{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych\ni\n(zobacz rysunek).\nWyrażenie 2 cos\nsin\nα\nβ\njest równe\nA.\nB.\nC. 0\nD.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający\nwykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji trygonometrycznych\ndla kątów ostrych (6.a).\nWersja X\nWersja Y\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\nChcemy obliczyć \\(f(-3)\\), czyli podstawiamy \\(x = -3\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(-3) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3}\\]\n\nKorzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3}\\]\n\nObliczamy mianownik:\n\n\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1^3}{2^3} = \\frac{1}{8}\\]\n\nZatem:\n\n\\[f(-3) = \\frac{1}{\\dfrac{1}{8}} = 8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci z \\(2^x\\)\n\nZauważamy, że \\(\\dfrac{1}{2} = 2^{-1}\\), więc możemy przepisać funkcję:\n\n\\[f(x) = \\left(2^{-1}\\right)^x = 2^{-x}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -3\\):\n\n\\[f(-3) = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)** - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyte w Sposobie 1, gdy zamienialiśmy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\) na \\(\\dfrac{1}{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3}\\).\n\n**Dział 2 (s. 4-5)** - działanie na potędze potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte w Sposobie 2, gdy \\(\\left(2^{-1}\\right)^{-3} = 2^{(-1)\\cdot(-3)} = 2^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{6}\\) | Uczeń \"oblicza\" \\(\\dfrac{1}{2+(-3-1)} = \\dfrac{1}{-2}\\) lub myli wzór z inną funkcją. Skąd się bierze 6? Błędne dodawanie: \\(2 + (-3) + 1 = \\ldots\\) - brak sensu matematycznego. |\n| B - \\(\\dfrac{1}{8}\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń podstawia \\(x = -3\\) ale pomija znak minusa: liczy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\). Zapomina, że wykładnik to \\(-3\\), nie \\(3\\). |\n| C - \\(6\\) | Uczeń \"odwraca\" podstawę zamiast stosować regułę potęgi ujemnej: liczy \\(2 + (-3) + \\ldots\\) albo odczytuje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} \\approx 2 \\cdot 3\\) - zupełnie błędne rozumowanie. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik **NIE** oznacza wyniku ujemnego! \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 8\\), a nie \\(-8\\) ani \\(-\\dfrac{1}{8}\\). Potęga z podstawą dodatnią zawsze daje wynik dodatni.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić minusa w wykładniku i policzyć \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) - to odpowiedź B, klasyczna pułapka. Zawsze sprawdź znak wykładnika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj wzór \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\) - ujemny wykładnik przy ułamku **odwraca ułamek**. Tutaj: \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^3 = 2^3 = 8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Potęga o wykładniku ujemnym\n\\[f(-3) = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^{3} = 2^3 = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Własności potęg\n\\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\dfrac{1}{(1/2)^3} = \\dfrac{1}{1/8} = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - błędne obliczenie, być może \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\) nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{8}\\)** - wartość dla \\(x = 3\\) (bez minusa): \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^3 = \\tfrac{1}{8}\\).\n- **C. \\(6\\)** - pomylono z \\(2\\cdot 3\\).\n\n**Klucz:** \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\); \\(\\left(\\tfrac{1}{a}\\right)^{-n} = a^n\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych<br>i<br>(zobacz rysunek).<br>Wyrażenie 2 cos<br>sin<br>α<br>β<br>jest równe<br>A.<br>B.<br>C. 0<br>D.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający</li></ol>\n<p>wykorzystuje definicje i wyznacza<br>wartości funkcji trygonometrycznych<br>dla kątów ostrych (6.a).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie</h4>\n<p>Chcemy obliczyć \\(f(-3)\\), czyli podstawiamy \\(x = -3\\) do wzoru funkcji:</p>\n<p>\\[f(-3) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3}\\]</p>\n<p>Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\):</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3}\\]</p>\n<p>Obliczamy mianownik:</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1^3}{2^3} = \\frac{1}{8}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[f(-3) = \\frac{1}{\\dfrac{1}{8}} = 8\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci z \\(2^x\\)</h4>\n<p>Zauważamy, że \\(\\dfrac{1}{2} = 2^{-1}\\), więc możemy przepisać funkcję:</p>\n<p>\\[f(x) = \\left(2^{-1}\\right)^x = 2^{-x}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = -3\\):</p>\n<p>\\[f(-3) = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)</strong> - wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - potęga o wykładniku ujemnym:<br>\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]<br>Użyte w Sposobie 1, gdy zamienialiśmy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\) na \\(\\dfrac{1}{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3}\\).</p>\n<p><strong>Dział 2 (s. 4-5)</strong> - działanie na potędze potęgi:<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>Użyte w Sposobie 2, gdy \\(\\left(2^{-1}\\right)^{-3} = 2^{(-1)\\cdot(-3)} = 2^3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(\\dfrac{1}{6}\\) | Uczeń &quot;oblicza&quot; \\(\\dfrac{1}{2+(-3-1)} = \\dfrac{1}{-2}\\) lub myli wzór z inną funkcją. Skąd się bierze 6? Błędne dodawanie: \\(2 + (-3) + 1 = \\ldots\\) - brak sensu matematycznego. |<br>| B - \\(\\dfrac{1}{8}\\) | <strong>Najczęstszy błąd!</strong> Uczeń podstawia \\(x = -3\\) ale pomija znak minusa: liczy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\). Zapomina, że wykładnik to \\(-3\\), nie \\(3\\). |<br>| C - \\(6\\) | Uczeń &quot;odwraca&quot; podstawę zamiast stosować regułę potęgi ujemnej: liczy \\(2 + (-3) + \\ldots\\) albo odczytuje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} \\approx 2 \\cdot 3\\) - zupełnie błędne rozumowanie. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny wykładnik <strong>NIE</strong> oznacza wyniku ujemnego! \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 8\\), a nie \\(-8\\) ani \\(-\\dfrac{1}{8}\\). Potęga z podstawą dodatnią zawsze daje wynik dodatni.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zgubić minusa w wykładniku i policzyć \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) - to odpowiedź B, klasyczna pułapka. Zawsze sprawdź znak wykładnika!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj wzór \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\) - ujemny wykładnik przy ułamku <strong>odwraca ułamek</strong>. Tutaj: \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^3 = 2^3 = 8\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Potęga o wykładniku ujemnym</h5>\n<p>\\[f(-3) = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^{3} = 2^3 = 8.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Własności potęg</h5>\n<p>\\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\dfrac{1}{(1/2)^3} = \\dfrac{1}{1/8} = 8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{6}\\)</strong> - błędne obliczenie, być może \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\) nie pasuje.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{8}\\)</strong> - wartość dla \\(x = 3\\) (bez minusa): \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^3 = \\tfrac{1}{8}\\).</li><li><strong>C. \\(6\\)</strong> - pomylono z \\(2\\cdot 3\\).</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\); \\(\\left(\\tfrac{1}{a}\\right)^{-n} = a^n\\).</p>"}]}