{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nCztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego\nzestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej;\nteoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza\nśrednią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie\nstandardowe danych; interpretuje te\nparametry dla danych empirycznych\n(10.a).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(255\\)\n\n## Sposób 1 - Przedział i wzór na liczbę wielokrotności\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych **mniejszych od \\(2020\\)** i podzielnych przez \\(4\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy zakres.**\n\nLiczby czterocyfrowe mniejsze od \\(2020\\) to liczby ze zbioru:\n\\[\\{1000, 1001, 1002, \\ldots, 2019\\}\\]\n\n**Krok 2: Znajdź pierwszą i ostatnią liczbę z zakresu podzielną przez 4.**\n\n- Pierwsza: \\(1000 = 4 \\cdot 250\\) ✓ → pierwsza to \\(1000\\)\n- Ostatnia: sprawdzamy od \\(2019\\) w dół:\n\\[2019 : 4 = 504{,}75 \\quad \\text{(nie całkowita)}\\]\n\\[2016 = 4 \\cdot 504\\] ✓ → ostatnia to \\(2016\\)\n\n**Krok 3: Policz wyrazy.**\n\nLiczby \\(1000, 1004, 1008, \\ldots, 2016\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(r = 4\\).\n\nLiczba wyrazów:\n\\[n = \\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = \\frac{1016}{4} + 1 = 254 + 1 = \\mathbf{255}\\]\n\n## Sposób 2 - Odejmowanie wielokrotności\n\nKorzystamy ze wzoru: liczba wielokrotności \\(k\\) w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, n\\}\\) wynosi \\(\\left\\lfloor \\frac{n}{k} \\right\\rfloor\\).\n\n**Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 2019\\) podzielnych przez 4?**\n\\[\\left\\lfloor \\frac{2019}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 504{,}75 \\right\\rfloor = 504\\]\n\n**Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 999\\) podzielnych przez 4?** (to są liczby co najwyżej trzycyfrowe)\n\\[\\left\\lfloor \\frac{999}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 249{,}75 \\right\\rfloor = 249\\]\n\n**Czterocyfrowe liczby \\(< 2020\\) podzielne przez 4:**\n\\[504 - 249 = \\mathbf{255}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Wystarczą:\n- definicja podzielności przez 4\n- wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego (Dział 8, s. 9): \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** - \\(506\\) | Liczenie wszystkich liczb \\(\\leq 2024\\) podzielnych przez 4 bez odejmowania liczb \\(\\leq 999\\): \\(\\lfloor 2024/4 \\rfloor = 506\\) - zapomniano wyciąć liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe |\n| **B** - \\(505\\) | Podobny błąd: \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor = 505\\) - liczenie od 1, nie od 1000 |\n| **C** - \\(256\\) | Traktowanie „mniejsze od \\(2020\\)\" jako „mniejsze lub równe \\(2020\\)\": \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor - \\lfloor 999/4 \\rfloor = 505 - 249 = 256\\) - \\(2020\\) jest podzielne przez 4, ale zadanie mówi **mniejsze**, więc je wykluczamy |\n| **D** - \\(255\\) | ✅ Poprawna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Mniejsze od \\(2020\\)\" oznacza \\(\\leq 2019\\), nie \\(\\leq 2020\\)! Liczba \\(2020 = 4 \\cdot 505\\) jest podzielna przez 4, więc to wykluczenie zmienia wynik o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, żeby odjąć liczby **nie**czterocyfrowe (czyli \\(\\leq 999\\) podzielne przez 4). Łatwo policzyć wielokrotności od 1 zamiast od 1000 i dostać wynik o 249 za duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) uczniowie często zapominają o \\(+1\\) - brak tej jedynki daje \\(254\\) zamiast \\(255\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nCzterocyfrowe liczby zaczynają się od \\(1000\\) i mają się zmieścić w \\(<2020\\). Podzielne przez \\(4\\):\n- Pierwsza: \\(1000\\) (\\(1000/4 = 250\\)).\n- Ostatnia \\(<2020\\): \\(2016\\) (\\(2016/4 = 504\\)).\n\nCiąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\): \\(a_n = 1000 + 4(n-1) = 2016\\):\n\\[4(n-1) = 1016 \\Rightarrow n - 1 = 254 \\Rightarrow n = 255.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez mnożniki\nLiczby \\(4k\\) z zakresu \\([1000, 2020)\\): \\(k \\in [250, 504]\\) (bo \\(4\\cdot 250 = 1000\\), \\(4\\cdot 505 = 2020\\) - nie \\(<2020\\)).\nLiczność: \\(504 - 250 + 1 = 255\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(506\\)** - uwzględniono liczby do \\(2020\\) włącznie lub z błędem.\n- **B. \\(505\\)** - błąd o 1 (np. włączono \\(2020\\)).\n- **C. \\(256\\)** - błąd o 1, za duże o jedno.\n\n**Klucz:** uważaj na **ścisłą** nierówność \"mniejszych od\"; najstarsze \\(2020\\) **nie** jest liczone.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego<br>zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej;</li></ol>\n<p>teoria prawdopodobieństwa<br>i kombinatoryka. Zdający oblicza<br>średnią arytmetyczną, średnią<br>ważoną, medianę i odchylenie<br>standardowe danych; interpretuje te<br>parametry dla danych empirycznych<br>(10.a).<br>Wersja X<br>Wersja Y<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(255\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przedział i wzór na liczbę wielokrotności</h4>\n<p>Szukamy czterocyfrowych liczb naturalnych <strong>mniejszych od \\(2020\\)</strong> i podzielnych przez \\(4\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy zakres.</strong></p>\n<p>Liczby czterocyfrowe mniejsze od \\(2020\\) to liczby ze zbioru:<br>\\[\\{1000, 1001, 1002, \\ldots, 2019\\}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Znajdź pierwszą i ostatnią liczbę z zakresu podzielną przez 4.</strong></p>\n<ul><li>Pierwsza: \\(1000 = 4 \\cdot 250\\) ✓ → pierwsza to \\(1000\\)</li><li>Ostatnia: sprawdzamy od \\(2019\\) w dół:</li></ul>\n<p>\\[2019 : 4 = 504{,}75 \\quad \\text{(nie całkowita)}\\]<br>\\[2016 = 4 \\cdot 504\\] ✓ → ostatnia to \\(2016\\)</p>\n<p><strong>Krok 3: Policz wyrazy.</strong></p>\n<p>Liczby \\(1000, 1004, 1008, \\ldots, 2016\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(r = 4\\).</p>\n<p>Liczba wyrazów:<br>\\[n = \\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = \\frac{1016}{4} + 1 = 254 + 1 = \\mathbf{255}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Odejmowanie wielokrotności</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru: liczba wielokrotności \\(k\\) w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, n\\}\\) wynosi \\(\\left\\lfloor \\frac{n}{k} \\right\\rfloor\\).</p>\n<p><strong>Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 2019\\) podzielnych przez 4?</strong><br>\\[\\left\\lfloor \\frac{2019}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 504{,}75 \\right\\rfloor = 504\\]</p>\n<p><strong>Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 999\\) podzielnych przez 4?</strong> (to są liczby co najwyżej trzycyfrowe)<br>\\[\\left\\lfloor \\frac{999}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 249{,}75 \\right\\rfloor = 249\\]</p>\n<p><strong>Czterocyfrowe liczby \\(&lt; 2020\\) podzielne przez 4:</strong><br>\\[504 - 249 = \\mathbf{255}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Wystarczą:</p>\n<ul><li>definicja podzielności przez 4</li><li>wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego (Dział 8, s. 9): \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\)</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> - \\(506\\) | Liczenie wszystkich liczb \\(\\leq 2024\\) podzielnych przez 4 bez odejmowania liczb \\(\\leq 999\\): \\(\\lfloor 2024/4 \\rfloor = 506\\) - zapomniano wyciąć liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe |<br>| <strong>B</strong> - \\(505\\) | Podobny błąd: \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor = 505\\) - liczenie od 1, nie od 1000 |<br>| <strong>C</strong> - \\(256\\) | Traktowanie „mniejsze od \\(2020\\)&quot; jako „mniejsze lub równe \\(2020\\)&quot;: \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor - \\lfloor 999/4 \\rfloor = 505 - 249 = 256\\) - \\(2020\\) jest podzielne przez 4, ale zadanie mówi <strong>mniejsze</strong>, więc je wykluczamy |<br>| <strong>D</strong> - \\(255\\) | ✅ Poprawna |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Mniejsze od \\(2020\\)&quot; oznacza \\(\\leq 2019\\), nie \\(\\leq 2020\\)! Liczba \\(2020 = 4 \\cdot 505\\) jest podzielna przez 4, więc to wykluczenie zmienia wynik o 1.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, żeby odjąć liczby <strong>nie</strong>czterocyfrowe (czyli \\(\\leq 999\\) podzielne przez 4). Łatwo policzyć wielokrotności od 1 zamiast od 1000 i dostać wynik o 249 za duży.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wzorze \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) uczniowie często zapominają o \\(+1\\) - brak tej jedynki daje \\(254\\) zamiast \\(255\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny</h5>\n<p>Czterocyfrowe liczby zaczynają się od \\(1000\\) i mają się zmieścić w \\(&lt;2020\\). Podzielne przez \\(4\\):</p>\n<ul><li>Pierwsza: \\(1000\\) (\\(1000/4 = 250\\)).</li><li>Ostatnia \\(&lt;2020\\): \\(2016\\) (\\(2016/4 = 504\\)).</li></ul>\n<p>Ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\): \\(a_n = 1000 + 4(n-1) = 2016\\):<br>\\[4(n-1) = 1016 \\Rightarrow n - 1 = 254 \\Rightarrow n = 255.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez mnożniki</h5>\n<p>Liczby \\(4k\\) z zakresu \\([1000, 2020)\\): \\(k \\in [250, 504]\\) (bo \\(4\\cdot 250 = 1000\\), \\(4\\cdot 505 = 2020\\) - nie \\(&lt;2020\\)).<br>Liczność: \\(504 - 250 + 1 = 255\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(506\\)</strong> - uwzględniono liczby do \\(2020\\) włącznie lub z błędem.</li><li><strong>B. \\(505\\)</strong> - błąd o 1 (np. włączono \\(2020\\)).</li><li><strong>C. \\(256\\)</strong> - błąd o 1, za duże o jedno.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> uważaj na <strong>ścisłą</strong> nierówność &quot;mniejszych od&quot;; najstarsze \\(2020\\) <strong>nie</strong> jest liczone.</p>"}]}