{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których\ncyfry się nie powtarzają?\nA. 10\nB. 15\nC. 20\nD. 25","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej.\nTeoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający zlicza\nobiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych,\nstosuje zasadę mnożenia (10.b).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości (iloczyn współczynników)\n\n**Kluczowy fakt:** Dwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nSprawdzamy każdą parę - patrzymy wyłącznie na **współczynniki kierunkowe** (liczbę przy \\(x\\)):\n\n**Para A:** \\(y = 2x\\) i \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\nUwaga: \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (brak \\(x\\)), współczynnik kierunkowy \\(= 0\\).\n\\[2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Para B:** \\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\nWspółczynniki: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).\n\\[(-2) \\cdot \\frac{1}{2} = -1 \\checkmark\\]\n**Proste są prostopadłe!**\n\n**Para C:** \\(y = 2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\n\\[2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są \"symetryczne\" względem prostych \\(y = x\\) i \\(y = -x\\), ale nie prostopadłe do siebie).\n\n**Para D:** \\(y = 2\\) i \\(y = -2x\\)\n\n\\(y = 2\\) to prosta pozioma, współczynnik \\(= 0\\).\n\\[0 \\cdot (-2) = 0 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe. (Te proste byłyby prostopadłe gdyby druga była pionowa \\(x = \\text{const}\\), a nie \\(y = -2x\\).)\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Geometryczna weryfikacja przez kąty\n\nKażda prosta tworzy z osią \\(OX\\) kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = a\\) (współczynnik kierunkowy).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy ich kąty nachylenia różnią się o dokładnie \\(90°\\).\n\nDla pary **B**: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nKąt \\(\\alpha_1\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_1 = -2\\) - prosta idzie w lewo i w górę (II/IV ćwiartka).\n\nKąt \\(\\alpha_2\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_2 = \\dfrac{1}{2}\\) - prosta idzie w prawo i w górę.\n\nSprawdzamy warunek prostopadłości wzorem:\n\\[\\operatorname{tg}(\\alpha_1 - \\alpha_2) = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha_1 - \\operatorname{tg}\\alpha_2}{1 + \\operatorname{tg}\\alpha_1 \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha_2} = \\frac{-2 - \\frac{1}{2}}{1 + (-2)\\cdot\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{1 - 1} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{0}\\]\n\nMianownik równy zero oznacza, że kąt między prostymi wynosi \\(90°\\) - **proste są prostopadłe**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWarunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nTo jest wprost ze strony 22-23 karty. Wystarczy odczytać współczynniki przy \\(x\\) z każdego równania i sprawdzić ich iloczyn.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(y = -\\frac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (brak \\(x\\)), nie ma współczynnika \\(-\\frac{1}{2}\\) przy \\(x\\). Uczeń myli stałą z brakiem wyrazu wolnego. Iloczyn \\(2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\). |\n| C | \\(2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\). Te proste to \"odwrotność bez znaku minus\" - uczeń zapomina, że warunek prostopadłości wymaga **ujemnego odwrotności**, a nie tylko odwrotności. |\n| D | \\(y = 2\\) to prosta pozioma. Prostopadła do niej byłaby prosta pionowa \\(x = \\text{const}\\). Prosta \\(y = -2x\\) jest ukośna, więc nie jest prostopadła do poziomej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\) to zupełnie różne proste! Pierwsza to stała (pozioma), druga ma współczynnik przy \\(x\\). Nie myl wyrazu wolnego ze współczynnikiem kierunkowym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Proste \\(y = 2x\\) i \\(y = \\frac{1}{2}x\\) mają iloczyn współczynników \\(= +1\\) - są symetryczne względem osi, ale **nie** prostopadłe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do prostej poziomej (\\(a = 0\\)) prostopadła jest tylko prosta pionowa (\\(x = c\\)), której w ogóle nie da się zapisać w postaci \\(y = ax + b\\). Żadna ukośna prosta nie jest prostopadła do poziomej.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste są prostopadłe, gdy \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).\n\n**B:** \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\tfrac{1}{2}\\): \\((-2)\\cdot\\tfrac{1}{2} = -1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych\n- **A:** \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (\\(a = 0\\)), \\(y = 2x\\) to prosta ukośna. Pozioma ⊥ pionowa, nie ukośna. ✗\n- **C:** \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1 \\ne -1\\) ✗.\n- **D:** \\(y = 2\\) pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna. Prostopadłość wymagałaby prostej pionowej \\(x = c\\). ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) jest pozioma, nie prostopadła do \\(y = 2x\\).\n- **C.** Iloczyn współczynników \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\) (to proste równoległe w sensie pochylenia, ale tu - po prostu nie prostopadłe).\n- **D.** \\(y = 2\\) to pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna - nie są prostopadłe.\n\n**Klucz:** \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\) → prostopadłość dla prostych ukośnych. Pozioma ⊥ pionowa.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których<br>cyfry się nie powtarzają?<br>A. 10<br>B. 15<br>C. 20<br>D. 25</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej.</li></ol>\n<p>Teoria prawdopodobieństwa<br>i kombinatoryka. Zdający zlicza<br>obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych, niewymagających<br>użycia wzorów kombinatorycznych,<br>stosuje zasadę mnożenia (10.b).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości (iloczyn współczynników)</h4>\n<p><strong>Kluczowy fakt:</strong> Dwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Sprawdzamy każdą parę - patrzymy wyłącznie na <strong>współczynniki kierunkowe</strong> (liczbę przy \\(x\\)):</p>\n<p><strong>Para A:</strong> \\(y = 2x\\) i \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\)</p>\n<p>Uwaga: \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) to prosta <strong>pozioma</strong> (brak \\(x\\)), współczynnik kierunkowy \\(= 0\\).<br>\\[2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe.</p>\n<p><strong>Para B:</strong> \\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)</p>\n<p>Współczynniki: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).<br>\\[(-2) \\cdot \\frac{1}{2} = -1 \\checkmark\\]<br><strong>Proste są prostopadłe!</strong></p>\n<p><strong>Para C:</strong> \\(y = 2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)</p>\n<p>\\[2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe (są &quot;symetryczne&quot; względem prostych \\(y = x\\) i \\(y = -x\\), ale nie prostopadłe do siebie).</p>\n<p><strong>Para D:</strong> \\(y = 2\\) i \\(y = -2x\\)</p>\n<p>\\(y = 2\\) to prosta pozioma, współczynnik \\(= 0\\).<br>\\[0 \\cdot (-2) = 0 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe. (Te proste byłyby prostopadłe gdyby druga była pionowa \\(x = \\text{const}\\), a nie \\(y = -2x\\).)</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Geometryczna weryfikacja przez kąty</h4>\n<p>Każda prosta tworzy z osią \\(OX\\) kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = a\\) (współczynnik kierunkowy).</p>\n<p>Dwie proste są prostopadłe, gdy ich kąty nachylenia różnią się o dokładnie \\(90°\\).</p>\n<p>Dla pary <strong>B</strong>: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>Kąt \\(\\alpha_1\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_1 = -2\\) - prosta idzie w lewo i w górę (II/IV ćwiartka).</p>\n<p>Kąt \\(\\alpha_2\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_2 = \\dfrac{1}{2}\\) - prosta idzie w prawo i w górę.</p>\n<p>Sprawdzamy warunek prostopadłości wzorem:<br>\\[\\operatorname{tg}(\\alpha_1 - \\alpha_2) = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha_1 - \\operatorname{tg}\\alpha_2}{1 + \\operatorname{tg}\\alpha_1 \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha_2} = \\frac{-2 - \\frac{1}{2}}{1 + (-2)\\cdot\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{1 - 1} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{0}\\]</p>\n<p>Mianownik równy zero oznacza, że kąt między prostymi wynosi \\(90°\\) - <strong>proste są prostopadłe</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>To jest wprost ze strony 22-23 karty. Wystarczy odczytać współczynniki przy \\(x\\) z każdego równania i sprawdzić ich iloczyn.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(y = -\\frac{1}{2}\\) to prosta <strong>pozioma</strong> (brak \\(x\\)), nie ma współczynnika \\(-\\frac{1}{2}\\) przy \\(x\\). Uczeń myli stałą z brakiem wyrazu wolnego. Iloczyn \\(2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\). |<br>| C | \\(2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\). Te proste to &quot;odwrotność bez znaku minus&quot; - uczeń zapomina, że warunek prostopadłości wymaga <strong>ujemnego odwrotności</strong>, a nie tylko odwrotności. |<br>| D | \\(y = 2\\) to prosta pozioma. Prostopadła do niej byłaby prosta pionowa \\(x = \\text{const}\\). Prosta \\(y = -2x\\) jest ukośna, więc nie jest prostopadła do poziomej. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\) to zupełnie różne proste! Pierwsza to stała (pozioma), druga ma współczynnik przy \\(x\\). Nie myl wyrazu wolnego ze współczynnikiem kierunkowym.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), <strong>nie</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Proste \\(y = 2x\\) i \\(y = \\frac{1}{2}x\\) mają iloczyn współczynników \\(= +1\\) - są symetryczne względem osi, ale <strong>nie</strong> prostopadłe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Do prostej poziomej (\\(a = 0\\)) prostopadła jest tylko prosta pionowa (\\(x = c\\)), której w ogóle nie da się zapisać w postaci \\(y = ax + b\\). Żadna ukośna prosta nie jest prostopadła do poziomej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości</h5>\n<p>Proste są prostopadłe, gdy \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).</p>\n<p><strong>B:</strong> \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\tfrac{1}{2}\\): \\((-2)\\cdot\\tfrac{1}{2} = -1\\) ✓.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) to prosta <strong>pozioma</strong> (\\(a = 0\\)), \\(y = 2x\\) to prosta ukośna. Pozioma ⊥ pionowa, nie ukośna. ✗</li><li><strong>C:</strong> \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1 \\ne -1\\) ✗.</li><li><strong>D:</strong> \\(y = 2\\) pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna. Prostopadłość wymagałaby prostej pionowej \\(x = c\\). ✗</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) jest pozioma, nie prostopadła do \\(y = 2x\\).</li><li><strong>C.</strong> Iloczyn współczynników \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\) (to proste równoległe w sensie pochylenia, ale tu - po prostu nie prostopadłe).</li><li><strong>D.</strong> \\(y = 2\\) to pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna - nie są prostopadłe.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\) → prostopadłość dla prostych ukośnych. Pozioma ⊥ pionowa.</p>"}]}