{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Sinus kąta α nachylenia przekątnej HB tego sześcianu do\npłaszczyzny podstawy ABCD (zobacz rysunek) jest równy\nA.\n3\n3\nB.\n6\n3\nC.\n2\n2\nD.\n6\n2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza\nzwiązki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z\nzastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - dziesięciokąt\n\n## Sposób 1 - Układanie równania z definicji\n\n**Ustalamy zmienną.** Niech podstawą obu brył jest \\(n\\)-kąt.\n\n**Liczymy wierzchołki graniastosłupa.**\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma dwie podstawy, każda z \\(n\\) wierzchołkami:\n\\[W_{\\text{gran}} = 2n\\]\n\n**Liczymy wierzchołki ostrosłupa.**\nOstrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(n\\) wierzchołków podstawy i \\(1\\) wierzchołek górny (apex):\n\\[W_{\\text{ostr}} = n + 1\\]\n\n**Układamy równanie** na podstawie warunku zadania (\"graniastosłup ma o \\(9\\) więcej wierzchołków\"):\n\\[W_{\\text{gran}} - W_{\\text{ostr}} = 9\\]\n\\[2n - (n + 1) = 9\\]\n\\[2n - n - 1 = 9\\]\n\\[n = 10\\]\n\n**Podstawą jest dziesięciokąt.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy wynik \\(n = 10\\) bezpośrednio:\n\n- Graniastosłup o podstawie **dziesięciokąta**: \\(2 \\cdot 10 = 20\\) wierzchołków\n- Ostrosłup o podstawie **dziesięciokąta**: \\(10 + 1 = 11\\) wierzchołków\n- Różnica: \\(20 - 11 = 9\\) ✓\n\nWarunek zadania jest spełniony - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja wierzchołków graniastosłupa i ostrosłupa oraz podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(n = 9\\): różnica \\(2 \\cdot 9 - (9+1) = 18 - 10 = 8 \\neq 9\\). Pomylenie liczby ścian z liczbą wierzchołków, lub błąd o 1 w liczeniu wierzchołków ostrosłupa. |\n| B | \\(n = 8\\): różnica \\(2 \\cdot 8 - (8+1) = 16 - 9 = 7 \\neq 9\\). Wynik za mały - typowy błąd przy złym zapisaniu równania. |\n| C | \\(n = 18\\): różnica wyniosłaby \\(2 \\cdot 18 - (18+1) = 36 - 19 = 17 \\neq 9\\). Uczeń mógł pominąć wierzchołek apex ostrosłupa i rozwiązać \\(2n - n = 9\\), dostając \\(n = 9\\), a potem zaokrąglić lub pomylić wynik z inną odpowiedzią. |\n| D | ✓ Poprawna |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma **\\(n+1\\)** wierzchołków, nie \\(n\\). Bardzo łatwo zapomnieć o wierzchołku głównym (apex) i zapisać \\(n\\) zamiast \\(n+1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup ma **dwie** podstawy, więc wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\). Błąd przy liczeniu ścian (które jest inne!) przeniesiony na wierzchołki to klasyczna pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o podstawę obu brył - upewnij się, że odpowiadasz właśnie na to pytanie, a nie np. podajesz liczbę \\(n = 10\\) jako odpowiedź (bo \\(10\\) to nie nazwa figury - odpowiedź to „dziesięciokąt\").\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Równanie z liczby wierzchołków\nNiech \\(n\\) - liczba boków podstawy.\n- Graniastosłup: \\(2n\\) wierzchołków (dwie kopie podstawy).\n- Ostrosłup: \\(n + 1\\) wierzchołków (\\(n\\) w podstawie + \\(1\\) wierzchołek).\n\nWarunek: \\(2n = (n+1) + 9\\):\n\\[2n = n + 10 \\Rightarrow n = 10.\\]\nPodstawa - dziesięciokąt.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla dziesięciokąta (\\(n=10\\)): graniastosłup ma \\(20\\) wierzchołków, ostrosłup \\(11\\). Różnica: \\(20 - 11 = 9\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Dziewięciokąt** (\\(n=9\\)): różnica \\(18 - 10 = 8\\) ✗.\n- **B. Ośmiokąt** (\\(n=8\\)): \\(16-9 = 7\\) ✗.\n- **C. Osiemnastokąt** (\\(n=18\\)): \\(36-19 = 17\\) ✗.\n\n**Klucz:** \\(\\text{wierzchołki graniastosłupa} = 2\\cdot n\\), \\(\\text{ostrosłupa} = n+1\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Sinus kąta α nachylenia przekątnej HB tego sześcianu do
płaszczyzny podstawy ABCD (zobacz rysunek) jest równy
A.
3
3
B.
6
3
C.
2
2
D.
6
2

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza
\n

związki miarowe w wielościanach
i bryłach obrotowych z
zastosowaniem trygonometrii (9.b).
Wersja X
Wersja Y
A
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - dziesięciokąt

\n

Sposób 1 - Układanie równania z definicji

\n

Ustalamy zmienną. Niech podstawą obu brył jest \\(n\\)-kąt.

\n

Liczymy wierzchołki graniastosłupa.
Graniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma dwie podstawy, każda z \\(n\\) wierzchołkami:
\\[W_{\\text{gran}} = 2n\\]

\n

Liczymy wierzchołki ostrosłupa.
Ostrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(n\\) wierzchołków podstawy i \\(1\\) wierzchołek górny (apex):
\\[W_{\\text{ostr}} = n + 1\\]

\n

Układamy równanie na podstawie warunku zadania ("graniastosłup ma o \\(9\\) więcej wierzchołków"):
\\[W_{\\text{gran}} - W_{\\text{ostr}} = 9\\]
\\[2n - (n + 1) = 9\\]
\\[2n - n - 1 = 9\\]
\\[n = 10\\]

\n

Podstawą jest dziesięciokąt.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy wynik \\(n = 10\\) bezpośrednio:

\n\n

Warunek zadania jest spełniony - wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja wierzchołków graniastosłupa i ostrosłupa oraz podstawowe działania algebraiczne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(n = 9\\): różnica \\(2 \\cdot 9 - (9+1) = 18 - 10 = 8 \\neq 9\\). Pomylenie liczby ścian z liczbą wierzchołków, lub błąd o 1 w liczeniu wierzchołków ostrosłupa. |
| B | \\(n = 8\\): różnica \\(2 \\cdot 8 - (8+1) = 16 - 9 = 7 \\neq 9\\). Wynik za mały - typowy błąd przy złym zapisaniu równania. |
| C | \\(n = 18\\): różnica wyniosłaby \\(2 \\cdot 18 - (18+1) = 36 - 19 = 17 \\neq 9\\). Uczeń mógł pominąć wierzchołek apex ostrosłupa i rozwiązać \\(2n - n = 9\\), dostając \\(n = 9\\), a potem zaokrąglić lub pomylić wynik z inną odpowiedzią. |
| D | ✓ Poprawna |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Ostrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(n+1\\) wierzchołków, nie \\(n\\). Bardzo łatwo zapomnieć o wierzchołku głównym (apex) i zapisać \\(n\\) zamiast \\(n+1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Graniastosłup ma dwie podstawy, więc wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\). Błąd przy liczeniu ścian (które jest inne!) przeniesiony na wierzchołki to klasyczna pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o podstawę obu brył - upewnij się, że odpowiadasz właśnie na to pytanie, a nie np. podajesz liczbę \\(n = 10\\) jako odpowiedź (bo \\(10\\) to nie nazwa figury - odpowiedź to „dziesięciokąt").
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Równanie z liczby wierzchołków
\n

Niech \\(n\\) - liczba boków podstawy.

\n\n

Warunek: \\(2n = (n+1) + 9\\):
\\[2n = n + 10 \\Rightarrow n = 10.\\]
Podstawa - dziesięciokąt.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Dla dziesięciokąta (\\(n=10\\)): graniastosłup ma \\(20\\) wierzchołków, ostrosłup \\(11\\). Różnica: \\(20 - 11 = 9\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Klucz: \\(\\text{wierzchołki graniastosłupa} = 2\\cdot n\\), \\(\\text{ostrosłupa} = n+1\\).

"}]}