{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,\ntakie, że\n3\n2\nAP\nCR\nPB\nRD\n(zobacz rysunek).\nPole czworokąta APCR jest równe\nA. 36\nB. 40\nC. 54\nD. 60\nα\nβ\n2sin β\ncosα\n2\n34\n2\n34\nA\nB\nC\nD\nP\nR\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych\nw zadaniach, w tym umieszczonych\nw kontekście praktycznym (7.b).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - pole trójkąta ABC wynosi \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - zauważenie pionowego boku i wzór podstawa × wysokość\n\nZanim sięgniemy po wzory, **spojrzyjmy na współrzędne**:\n- \\(A = (4, 1)\\)\n- \\(C = (4, -1)\\)\n\nOba punkty mają tę samą odciętą \\(x = 4\\), więc bok \\(AC\\) jest **pionowy** (równoległy do osi \\(OY\\)).\n\n**Długość podstawy \\(|AC|\\):**\n\\[|AC| = |1 - (-1)| = 2\\]\n\n**Wysokość** opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na bok \\(AC\\) to pozioma odległość od \\(B\\) do prostej \\(x = 4\\):\n\\[h = |4 - 1| = 3\\]\n\n**Pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 3 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ze współrzędnych (wyznacznikowy)\n\nZe wzoru na pole trójkąta z karty CKE (geometria analityczna):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (4,1)\\), \\(B = (1,3)\\), \\(C = (4,-1)\\):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(1-4) \\cdot (-1-1) - (3-1) \\cdot (4-4)|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}|(-3) \\cdot (-2) - (2) \\cdot (0)|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}|6 - 0| = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\mathbf{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 2.\n\nW Sposobie 1 wystarczyła definicja \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) (wzór na pole trójkąta z podstawą i odpowiednią wysokością, Dział 10, s. 15).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(6\\) | Policzono \\(|AC| \\cdot h = 2 \\cdot 3 = 6\\) - **zapomniano podzielić przez 2** (wzór na pole trójkąta, nie prostokąta!) |\n| C - \\(8\\) | Błędne obliczenie odległości, np. dodanie odciętych zamiast odjęcia: \\(|4+1| \\cdot | \\) |\n| D - \\(16\\) | Pomylenie wzoru z prostokątem lub nieprawidłowe zastosowanie wzoru, np. \\((x_C - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 0 + 4\\) z błędnym mnożeniem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) w polu trójkąta - policzenie \\(a \\cdot h\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\). Prowadzi prosto do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim użyjesz złożonego wzoru wyznacznikowego - sprawdź czy dwa punkty mają tę samą współrzędną \\(x\\) lub \\(y\\). Jeśli tak, bok jest poziomy lub pionowy i obliczenia są dużo prostsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze wyznacznikowym kolejność punktów \\(A, B, C\\) nie ma znaczenia dla wartości bezwzględnej pola - ale pamiętaj o module \\(|\\ldots|\\), bo wynik bez modułu może wyjść ujemny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z wyznacznikiem\n\\[P = \\tfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|4(3-(-1)) + 1(-1-1) + 4(1-3)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 4 + 1\\cdot(-2) + 4\\cdot(-2)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|16 - 2 - 8| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Obserwacja na rysunku\n\\(A = (4, 1)\\) i \\(C = (4, -1)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną → bok \\(AC\\) jest **pionowy**, jego długość = \\(|1 - (-1)| = 2\\).\nWysokość opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na prostą \\(x = 4\\) = \\(|4-1| = 3\\).\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 3 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(6\\)** - zapomniano o czynniku \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n- **C. \\(8\\), D. \\(16\\)** - błędne obliczenia, może źle odjęto wartości.\n\n**Klucz:** jeśli dwa punkty mają tę samą \\(x\\) (lub \\(y\\)), bok jest pionowy (poziomy) - łatwo policzyć podstawę i wysokość.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,<br>takie, że<br>3<br>2<br>AP<br>CR<br>PB<br>RD<br>(zobacz rysunek).<br>Pole czworokąta APCR jest równe<br>A. 36<br>B. 40<br>C. 54<br>D. 60<br>α<br>β<br>2sin β<br>cosα<br>2<br>34<br>2<br>34<br>A<br>B<br>C<br>D<br>P<br>R</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>własności figur podobnych<br>w zadaniach, w tym umieszczonych<br>w kontekście praktycznym (7.b).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - pole trójkąta ABC wynosi \\(3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - zauważenie pionowego boku i wzór podstawa × wysokość</h4>\n<p>Zanim sięgniemy po wzory, <strong>spojrzyjmy na współrzędne</strong>:</p>\n<ul><li>\\(A = (4, 1)\\)</li><li>\\(C = (4, -1)\\)</li></ul>\n<p>Oba punkty mają tę samą odciętą \\(x = 4\\), więc bok \\(AC\\) jest <strong>pionowy</strong> (równoległy do osi \\(OY\\)).</p>\n<p><strong>Długość podstawy \\(|AC|\\):</strong><br>\\[|AC| = |1 - (-1)| = 2\\]</p>\n<p><strong>Wysokość</strong> opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na bok \\(AC\\) to pozioma odległość od \\(B\\) do prostej \\(x = 4\\):<br>\\[h = |4 - 1| = 3\\]</p>\n<p><strong>Pole trójkąta:</strong><br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 3 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór ze współrzędnych (wyznacznikowy)</h4>\n<p>Ze wzoru na pole trójkąta z karty CKE (geometria analityczna):<br>\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(A = (4,1)\\), \\(B = (1,3)\\), \\(C = (4,-1)\\):<br>\\[P = \\frac{1}{2}|(1-4) \\cdot (-1-1) - (3-1) \\cdot (4-4)|\\]<br>\\[P = \\frac{1}{2}|(-3) \\cdot (-2) - (2) \\cdot (0)|\\]<br>\\[P = \\frac{1}{2}|6 - 0| = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych:<br>\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]<br>Użyty bezpośrednio w Sposobie 2.</p>\n<p>W Sposobie 1 wystarczyła definicja \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) (wzór na pole trójkąta z podstawą i odpowiednią wysokością, Dział 10, s. 15).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B - \\(6\\) | Policzono \\(|AC| \\cdot h = 2 \\cdot 3 = 6\\) - <strong>zapomniano podzielić przez 2</strong> (wzór na pole trójkąta, nie prostokąta!) |<br>| C - \\(8\\) | Błędne obliczenie odległości, np. dodanie odciętych zamiast odjęcia: \\(|4+1| \\cdot | \\) |<br>| D - \\(16\\) | Pomylenie wzoru z prostokątem lub nieprawidłowe zastosowanie wzoru, np. \\((x_C - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 0 + 4\\) z błędnym mnożeniem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) w polu trójkąta - policzenie \\(a \\cdot h\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\). Prowadzi prosto do odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zanim użyjesz złożonego wzoru wyznacznikowego - sprawdź czy dwa punkty mają tę samą współrzędną \\(x\\) lub \\(y\\). Jeśli tak, bok jest poziomy lub pionowy i obliczenia są dużo prostsze.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W wzorze wyznacznikowym kolejność punktów \\(A, B, C\\) nie ma znaczenia dla wartości bezwzględnej pola - ale pamiętaj o module \\(|\\ldots|\\), bo wynik bez modułu może wyjść ujemny.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór z wyznacznikiem</h5>\n<p>\\[P = \\tfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]<br>\\[= \\tfrac{1}{2}|4(3-(-1)) + 1(-1-1) + 4(1-3)|\\]<br>\\[= \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 4 + 1\\cdot(-2) + 4\\cdot(-2)|\\]<br>\\[= \\tfrac{1}{2}|16 - 2 - 8| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obserwacja na rysunku</h5>\n<p>\\(A = (4, 1)\\) i \\(C = (4, -1)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną → bok \\(AC\\) jest <strong>pionowy</strong>, jego długość = \\(|1 - (-1)| = 2\\).<br>Wysokość opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na prostą \\(x = 4\\) = \\(|4-1| = 3\\).<br>Pole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 3 = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(6\\)</strong> - zapomniano o czynniku \\(\\tfrac{1}{2}\\).</li><li><strong>C. \\(8\\), D. \\(16\\)</strong> - błędne obliczenia, może źle odjęto wartości.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> jeśli dwa punkty mają tę samą \\(x\\) (lub \\(y\\)), bok jest pionowy (poziomy) - łatwo policzyć podstawę i wysokość.</p>"}]}