{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n50\n40\n10\n2\n3\n36\n⋅\njest równa\nA.\n70\n6\nB.\n45\n6\nC.\n30\n20\n2\n3\n⋅\nD.\n10\n20\n2\n3\n⋅","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza\npotęgi o wykładnikach wymiernych\noraz stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych\ni rzeczywistych (1.g).\nWersja X\nWersja Y\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3^{5/8}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi trójki\n\nKluczowy pomysł: \\(9 = 3^2\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\), więc cały wyraz pod pierwiastkiem to potęga trójki.\n\n**Krok 1.** Zapisz wszystko jako potęgi trójki:\n\\[9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^2 \\cdot 3^{1/2}\\]\n\n**Krok 2.** Dodaj wykładniki (mnożenie potęg o tej samej podstawie):\n\\[3^2 \\cdot 3^{1/2} = 3^{2 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{5}{2}}\\]\n\n**Krok 3.** Wyciągnij pierwiastek czwartego stopnia - to potęga \\(\\frac{1}{4}\\):\n\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = \\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{\\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{4}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{5/8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie przeliczenie wykładnika\n\nMożna też działać \"od środka na zewnątrz\", zamieniając każdy element na odpowiednią potęgę czwartą.\n\n**Krok 1.** Rozbij pierwiastek czwartego stopnia na dwie osobne potęgi:\n\\[\\sqrt[4]{9 \\cdot \\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9} \\cdot \\sqrt[4]{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Krok 2.** Uprość każdy czynnik:\n\\[\\sqrt[4]{9} = \\sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2}\\]\n\\[\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{3^{1/2}} = 3^{\\frac{1/2}{4}} = 3^{1/8}\\]\n\n**Krok 3.** Pomnóż - dodaj wykładniki:\n\\[3^{1/2} \\cdot 3^{1/8} = 3^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{4}{8} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{5/8}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory na działania na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nOraz zapis pierwiastka jako potęgi:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach: przy dodawaniu wykładników i przy zamianie \\(\\sqrt[4]{\\cdot}\\) na potęgę \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(3^{11/4}\\) - uczeń dodaje wykładniki \\(2 + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2}\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia** (nie mnoży przez \\(\\frac{1}{4}\\)) |\n| C | \\(3^{1/4}\\) - uczeń bierze tylko \\(\\sqrt[4]{3}\\), ignorując czynnik \\(9\\) |\n| D | \\(3^{9/8}\\) - uczeń liczy \\(9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^3\\) (błędnie: \\(2 + \\frac{1}{2} = 3\\) zamiast \\(\\frac{5}{2}\\)), potem \\(3^{3/4} \\) lub myli kolejność działań i dostaje \\(\\frac{9}{8}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(3^2 \\cdot 3^{1/2}\\) wykładniki się **dodaje**, a nie mnoży. Wynik to \\(3^{5/2}\\), nie \\(3^1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek czwartego stopnia to potęga \\(\\frac{1}{4}\\), więc \\(\\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{5/2 \\cdot 1/4} = 3^{5/8}\\) - wykładniki się **mnożą** przy potędze potęgi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj, że \\(9 = 3^2\\), a nie \\(3^3\\)! To jedna z najczęstszych pomyłek przy tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 3\n\\(9 = 3^2\\), \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\). Zatem:\n\\[9\\cdot\\sqrt{3} = 3^2\\cdot 3^{1/2} = 3^{2+1/2} = 3^{5/2}.\\]\nPierwiastek czwartego stopnia:\n\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = 3^{5/2\\cdot 1/4} = 3^{5/8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie własności pierwiastków\n\\(\\sqrt[4]{9\\cdot\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9}\\cdot\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = 3^{2/4}\\cdot 3^{1/8} = 3^{1/2+1/8} = 3^{5/8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3^{11/4}\\)** - błąd przy dzieleniu wykładnika przez 4.\n- **C. \\(3^{1/4}\\)** - zapomniano o czynniku \\(9 = 3^2\\).\n- **D. \\(3^{9/8}\\)** - błędne dodanie wykładników \\(1 + 1/8\\) zamiast \\(1/2 + 1/8\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\\) - dziel tylko raz na końcu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Liczba<br>50<br>40<br>10<br>2<br>3<br>36<br>⋅<br>jest równa<br>A.<br>70<br>6<br>B.<br>45<br>6<br>C.<br>30<br>20<br>2<br>3<br>⋅<br>D.<br>10<br>20<br>2<br>3<br>⋅</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza</li></ol>\n<p>potęgi o wykładnikach wymiernych<br>oraz stosuje prawa działań na<br>potęgach o wykładnikach wymiernych<br>i rzeczywistych (1.g).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(3^{5/8}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi trójki</h4>\n<p>Kluczowy pomysł: \\(9 = 3^2\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\), więc cały wyraz pod pierwiastkiem to potęga trójki.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Zapisz wszystko jako potęgi trójki:<br>\\[9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^2 \\cdot 3^{1/2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Dodaj wykładniki (mnożenie potęg o tej samej podstawie):<br>\\[3^2 \\cdot 3^{1/2} = 3^{2 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{5}{2}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wyciągnij pierwiastek czwartego stopnia - to potęga \\(\\frac{1}{4}\\):<br>\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = \\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{\\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{4}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(3^{5/8}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie przeliczenie wykładnika</h4>\n<p>Można też działać &quot;od środka na zewnątrz&quot;, zamieniając każdy element na odpowiednią potęgę czwartą.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Rozbij pierwiastek czwartego stopnia na dwie osobne potęgi:<br>\\[\\sqrt[4]{9 \\cdot \\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9} \\cdot \\sqrt[4]{\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Uprość każdy czynnik:<br>\\[\\sqrt[4]{9} = \\sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2}\\]<br>\\[\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{3^{1/2}} = 3^{\\frac{1/2}{4}} = 3^{1/8}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Pomnóż - dodaj wykładniki:<br>\\[3^{1/2} \\cdot 3^{1/8} = 3^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{4}{8} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(3^{5/8}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wzory na działania na potęgach:<br>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]</p>\n<p>Oraz zapis pierwiastka jako potęgi:<br>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tych wzorów w obu sposobach: przy dodawaniu wykładników i przy zamianie \\(\\sqrt[4]{\\cdot}\\) na potęgę \\(\\frac{1}{4}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | \\(3^{11/4}\\) - uczeń dodaje wykładniki \\(2 + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2}\\), ale <strong>zapomina wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia</strong> (nie mnoży przez \\(\\frac{1}{4}\\)) |<br>| C | \\(3^{1/4}\\) - uczeń bierze tylko \\(\\sqrt[4]{3}\\), ignorując czynnik \\(9\\) |<br>| D | \\(3^{9/8}\\) - uczeń liczy \\(9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^3\\) (błędnie: \\(2 + \\frac{1}{2} = 3\\) zamiast \\(\\frac{5}{2}\\)), potem \\(3^{3/4} \\) lub myli kolejność działań i dostaje \\(\\frac{9}{8}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu \\(3^2 \\cdot 3^{1/2}\\) wykładniki się <strong>dodaje</strong>, a nie mnoży. Wynik to \\(3^{5/2}\\), nie \\(3^1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwiastek czwartego stopnia to potęga \\(\\frac{1}{4}\\), więc \\(\\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{5/2 \\cdot 1/4} = 3^{5/8}\\) - wykładniki się <strong>mnożą</strong> przy potędze potęgi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapominaj, że \\(9 = 3^2\\), a nie \\(3^3\\)! To jedna z najczęstszych pomyłek przy tego typu zadaniach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 3</h5>\n<p>\\(9 = 3^2\\), \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\). Zatem:<br>\\[9\\cdot\\sqrt{3} = 3^2\\cdot 3^{1/2} = 3^{2+1/2} = 3^{5/2}.\\]<br>Pierwiastek czwartego stopnia:<br>\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = 3^{5/2\\cdot 1/4} = 3^{5/8}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Użycie własności pierwiastków</h5>\n<p>\\(\\sqrt[4]{9\\cdot\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9}\\cdot\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = 3^{2/4}\\cdot 3^{1/8} = 3^{1/2+1/8} = 3^{5/8}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(3^{11/4}\\)</strong> - błąd przy dzieleniu wykładnika przez 4.</li><li><strong>C. \\(3^{1/4}\\)</strong> - zapomniano o czynniku \\(9 = 3^2\\).</li><li><strong>D. \\(3^{9/8}\\)</strong> - błędne dodanie wykładników \\(1 + 1/8\\) zamiast \\(1/2 + 1/8\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\\) - dziel tylko raz na końcu.</p>"}]}