drugi składnik bez odejmowania, otrzymując \\(3n + 2\\) (jakby \\(a_0 = 2\\)) |<br>| C | \\(a_n = 2n + 3\\) | Zamieniono różnicę z pierwszym wyrazem: \\(r = 2\\) (błędnie) zamiast \\(r = 3\\), a wyraz wolny jako \\(3\\) |<br>| D | \\(a_n = 2n - 1\\) | Wzięto \\(r = 2\\) zamiast \\(r = 3\\); być może uczeń użył wartości \\(a_1 = 2\\) jako różnicy |</p>\n<p>Szybka kontrola: dla każdej odpowiedzi można podstawić \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) - tylko odpowiedź A daje \\(2\\) i \\(5\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zaczyna się od \\(n = 1\\), nie od \\(n = 0\\). Błąd &quot;o jeden&quot; to najczęstsza pomyłka - uważaj na \\((n-1)\\), a nie \\(n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica ciągu to zawsze \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni), nie odwrotnie. Tutaj \\(r = 5 - 2 = 3\\), a nie \\(2 - 5 = -3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyprowadzeniu wzoru zawsze warto sprawdzić dwa dane wyrazy - podstawiasz \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) i porównujesz z zadaniem. Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>\\(r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\). Wzór: \\(a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 3(n-1) = 3n - 1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie przez podstawienie</h5>\n<p>Dla \\(a_n = 3n-1\\): \\(a_1 = 3-1 = 2\\) ✓, \\(a_2 = 6-1 = 5\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(3n+2\\)</strong>: \\(a_1 = 5\\) (powinno być \\(2\\)) ✗.</li><li><strong>C. \\(2n+3\\)</strong>: \\(a_1 = 5\\) (błąd) ✗.</li><li><strong>D. \\(2n-1\\)</strong>: \\(a_1 = 1\\) (błąd) ✗.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> najpierw policz różnicę \\(r\\), potem zbuduj wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).</p>"}]}