{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt B jest obrazem punktu\n(\n)\n3, 5\nA = -\nw symetrii względem początku układu\nwspółrzędnych. Długość odcinka AB jest równa\nA.\nB. 8\nC.\nD. 12","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający oblicza\nodległości punktów na płaszczyźnie\nkartezjańskiej (8.e).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a = 2,\\ b = 9\\)\n\n## Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej (stała \\(k\\))\n\nJeśli \\(x\\) i \\(y\\) są **odwrotnie proporcjonalne**, to ich iloczyn jest stały:\n\\[x \\cdot y = k\\]\n\n**Krok 1.** Wyznaczymy stałą \\(k\\) z pary, gdzie obie wartości są znane - tu \\(x = 3,\\ y = 24\\):\n\\[k = 3 \\cdot 24 = 72\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(a\\). Wiemy, że gdy \\(x = a\\), to \\(y = 36\\):\n\\[a \\cdot 36 = 72\\]\n\\[a = \\frac{72}{36} = 2\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(b\\). Wiemy, że gdy \\(x = 8\\), to \\(y = b\\):\n\\[8 \\cdot b = 72\\]\n\\[b = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\n**Wynik: \\(a = 2,\\ b = 9\\)** - odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Proporcja (z definicji odwrotnej proporcjonalności)\n\nOdwrotna proporcjonalność oznacza:\n\\[\\frac{x_1}{x_2} = \\frac{y_2}{y_1}\\]\n(gdy \\(x\\) rośnie \\(k\\) razy, \\(y\\) maleje \\(k\\) razy).\n\n**Wyznaczamy \\(a\\):** Bierzemy pary \\((a,\\ 36)\\) i \\((3,\\ 24)\\):\n\\[\\frac{a}{3} = \\frac{24}{36} = \\frac{2}{3}\\]\n\\[a = 3 \\cdot \\frac{2}{3} = 2\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\):** Bierzemy pary \\((3,\\ 24)\\) i \\((8,\\ b)\\):\n\\[\\frac{3}{8} = \\frac{b}{24}\\]\n\\[b = \\frac{3 \\cdot 24}{8} = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(a = 2,\\ b = 9\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja odwrotnej proporcjonalności: \\(x \\cdot y = k\\) (stała). Jest to pojęcie z algebry szkolnej, nieujęte osobno na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pomylenie proporcjonalności odwrotnej z **prostą** - wzięto \\(\\frac{y_1}{y_2} = \\frac{x_1}{x_2}\\) zamiast \\(x \\cdot y = k\\). Dla \\(a\\): \\(\\frac{36}{24} \\cdot 3 = 4{,}5\\) albo podzielono \\(k\\) przez \\(36\\) w inny sposób i policzono \\(b = 24 + \\frac{24}{3} = 22{,}5\\). |\n| B | Wzięto \\(a = \\frac{3 \\cdot 24}{36 \\cdot ?}\\) - błąd arytmetyczny lub użyto złego wzoru proporcji. |\n| C | Pomylenie: wzięto \\(a = y_2 - y_1 = 24 - 3 = \\) albo błędnie przyjęto \\(a = x_2 = 3\\) (przepisanie wartości z tabeli), a \\(b\\) policzono mnożąc zamiast dzieląc: \\(8 \\cdot 12 = 96\\). |\n| D | Poprawna odpowiedź. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcjonalność **odwrotna** to \\(x \\cdot y = k\\) (iloczyn stały), a **prosta** to \\(\\frac{y}{x} = k\\) (iloraz stały). Łatwo je pomylić - sprawdź, czy wzrastaniu \\(x\\) odpowiada malenie \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stałą \\(k\\) wyznaczaj zawsze z **kompletnej** pary \\((x, y)\\) - tu jedyna para gotowa to \\((3,\\ 24)\\). Nie możesz wziąć pary z niewiadomą do wyznaczenia \\(k\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(b\\) łatwo o błąd kierunku - skoro \\(x = 8 > 3\\), to \\(y\\) musi być **mniejsze** niż \\(24\\). Wynik \\(b = 9 < 24\\) - to dobry sygnał że jesteśmy na właściwej drodze. Jeśli wychodzi ci \\(b > 24\\), gdzieś jest błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej\nDla \\(x\\) i \\(y\\) odwrotnie proporcjonalnych: \\(x\\cdot y = \\text{const}\\).\nZ drugiej kolumny: \\(3\\cdot 24 = 72\\). Czyli \\(xy = 72\\).\n\nZ pierwszej kolumny: \\(a\\cdot 36 = 72 \\Rightarrow a = 2\\).\nZ trzeciej kolumny: \\(8\\cdot b = 72 \\Rightarrow b = 9\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(2\\cdot 36 = 72\\) ✓; \\(3\\cdot 24 = 72\\) ✓; \\(8\\cdot 9 = 72\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=6, b=22{,}5\\)**: \\(6\\cdot 36 = 216\\), nie \\(72\\) ✗.\n- **B. \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=6\\)**: \\(\\tfrac{4}{3}\\cdot 36 = 48\\) ✗.\n- **C. \\(a=3, b=96\\)**: \\(3\\cdot 36 = 108\\) ✗.\n\n**Klucz:** odwrotna proporcjonalność - iloczyn stały.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Punkt B jest obrazem punktu<br>(<br>)<br>3, 5<br>A = -<br>w symetrii względem początku układu<br>współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa<br>A.<br>B. 8<br>C.<br>D. 12</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie</li></ol>\n<p>kartezjańskiej. Zdający oblicza<br>odległości punktów na płaszczyźnie<br>kartezjańskiej (8.e).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(a = 2,\\ b = 9\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej (stała \\(k\\))</h4>\n<p>Jeśli \\(x\\) i \\(y\\) są <strong>odwrotnie proporcjonalne</strong>, to ich iloczyn jest stały:<br>\\[x \\cdot y = k\\]</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wyznaczymy stałą \\(k\\) z pary, gdzie obie wartości są znane - tu \\(x = 3,\\ y = 24\\):<br>\\[k = 3 \\cdot 24 = 72\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Wyznaczamy \\(a\\). Wiemy, że gdy \\(x = a\\), to \\(y = 36\\):<br>\\[a \\cdot 36 = 72\\]<br>\\[a = \\frac{72}{36} = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wyznaczamy \\(b\\). Wiemy, że gdy \\(x = 8\\), to \\(y = b\\):<br>\\[8 \\cdot b = 72\\]<br>\\[b = \\frac{72}{8} = 9\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a = 2,\\ b = 9\\)</strong> - odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Proporcja (z definicji odwrotnej proporcjonalności)</h4>\n<p>Odwrotna proporcjonalność oznacza:<br>\\[\\frac{x_1}{x_2} = \\frac{y_2}{y_1}\\]<br>(gdy \\(x\\) rośnie \\(k\\) razy, \\(y\\) maleje \\(k\\) razy).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(a\\):</strong> Bierzemy pary \\((a,\\ 36)\\) i \\((3,\\ 24)\\):<br>\\[\\frac{a}{3} = \\frac{24}{36} = \\frac{2}{3}\\]<br>\\[a = 3 \\cdot \\frac{2}{3} = 2\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(b\\):</strong> Bierzemy pary \\((3,\\ 24)\\) i \\((8,\\ b)\\):<br>\\[\\frac{3}{8} = \\frac{b}{24}\\]<br>\\[b = \\frac{3 \\cdot 24}{8} = \\frac{72}{8} = 9\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: \\(a = 2,\\ b = 9\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja odwrotnej proporcjonalności: \\(x \\cdot y = k\\) (stała). Jest to pojęcie z algebry szkolnej, nieujęte osobno na karcie wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Pomylenie proporcjonalności odwrotnej z <strong>prostą</strong> - wzięto \\(\\frac{y_1}{y_2} = \\frac{x_1}{x_2}\\) zamiast \\(x \\cdot y = k\\). Dla \\(a\\): \\(\\frac{36}{24} \\cdot 3 = 4{,}5\\) albo podzielono \\(k\\) przez \\(36\\) w inny sposób i policzono \\(b = 24 + \\frac{24}{3} = 22{,}5\\). |<br>| B | Wzięto \\(a = \\frac{3 \\cdot 24}{36 \\cdot ?}\\) - błąd arytmetyczny lub użyto złego wzoru proporcji. |<br>| C | Pomylenie: wzięto \\(a = y_2 - y_1 = 24 - 3 = \\) albo błędnie przyjęto \\(a = x_2 = 3\\) (przepisanie wartości z tabeli), a \\(b\\) policzono mnożąc zamiast dzieląc: \\(8 \\cdot 12 = 96\\). |<br>| D | Poprawna odpowiedź. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proporcjonalność <strong>odwrotna</strong> to \\(x \\cdot y = k\\) (iloczyn stały), a <strong>prosta</strong> to \\(\\frac{y}{x} = k\\) (iloraz stały). Łatwo je pomylić - sprawdź, czy wzrastaniu \\(x\\) odpowiada malenie \\(y\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stałą \\(k\\) wyznaczaj zawsze z <strong>kompletnej</strong> pary \\((x, y)\\) - tu jedyna para gotowa to \\((3,\\ 24)\\). Nie możesz wziąć pary z niewiadomą do wyznaczenia \\(k\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(b\\) łatwo o błąd kierunku - skoro \\(x = 8 &gt; 3\\), to \\(y\\) musi być <strong>mniejsze</strong> niż \\(24\\). Wynik \\(b = 9 &lt; 24\\) - to dobry sygnał że jesteśmy na właściwej drodze. Jeśli wychodzi ci \\(b &gt; 24\\), gdzieś jest błąd!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej</h5>\n<p>Dla \\(x\\) i \\(y\\) odwrotnie proporcjonalnych: \\(x\\cdot y = \\text{const}\\).<br>Z drugiej kolumny: \\(3\\cdot 24 = 72\\). Czyli \\(xy = 72\\).</p>\n<p>Z pierwszej kolumny: \\(a\\cdot 36 = 72 \\Rightarrow a = 2\\).<br>Z trzeciej kolumny: \\(8\\cdot b = 72 \\Rightarrow b = 9\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(2\\cdot 36 = 72\\) ✓; \\(3\\cdot 24 = 72\\) ✓; \\(8\\cdot 9 = 72\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a=6, b=22{,}5\\)</strong>: \\(6\\cdot 36 = 216\\), nie \\(72\\) ✗.</li><li><strong>B. \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=6\\)</strong>: \\(\\tfrac{4}{3}\\cdot 36 = 48\\) ✗.</li><li><strong>C. \\(a=3, b=96\\)</strong>: \\(3\\cdot 36 = 108\\) ✗.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> odwrotna proporcjonalność - iloczyn stały.</p>"}]}